高考数学解题破题36计

高考数学解题破题36计

第1计 芝麻开门 点到成功 ●计名释义

七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.

数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

●典例示范

1rrCn(n?1)Cn［例题］将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个

如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以

看出

111??rr(n?1)Cn(n?1)CnxnCn?1，其中x? . an?令则n??

111111???????223123060nCn(n?1)Cn?1，

.

liman?［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破

门呢？我们仍然在“点”上打主意.

1莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点1的主意.

11111???rxrr2(n?1)Cn(n?1)C(n?1)CnCnnn?1［解Ⅰ］ 将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有

1x(n?1)Cn?121

rnCn?1?11

对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1

对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.

［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.

1第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项3.

11111an??????3123060［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项3，并将和数列 中的各项依次“以点

111连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项3左上角的那个2. 因为2在向下一

分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.

因此得到n??

liman?12 这就是本题第2空的答案.

13［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中

1的实线，实线上端折线所对的那个数2就是问题的答案.

1 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从20这个数开始，向左下连线（无穷射线），111111?????12 所连各数之和（的极限）就是20这个数的左上角的那个数12. 用等式表示就是2060140

［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.

111??rr?1ra(n?1)C(n?1)CnCnnn?1知，可用合项的办法，将n的和式逐步合项. ［法1］ 由an?11111??????2231230nCn(n?1)C?1n

??1111111??????????22221?13C24C325C4nCn(n?1)Cn(n?1)Cn(n?1)Cn?1?? ?

?11111?1?????????221?1?nC23C24C325C4?n?1nCn?1?(n?1)Cn

?11?11111?????????211?3C113C2?(n?1)Cn2C1(n?1)C2(n?1)n2??n

?12

［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即

an?11111??????012n?3n?23C24C35C4nCn(n?1)Cn?1根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一

11n?1(n?1)Cn，项则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为2，

?1?1111??liman?lim??an??n?1n?1n???2(n?1)Cn?22(n?1)Cn，从而n????故

111??r?1rr(n?1)CnC(n?1)Cx?r?1nn?1n［法3］ （2）将代入条件式，并变形得

取r?1,令n?2,3,?,n,?得

11111111??????2113(2?1)C2112(3?1)C32C13C23C124C3， 2

1111???21130(4?1)C44C35C4 ? ? ?

111111????211211nCn(n?1)CnnCnnCn(n?1)Cn?1?1?1 (n?1)Cn?1

an?以上诸式两边分别相加，得

11?2n(n?1)1?2

［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到

“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.

●对应训练

x2y2??125161．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂

线交椭圆的上半部分于P1，P2，?，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，

则|P1F|+|P2F|+??+|P7F|=_______.

2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 .

●参考解答

1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.

连接P1F2 、P2F2 、?、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10 如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = ? =FP7 + P7F2 = 7310 = 70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35. 2．找“点”——动点P、Q的极限点.

如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合. 则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C

VC—A 1B 1C 1?13V棱柱.

1—A1B1C1 .

显然

∴

VC—A 1B 1C 1VC—AA 1B 1B2∶=

1于是奇兵天降——答案为2.

［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.

第2计 西瓜开门 滚到成功

●计名释义

比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.

数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

●典例示范 ［题1］

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f ?（x）?0，则必有 A. f（0）＋f（2）< 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1） C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）?2f（1）

［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.

其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.

［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.

（ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)?0时有x?1，f（x）在?1,??上为增函数；f＇(x)?0时x ?1. 即f（x）在???,1?上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.

综合（i），（ii），本题的正确答案为C.

［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ?0中等号成立的条件

只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.

［再析］ 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）. 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.

［解二］ （i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. （ii）f＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2 又 f＇(x)=2（x-1）.

满足 (x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0 选项C，D符合条件. 综合（i），（ii）答案为C.

［插语］ 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.

［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f ?（x）= 0找最值点x =0，由f ?（x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.

［解三］ （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合条件. （右图水平直线） （ii）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1) f ?（x）≥0

若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f ?（x）≥0.

［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f ?（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函

数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.

［变题］ 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f ?（x）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是 A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-1)

12532006200543

［解析］ 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义； 对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求； 答案只能是D. 对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.

2006200611且f ?（x）=2005(x-1)2005 使得 (x-1) f＇(x) =(x-1)2005(x-1)2005 ≥0.

［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f?（x）=(x-1)

2n2m?1，其中m，n都是正

整数，且n≥m.

［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，

这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.

［题2］ 已知实数x，y满足等式 4x?9y［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到. ［解一］ （函数方程思想运用） 令

y?kx?522y?36 ，试求分式x?5的最值。

?y = k (x-5) 与方程4x?9y?36联立

222222(4?9k)x?90kx?9?25k?36?0 消y，得：

根据x的范围x???3,3?应用根的分布得不等式组：

???(90k)2?4(9k2?4)(9?25k2?36)?0?f(3)?9(9k2?4)?90?9k2?9?25k2?36?0???f(3)?9(9k2?4)?90?9k2?9?25k2?36?0??90k2??3??32??2(9k?4)??

解得

11y1111???k?22 即 2?x?5?2 即所求的最小值为2，最大值为2.

?［插语］ 解出

1y12?x?5?2，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.

［解二］ （数形结合思想运用）

x2y2??1224x?9y?364由得椭圆方程 9，

yk?x?5看成是过椭圆上的点（x，y），(5，0)的直

0

线斜率（图右）.

?4x2?9y2?36?2222y?k(x?5)(4?9k)x?90kx?9?25k?36?0 ?联立 得

令??0得

k??12，故

11y?x?5的最小值为2，最大值为2.

［插语］ 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.

［点评］ “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.

解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”. ●对应训练

y?x1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg2成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的

( )

21?x2.函数y=1- (-1≤x<0)的反函数是 ( )

222x?x2x?xA.y=-(0

C. y=-2x?x (-1≤x<0) D. y=2x?x (-1≤x<0)

3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是 ( )

A.b2≤ac B.b2>ac C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0 

●参考答案

1.【思考】 利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像，选项D中无x>0的图

22y?x像，均应否定；当x=y∈R+时，lg2无意义，否定A,选C．

【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当

y?xx≠0且y>x时，由lgy+lg2=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).

2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.

原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.

∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A．

3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假. 取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B. 解析二 由选择支,联想到二次函数的判别式. 令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,

f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.

【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发: 4b<4a+c, ① 2b<-a-c, ②

①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.

用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.

第3计 诸葛开门 扇到成功

●计名释义

诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量. 数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用. ●典例示范

1x2?2 试求 f (-5 )+ f (-4 )+?+ f (0 )+?+ f (6 )的值. ［题1］ 已知f (x)=

［分析］ 若分别求f (x)在x= -5，-4，?，0，?，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，

有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x)+f (1-x)的结果.

1x［解析］ 因为 f (x)+ f (1-x) = 2?2?121?x?2

12x?2?12(2x?2)

1 =

2x?2?2x2?2?2x?22?2?2xx =2(2?2)

所以 f (-5 )+ f (-4 )+?+ f (0 )+?+ f (6 )

1 =2［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+?+（f (6 )+ f (-5 )）］ 112??12?32222=［f (1-x )+ f (x )］36 =

［点评］ 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.

●对应训练

1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角)，那么cosαcosβcosγ的最大值等于 .

25，52.求已知离心率e=,过点(1,0)且与直线l:2x-y+3=0相切于点P(-33),长轴平行于y轴的椭圆方程. x2?y2?a23.若椭圆2 (a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.

●参考答案

212261.9 命sin2α=sin2β=sin2γ=3,则cos2α=cos2β=cos2γ=3.α、β、γ为锐角时，cosα=cosβ=cos2γ=3.

82?69∴cosαcosβcosγ=27.

(注：根据解题常识，最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得).

2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程. 若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.

22已知e=5,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e=5的椭圆系为

221525)?(y?)2?k,)35333看做当k→0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该(x+，把点P(-点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:

2215)?(y?)2??(2x?y?3)?053(x+3 2又所求的椭圆过（1，0）点,代入求得λ=-3. y2因此所求椭圆方程为x2+5=1.

点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程. 3.解析 若按常规,需分两种情况考虑: ①A,B两点都在椭圆外; ②A,B两点都在椭圆内.

若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.

设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R,a>0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围. 易得线段AB的方程为y=x+1,x∈［1,3］,

?x223??y?a得a2?x2?2x?1?22?y?x?1由方程组?,x∈［1,3］,

994141a2的值在［1,3］内递增,且x=1和x=3时分别得a2=2或a2=2,故2?a2?2. 3282∵a>0,∴2?a?2.

3282故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为02.

第4计 关羽开门 刀举成功

●计名释义

关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.

数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！

●典例示范 ［例1］

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a. （Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1； （Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小； （Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.

［分析］ 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，

这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.

［解Ⅰ］ 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里. 易知QN和SM都平行于平面BCC1B1?MN∥BCC1B1?MN∥面ADD1A1（证毕）.

［插语］ 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.

【例2】 设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.

（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上； （Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

1【分析】 （Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=2|AB|.



(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2

（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.

显然，利用向量知识证OA?OB=0,当为明智之举.

【解答】 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.

1显然，满足|OQ|=2|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.

如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),

y2y2x=2p,代入：y=tanα·2p-2ptanα.即tanα·y2-2py-4p2tanα=0.

此方程有不同二实根y1y2,

2p∴y1+y2=tan?,y1y2=-4p2.

2216py1y2?24p2p2pOA?OB∵ =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.

4∴OA?OB,故点O仍在以AB为直径的圆上.

【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，

直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:

(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.

(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.

这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量. 【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.

?当α≠90°时，不妨设α∈［0,2)，则

22|x1?x2||y1?y2||(y1?y2)(y1?y2)||AB|???cos?2pcos?2pcos?12p??(y1?y2)2?4y1y22pcos?tan?14p22p2??16p?sin?tan2?sin??2p?2?4p1tan?2?4

综上，|AB|min=4p,当且仅当α=90°时，（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：x=2p. 别解：由（1）知恒有∠AOB=90°.

22OA|?|OB|AB∴||2=|

2222x?y?x?y1122=

≥2x1x2+2p(x1+x2) ≥2x1x2+4p

x1x2.

22y1y2??4p2∵y1y2=-4p2,∴x1x2=2p2p

于是|AB|2≥16p2,| AB|min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2. 【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.

●对应训练

1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.

ann??an?1之值. (1)求数列{an}的通项公式，并求

lim?1???(2)证明0

2.矩形ABCD中,AB=6,BC=23,沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示). (1)求证:PD⊥PC;

(2)求二面角P—DB—C的大小.

●参考答案

1.分析： (1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).

?1???(2)可以预见:f?3?展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这

种数列的求和方法是“错项相减”.

?1???(3)f?3?的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.

解答： (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2, 即Sn=n2,

∴an=Sn-Sn-1=2n-1,

ann??an?1lim12n?1n?1?lim12n?1n??2?limn=n??；

2?(2)由(1)知an=2n-1.

11?1??1??1??3?()2?5?????(2n?1)?????3?3??3? ① ∴f?3?=1×31?1??1??1??1??1?f???1????3?????(2n?3)????(2n?1)??3?3??3??3??3??3?2①-②:31?1??1??1??1??1?f???1??2??????????(2n?1)???3?3??3??3??3??3?2n?123n23nn?13n ②

n?1

?1??1?1?1??1??????????????3?f?3? =2?3??3?2n?1?1?????2?3?

n??1?n?1??1????n11??3??2n?1?1??????1?23?2?3?1???3???? =

n?1n11??1??2n?1?1???1????????22?2?3???3???n?1=

1?1????=1-2?3?设g(x)=3xn?1?2n?1?1??1??3?3n ??x?1,∵g′(x)=3-x+(x+1)·3-xln3· (-1)=

1?ln3(x?1)3x?0.

2∴g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，［g(n)］max=g(1)=3,

n?1又当n→∞时,g(n)→0,∴3n?2??1??1??0,????,1?∈?3?,从而f?3?∈?3?.

2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.

(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC. (2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD只须作,OM⊥BD即可.

解答: (1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.

(2)作OM⊥BD于M，连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角, ∵PB=6,

PD?PBPD=23,∴BD=43,PM=BD=3,

22CD?PD?36?12?26, 已证PD⊥PC,∴PC=

PD?PC23?26??226PO=CD.

2222sin∠PMO=3,∠PMO=arcsin3, 22即所求二面角P—DB—C的大小为arcsin3.

第5计 才子开门 风情万种

●计名释义

所谓才子，就是才思繁捷的弟子. 数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画. 这里，人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后. 别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.

●典例示范

ln2ln3ln5［引例］ 试比较以下三数的大小：2，3，5

［解一］ 建构函数法

1ln2ln3ln5lnxe2设f (x) =x? f＇(x)=xlnx?0 ? f (x)为减函数 ? 2>3>5

［旁白］ 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.

［评语］ 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.

［解二］ 作差比较法

ln2ln33ln2?2ln3ln8?ln918??ln2?3669<0 2-3=

ln2ln55ln2?2ln5ln32?ln25132??ln2?5101025>0 2-5=

?ln3ln2ln5??325

［旁白］ 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.

［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.

［旁白］ 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.

ln2ln23ln85ln32ln3ln2ln5［奇解］ 2×ln3=ln9<1 2×ln5=ln25>1 ? 3>2>5

［旁白］ 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.

［自评］ 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.

［旁白］ 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？ 才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解

1lnxe2［正解］ f (x) = x? f＇(x)=xlnx<0 (x?3)

ln3ln4ln5ln3ln2ln5?3>4>5 ? 3>2>5

［旁白］ 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.

［评语］ 因为数3比e大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.

【例1】 已知向量a=(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a2b=3，则b= ( )

3113313，A．(2，2) B．(2,2) C.(44) D．（1，0）

【特解】 由|b|=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.

31，22)是平行向量，一般考生不能做到. 【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与A(

【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项. 又a2b=3,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.

【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！

【另解】 设b=(cosα,sinα),则a2b=(3,1)2(cosα,sinα)= 区间（0，π）上解α得：α=60°.

33cosα+sinα=3 sin(60°+α)=2在

13，故b=(22).

【评说】 本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.

311，)?2a， 【错解】 选A者,误在(22

133,44）选C者,误在|（2a|=1.

选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行.

【评说】 本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.

●对应训练

1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x2f(x)<0}等于 （ ） A.{x|x>3或-33或x<-3} D.{x|0

2.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)

●参考答案

1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其草图即可写出所求答案.

解析一 由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图（1）),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x2f(x)<0的解集为{x|0

(1) (2)

解析二 由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>0)的草图(如图（2）),∵x、f(x)均为

?x?0?f(x)?0R上的奇函数,∴x2f(x)为偶函数,∴不等式x2f(x)<0的解集关于原点对称,故先解?借助图象得0

由对称性得x2f(x)<0的解集为{x|0

解析三 借助图（1）或图（2）,取特殊值x=2,知适合不等式x2f(x)<0,排除A、C;又奇2奇=偶,∴x2f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,故选D.

【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二. 奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)2奇(偶)=偶.

数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.

2.【分析】 排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C，D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.

【通解】 考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定：据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它的限制条件，使其与其他四人进行排列共有

5A5种

5A5排法，在所有的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有

12C423A3种，故满足条件的排法种数共有

3A3=20.

【正解】 5个元素设作A,B,（C,D）,x,y.将排列种数分两类: 第一类,x,y相连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有

=8种方法.

第二类,x,y不连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C4=12种方法.

【评说】 先分类:“相连”与“不连”为完全划分；后分步：第1步组合，第2步排列，也是完全划分.

【另解】 5个元素设作A，B，（C，D），x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f. 第1步考虑元素x到位，有5种可能； 第2步考虑元素y到位，有4种可能； 第3步，A，B，（C，D）按顺序到位，只1种可能. 由乘法原理，方法总数为534=20种.

【评说】 “另解”比“正解”简便，但思维要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3个位置上，A，B，（C，D）按序到位情况只1种.——这点，一般学生不易想通.

【别解】 设所求的排法总数为x种，在每1个排好的队列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，则有

P5PxP3=P5?x=3=534=20.

【评说】 别解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.

第6计 勇士开门 手脚咚咚 ●计名释义

一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.” 勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”

考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯分是图，雅的，俗的，一并上阵.

●典例示范

????33??4,?4??4y?sinycosy?a?0则cos (x+2y)的x?sinx?2a?0,???【例1】 已知x,y∈, a∈R，且,

值为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【思考】 代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？

3??x?sinx?2a?0??(?2y)3?sin(?2y)?2a?0?解：由条件得：

????????t???2,?2???????. ∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根

【插语】 这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?

????3??2,?2??时，y1?t,y2?sint均为增函数，而-2a为常数.∴设f (t)=t3+sint-2a. 当t∈?????f(t)是??,???22?上的单调增函数.

∵f (x)= f (-2y)=0.

∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.

【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难点.

【例2】 已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(3,-1) ， 则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是( ) A.42,0 B.4,22 C.16,0 D.4,0

22x?y?1上运动时，延OA到C，使|OC|=2|OA|=2a, 求【解答】 如图，点A(cosθ,sinθ)在圆

|OC?OB|的最值，

显然|OC|?|OB|?2.当OC1与OB 反向时有最大值4,OC2与OB同向时有

最小值0. ∴选D.

【点评】 本例

解题思想很简单，谁不知道“三角形两边

之和大于第三边，两边之差小于第三边”呢， 例2题解图 为求极值，我们的勇士勇敢地到极地——当 △BOC不复存在时，才有可能取得.

【例3】 设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0，且g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)

【解答】 设F(x)= f (x)g(x), 当x<0时，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在R上为增函数.

∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)2g (x).=-F(x). 故F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数. ∴F(x)在R上亦为增函数. 已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.

?构造如图的F（x）的图象，可知 例3题解图 F(x)<0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3). 【点评】 本例选自042湖南卷12题, 是小题中的压轴题，显然，不懂得

导数基本知识对待本例是无能为力的，高中

代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形，使问题更有说服力.

●对应训练

1.下列命题正确的是 ( ) A.若{an}和{bn}的极限都不存在，则{an+bn}的极值一定不存在 B.若{an}和{bn}的极限都存在，则{an+bn}的极限一定存在 C.若{an+bn}的极限不存在，则{an}和{bn}的极限都一定不存在

D.若{an+bn}的极限存在，则{an}和{bn}的极限要么都存在，要么都不存在

2.过定点M (-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 （ ）

A.0

1??11lim??2???n?n??xxx?的值是 ( ) ?3.若(1-2x )9展开式的第3项为288，则

12A.2 B.1 C.2 D.5

●参考答案

1.D (正反推证）若{an+bn}:1,1,1,1,?的极限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1?,{bn}:1,0,1,0,1,0?,极限都不存在，但若{an}:1,1,1,1?,{bn}:0,0,0,0?,极限又都存在，故D正确，同理可排除A、B、C. 2.A （数形并用）如图，以C (-2,0)为圆心， r=3为半径的⊙C交x、y正半轴于A（1,0）, B (0,5), 而M (-1, 0)在⊙C内部，

?AB当N∈时，显然，kMN>kMA=0;

kMN

第2题解图

29T3=C

3.A

312(-2x)2=36 (2x)2=288， ∴2 2x=8， x=2, x=3∈(0,1).

232121?n3=2. 选A. ∴数列{x}是首项与公比均为3的无穷递缩等比数列.原式=

第7计 模特开门 见一知众 ●计名释义

一时装模特，在表演时，自己笑了，台下一片喝彩声. 她自感成功，下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的.

模特表演是不能笑的. 试想，模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢？所以，模特一笑，特在模掉！

数学的特殊性（特值）解题，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），这样，才能做到“一点动众”. 特值一旦确定，要研究的是特值的共性. 选择题中的“特值否定”，填空题中的“特值肯定”，解答题中的“特值检验”，都是“一点动众”的例子.

●典例示范

【例1】 如果0(1-a) B.log(1-a)(1+a)>0 C.(1-a)3>(1+a)2 D.(1-a)1+a>1 【思考】 本题关键点在a,我们一个特殊数值，作为本题的模特.

13121令a=2,各选项依次化为： （ ） 3?1??1?log1?0?????2?2? B. 2A．?2? ?1??3???????2? D. C．?2?321312?1????1?2?

32显然，有且仅有A是正确的，选A.

【点评】 本题是一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众.

y?log1x你还需要讲“道理”吗？

32023?log1?11y?()x22也是减函数，为减函数，log20,B不对；

12?1??1???????1?2??2?,D不对；直接计算，C也不对；只有A是对的.

【例2】 已知定义在实数集R上的函数y=f (x)恒不为零，同时满足:f (x+y)=f (x)2f (y),且当x>0时，f (x)>1,那么当x<0时，一定有 （ ）

A．f (x)<-1 B.-11 D.0

设f (x)=2x, 显然满足f (x+y)=f (x)2f (y) (即2x+y =2x22y), 且满足x>0时，f (x)>1,根据指数函数的性质，当x<0时，0<2x<1.即0< f (x)<1. 选D.

【点评】 题干中的函数抽象，先选定特殊的指数函数使之具体，而指数函数无穷无尽地多，索性再特殊到底，选定最简单且又符合题意的函数y=2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金，你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗？

【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = ［f (0)2 ( f (x)≠0), 则f (0)=1,

f(x)?f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即

1f(?x), 当x<0时，-x>0.

由条件：f (-x)>1, 故x<0时, 0< f (x)<1.

?【例3】 若A, B, C是△ABC的三个内角，且A

A.sinA

【思考】 本题的模特是取特殊角. 令A=30°, B= 45°,C=105°, 则cosC<0,tanC<0,cotC<0.B、C、D都不能成立.故选A.

【点评】 此题用常法论证也不难，但是谁能断言：本解比之常法不具有更大的优越性呢？

●对应训练

1.设f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 则f (x)的反函数的解析式是 （ ） A．fC．f?1(x)?1?5x B. f(x)??1?5x?2 D. f?1(x)?1?5x?2 (x)?1?5x?2

?1?12.下列命题中，命题M是命题N的充要条件的一组是 （ ）

NA．M:a?b.?cB.M:a?b,?:ac2?bc2. ?d.?N:a?d?b?c.

c?d?0.?N:ac?bd. C.M:a?b?0,?ND.M:|a?b|?|a|?|b|.?:ab?0.

3.已知两函数y= f (x)与y=g(x)的图像如图（1）所示，则y= f (x)2g(x)的大致图像为（ ）



第3题图（1） 第3题图（2）

●参考答案

1.B 取特殊的对称点. ∵f (0)=1, ∴(0,1)在f (x)的图像上，（1，0）在f

?1(x)的图像上，将（1，0）

代入各选项，仅B适合， ∴选B.

点评 题干和选项都那么复杂，解法却如此简明.你能发现（0，1）.就能找出（1，0），解题就需要这种悟性，说到底，还是能力.

2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A；B、C都不能倒推，条件不必要.

3.B 取特殊的区间. 由图像知f (x)为偶函数（图（1）中图像关于y轴对称），g(x)为奇函数（图（2）中图像关于原点对称）. ∴y= f (x)2g(x)为奇函数，其图像应关于原点对称，排除A、C，取x∈(-2,-1), 由图(1)知f (x)>0,由图（2）知g(x)<0,故当x∈(-2, -1)时，应有y= f (x)2g(x)<0. 选B. 点评 无须弄清图（1）、图（2）到底表示什么函数，不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”y=f (x)2g(x)的图像.只须鉴别四类图像哪一个符合题意，选定特殊区间（-2，-1）一次检验即解决问题. 第8计 小姐开门 何等轻松 ●计名释义

有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗. 后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉！” 大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？” 小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！”

数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.

●典例示范

【例1】 求证：抛物线没有渐近线.

【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.

抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？

y2【证明】 不妨设抛物线方程为y2=2px. 假定此抛物线有渐近线y=kx+b, ∵x=2p, 代入直线方程，化

简得：ky2-2py+2pb=0. ①

11?0,?令?y?yy可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程①有实根y0, 那么，y0→∞,或0,

方程①化为：2pby′2-2py′+k=0. ②

方程②应有唯一的零根, y′=0代入②得：k=0.

于是抛物线的渐近线应为y=b. 这是不可能的，因为任意一条与x轴平行的直线y=b, 都和抛物线有唯一公

b2,?b共点(2p), 因而y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.

【例2】 设A、B、C是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：△ABC不是正三角形.

【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！

【解答】 假定△ABC为正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均为整点，不妨设x2≠x1, ∵

y2?y1y?y1y?y1?2(x?x1).x?xx?x1, ∴直线AB的方程为：21kAB=2

即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 点C (x3, y3)到AB的距离.

d?x3(y2?y1)?y3(x2?x1)?x2y1?x1y2(x2?x1)?(y2?y1)(x2?x1)2?(y2?y1)222.

但是|AB|=

1|AB|?d∴S△ABC =2= (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).

即S△ABC为有理数.另一方面，

33|AB|2?[(x2?x1)2?(y2?y1)2].4S△ABC =4 ①

∵|AB|≠0, ∴S△ABC为无理数. ②

①与②矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.

1.2【例3】 设f (x)=x2+a1x+a2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于 11【分析】 三数中至少有一个不小于2的情况有七种，而三数中“都小于2”的情况只有一种，可见“正

面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路.

111【解答】 假定同时有：| f (1)|<2、| f (2)|<2、| f (3)|<2, 那么： 11?1?3??1?a?a???a?a???1212?2?222??17?1?9???4?2a1?a2?????2a1?a2???22?2?2117?1?19??9?3a?a???3a?a???1212?2?22??2①②③

①+③: -11<4a1+2a2<-9 ④ ②32: -9<4a1+2a2<-7 ⑤ ④与⑤矛盾，从而结论成立.

【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手.

遇到以上这两种情况，考生即应懂得“迷途知返”，走“正难反收”的道路.

一般地说，与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立.

●对应训练

1.k为何值时，直线y-1=k (x-1)不能垂直平分抛物线y2=x的某弦.

?2.已知α、β∈(0, 2), 且sin(α+β)=2sinα.求证：α<β.

111,?,?bc不能组成等差数列. 3.设a>b>c>0, 且a、b、c成等差数列，试证明：a12x?124.求证：抛物线y=上不存在关于直线y=x对称的两点.

●参考答案

1．正难反收，先解决k为何值时，直线可以垂直平分该抛物线的某弦，再求它的补 集，设弦两端点为A(x1, y1), B(x2, y2), 那么:

2?y1?y21?y1?x122?y?y?x?x?k??.?21212ABx1?x2y1?y2??y2?x2

1k?设直线l:y-1=k(x-1)垂直且平分AB, 则kAB=k, 设AB之中点为M(x0, y0), ∴y1+y2=2y0, y0=2, 又由

?y0?111?1??2k, 而M在抛物线内部. y0-1= k(x0-1),得x0=kk211(k?2)(k2?2k?2)???0,2042kk∴y

∵k2-2k+2>0, ∴-2

（1）α=β, 此时有sin2α=2sinα.

??α、β∈(0, 2)时，sinα≠0, 必有cosα=1, 这与α∈(0, 2)矛盾; ?(2)α>β,在(0, 2)内y=sinx为增函数，必sinα>sinβ>0, 由条件：

sinα(cosβ-2) +cosαsinβ=0.

cos?sin???1.2?cos?sin?∴ ∴cosα+cosβ>2，这是不可能的.

故α?β不能成立，必有α<β.

111112a?c2,?,????.abcacbacb 3.假定成等差数列, 必, 即

a?c已知a，b，c成等差数列，∴b=2.

a?c4?,(a?c)2?0.a?c故有：ac ∴a=c, 从而a=b=c, 这与已知a>b>c>0矛盾. 111,?,?bc不能组成等差数列. ∴a12x?124.假定抛物线y=上存在关于直线y=x对称的两点A(a , b)与B (b, a). 12?b?a?1???2??a?1b2?1??2∵kAB= -1, 知a≠b. 有：??①?②

1①-②：b-a =2(a+b) (a-b). ∵a≠b, ∴a+b=-2 ③ 12a?1③代入①：-2-a=2. 即 a2+2a+3=0.

此方程无实根，故所设符合题设条件的点A（a, b），B (b, a)不存在.

1也就是抛物线y=2x2-1上不存在关于直线y=x对称的两点.

第9计 瞎子开门 伸手摸缝

计名释义

命题人本来为解题人设计了“题门”，即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去摸.在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝，他便将手伸到门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了.

●典例示范 ［例题］

1111?????[log2n]n2已知不等式23，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数

a1?b(b?0),an?}的各项为正，且满足

设数列{

annan?1n?an?1，n?2,3,4,? an?（Ⅰ）证明：

2b2?b[log2n]，n?3,4,5,?；

【续解】

31?2x1?31?2x2 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]

(31?2x1?31?2x2)(3(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)2)=易知

33(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)2=△>0.

(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)22(x1?x2)?故有原式=<0.

故f (x)=

31?2x的增区间为（-∞,+∞).

【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，

可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.

【例2】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.

（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望； （Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ?1”的概率.

【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.

C314?35;P(ξC【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=6121C?CC2C134242??335，故ξ的分布列是： 5CC66=1)=；P (ξ=2)=

ξ

P

（Ⅱ）ξ的数学期望是：

0 1 2

15 35 15

131Eξ=035+135+235=1.

4(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ?1的概率是：P（ξ?1）=P (ξ=0)+P(=1)=5.

【例3】 （042上海，20文）如图，

11直线y=2x与抛物线y=8x2 - 4交于A、B两点，

线段AB的垂直平分线与直线y= -5交于点Q. (1)求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于AB下方 （含点A、B）的动点时，

求△OPQ的面积的最大值.

【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图 思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.

12?y?x?4,??8?x2?4x?32?0.??y?1x?2【解答】 （1）由?

x1?x21?22设AB中点为M（x0，y0），则x0 =，y0=2x0=1.

故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).



(2)由（1）知|OQ|=52为定值.

1?8设P(x，x2-2)为抛物线上AB上一点，由（1）知x2-4x-32?0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：

x+y=0，点P到直线OQ的距离：

1|x?x2?2||(x?4)2?48|8?282d=，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠43-4，为使△POQ面积

最大只须d最大，当x=8时，dmax =62.

11∴(S△POQ)max =22|OQ|2dmax=2252262=30.

【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA2tanC的值.

【解答】 如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA. 不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A, ∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，

11则有：2sinα+2sinγ=sinβ，

即sin2A+sin2C=2sin2B.

2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图 ∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).

∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0. 3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.

【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次

转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的. ●对应训练

1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中， O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在 棱CC1上，且CC1= 4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所

成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）设O点在平面D1AP上的 射影是H，求证：D1H⊥AP；

（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图

1?2.证明不等式：

12?13???1n?2n (n∈N+).

1?23?3??22???????sinx?cosx??sinx???,????2?4?424??3?，f (x)=??3.设x∈?，求f (x)的最大值与最小值.

?1??1??1??1???1????1???x??y??z?的最小值.

4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u=?

●参考答案

1.建立如图的空间直角坐标系，有：

A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1. ∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，∵|BP|=4?1?17.

2|AB|∴tan∠APB=|BP|?41717.

41717∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan.

(Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1.

∵D1B1=（4,4,0)，AP=（-4,4,1）, ∴D1B12AP=-16+16+0=0.

即AP⊥D1B1，也就是A1D⊥D1O. 第1题解图 已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂线定理)

（Ⅲ）在DD1上取|DQ|=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，

11∵S△AD1Q =2|AC1|2|QR|=2]|AD|2|D1Q|.

32QRQR2即：42||= 433，∴||=2.

322已证PQ∥ABD1，∴点P到平面ABP1的距离为.

点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若

干转换手法.

1111?????n,2n2.只须证22223

1111111????????2?2n?n21?22?3n?1?n 右式=1?11?(2?1)?(3?2)???(n?n?1)=2 n?=

1?n2.

1111111?????n,?????2n.222232n3n∴成立，从而1+2

1?2x???3??6??+8. 3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -2sin

???????????????,???,??,??????3??时,2x-6?32?，故f (x)为?43?，上的减函数,当x=3时, 当x∈?43?43?［f(x)］min =8，当x=4时,［f (x)］max =-8.

2xy112xy11?xy?z2yz?1??1????1?z，zxxx，同理：yz， 4.注意到x8xyz∴u?xyz=8.

第12计 小刀开门 切口启封 ●计名释义

西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.

一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰

到了盒子的入口.

数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.

●典例示范

tan(???)3?.tan?2 【例1】 已知5sinβ=sin(2α+β)，求证：

【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀

开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找

33到了2这个数，试一试，就打2的主意！

sin(???)5355?13?,?sin?1215?12，那么由合分比定【解答】 化条件为考察结论的右式与的数量关系知sin(2???)?sin?5?13??.5?12 理能使问题获得解决，即sin(2???)?sin?tan(???),tan?而左端分子、分母分别进行和差化积即为于是等式成立.

【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考

虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.

【例2】 设m为正整数, 方程mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x为未知量)至少有一个整数根, 求m的值.

(1?2m)?3m?1m【分析】 若根据求根公式得到x=, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量

m(m是一个待求的常量)与变量x相互转化,则解决此问题就简单了.

【解答】 原方程可化为(x2+4x+4)m=2x+7,

2x?72(x?2)即m=,

【插语】 m是本题的破题小刀，因为所给方程中m的最高次数是1，使得问题简化了.

2x?72(x?2)【续解】 由于x为整数且m为正整数, 则x≠-2且?1,得-3?x?1,于是x=-3, -1, 0, 1, 代入

原方程求出符合条件的m值为1或5,即m=1或m=5时,原方程至少有一个整数根.

【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.

【例3】 设函数f (x)=x2+x+a(a∈R*)满足f (n)<0, 试判断f (n+1)的符号.

【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.

【解答】 因为f (n)<0，所以函数 f (x)=x2+x+a的图像与与x轴有2个 相异交点，如图所示，设横坐标为 x1、x2且x1

?x1?n?x2,??x1?x2??1,?xx?a?0.则?12

所以-10, 例3题图 于是f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a>0(a>0).

【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.

【例4】 过抛物线y2=2px的顶点O作2条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点. 【解答】 因为OA⊥OB，所以OA与OB的斜率成负倒数关系.

?2p2p??2,??k?,将OB方程代设OA的斜率为k，将OA的方程：y=kx代入抛物线y2=2px中，求得A点坐标为?k1入抛物线方程求B点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以k置换A点坐标中的k, 即得B点坐标为(2pk2,

?-2pk).

kk2(x?2pk)?2pk?(x?2p),221?k因而lAB：y=1?k

故直线AB过定点(2p, 0).容易验证，斜率k=±1时，结论也成立.

【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.

1.【例5】 已知x、y、z∈R, x+y+z=1，求证:x2+y2+z2?3

111??,?y???,?z???33【解答】 运用均值代换法.令x=3, 则α+β+γ=0, 所以 121?(?????)??2??2??2?3 x2+y2+z2=331(当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z=3时“=”成立).

【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.

●对应训练

x2y2??11.已知M是椭圆1612上的动点，椭圆内有一定点A(-2,3), F是椭圆的右焦点，试求|MA|+2|MF|

的最小值，并求这时点M的坐标.

2x?1-ax, 其中a>0. 求a的取值范围，使函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调函数. 2.已知函数f (x)=

3.如图所示，已知梯形

ABCD中|AB|=2|CD|, 点E分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过 C,D,E三点，且以A，B为

23???4时，求双曲线离心率e的取值范围. 第3题图 焦点.当31??1?25?a?b??????.a??b?4 4.已知a、b>0,并且a+b=1,求证：?5．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到此面的距离为a，求这个三

棱柱的体积.

第5题图 ●参考答案

1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可

1,2为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率

与结论中线段|MF|的系数之间的数量关系，

作MB垂直于右准线l，垂足为B，

|MF|1?e?,2 如图所示.则|MB|即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|. 第1题解图

易知点M在线段AB上时，|MA|+2|MF|取最小值8，这时点M的坐标为（23,?3）. 2.解析 探究a的值，应倒过来思考.

??x1?x2??a?.?x2?1?x2?1?12?? 设x1

因为

2x12?1?x1,?x2?1?x2.所以

2x12?1?x2?1?x1?x2?0.

x1?x2得

x?1?x?12122?1. 注意到x1-x2<0, 所以只要a?1，就有f (x1)-f (x2)>0. 即a?1时，函数f (x)在区

间［0,+∞)上是单调减函数.显然0

点评 运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时，那就反过来，由果索因，这是建立解题思路的一个重要策略.

3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了. 事实上，由图形的对称性，可设直线AB为x轴，AB得中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.

|AB|c?c,(,?h)22注意到|AB|=2|CD|，设OC=依题意记A(-c,0)，C, E(x0, y0). (??2)c?x?,0?2(1??)???y??h.0?1???由定比分点坐标公式得

x2y2c2h2?2?1,?2?1,22bb设双曲线方程为a将点C，E坐标代入方程，得4a ① (??2)2c2?2h2??1,22224(1??)a(1??)b ②

c1?2?3??2?.a1??1??将①代入②且用e代入，得e2=

23???,4可知e2∈［7, 10］又由题设3， 所以离心率e的范围是7?e?10.

点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感.

14.解析 容易估计a=b=2时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法.

a?构造

111111?a?????5?543?0,a4a4a4a4a4a 111111?b?????5?543?0,b4b4b4b4b4b

b?同理

1??1?1?,?a???b???25?583ab4(ab)????两式相乘

1?a?b?111251???,4所以ab?4, 故(a+a)(b+b)?4(当且仅当a=b=2时取“=”号).从等号成立注意到ab??2?的条件切入是独具匠心的思考方法.

点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路. 5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于aS.很明显三棱柱ABC

2aS.2—A1B1C1与三棱柱ACD—A1C1D1体积相等.所以三棱柱ABC—A1B1C1的体积等于

用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.

点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.

第13计 钥匙开门 各归各用 ●计名释义

开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑. 所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.

数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.

定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.

●典例示范

【例1】 F1、F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|=2c, 椭圆上的点P（x, y)到F1（-c, 0), F2 (c, 0)的距离

a?之和为2a. 求证：|PF1|=

ccx,?a?x.a|PF2|=a

x2y2?2?12b【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c无b，而椭圆方程a却有b无c，

搬动椭圆方程肯定是舍近求远.

【解答】 对|PF1| 和 |PF2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF1|= r1, |PF2|= r2的方程组

?r1?r2?2a??222?r1?(x?c)?y???222?r2?(x?c)?y??①②③ ②-③消y2, x2和c2得

21r

?r22?4cxr ④

c?r?a?x??1a?cc?r?a?cxa?x,a?x.2?aa |PF2|=a ①，④联立，解得? 故|PF1|=

【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.

【例2】 设数列{an}的前n项和Sn=1+anlgb, 求使n??limSn?1成立的b的取值范围.

【思考】 应首先分清{an}是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题. 【解答】 a1=1+a1lgb, 若lgb=0, 即b =1时， a1=S1=1与n??limSn?1矛盾.

1,1?lgb∴b≠1,于是a1= 而an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).

an∴an(1-lgb)=-an-1lgb,

an?1lgb1lgb,=lgb?1为常数，{an}是首项为1?lgb公比q=lgb?1的无穷递缩等比数列

lgblimSn?1(已知n??存在)，∴q=lgb?1∈(-1,0)∪(0,1). lgb2lgb1由lgb?1>-1, 即lgb?1>0, 得lgb<2或lgb>1,

lgb1,lgb?1?2又<00

【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).

(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率； (2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60 ,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.

【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有 关计算公式也无法准确解题，例如：

m(1)随机事件A发生的概率0?P(A)?1, 其计算方法为P (A)=n, 其中m ，n分别表示

事件A发生的次数和基本事件总数；

(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A与A必有一个发生，故A与A既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P(A)+P（A）=1；

(3)离散型随机变量的期望，Eξ=x1 p1+x2 p2+?+xn pn+?, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;

(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+?+(xn - Eξ)2pn+?，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.

【解答】 (1)基本事件总数全是白球}.

∵A与A为对立事件，而CardA=1(任取3球全是白球仅一种可能).

3n=C7=35, 设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件A ={任取3球，

341.3535AA∴P()=,于是P (A)=1-P ()=

34.即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为35

1C343?C4?;435C7(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3310+1320=50),∴P (ξ=50)= 2C3?C2184?;435 C7ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2310+2320=60), ∴P (ξ=60)=

1C3124C3?;435C7ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3320+1310=70), ∴P (ξ=70)=

C414?.435 Cξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)= 7于是ξ的分布列为：

50 ξ

P 460

70

80

35

1835 1235 135

418121440∴Dξ=50335+60335+70335+80335=7(元). 440即该顾客获奖的期望是7≈63(元).

●对应训练

x2y2?2?12ab1M为双曲线上任意一点， F1为左焦点， 求证:以MF1为直径的圆与圆x2+y2= a2相切.



2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相

切.

3在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质: (1)E(aξ+b)=aEξ+b; (2)Dξ=Eξ2 - E 2ξ.

4M为抛物线y2=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切.

●参考答案

11如图所示，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连接PO、MF2,∵|PO|=2|MF2|(中位线性质） 11∴|PF1| - |PO|=2(|MF1| - |MF2|)=222a= a,

即|PO|= r-a, 故以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2内切.

2如图所示，设M为椭圆上任一点，MF1为焦半径，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连OP、MF2.

11则|OP|=2|MF2|=2(2a-|MF1|)= a-r

∴以MF1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.

第1题解图 第2题解图 3．（1）∵Eξ=x1 p1+x2 p2+?+xn pn,

∴E (aξ+b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+?+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+?+xn pn)+b(p1+p2+?+pn) = aEξ+b (∵p1+p2+?+pn=1).

（2）Dξ=(x1 - Eξ)22p1+(x2 - Eξ)2p2+?+(xn - Eξ)2pn+?

21=（x

2p1+x22p2+?+xnpn+?）-2Eξ(x1 p1+x2 p2+?+xn pn+?)+E2ξ(p1+p2+?+pn+?)

=Eξ2-2Eξ2Eξ+E2ξ21=Eξ2 - E2ξ.

?p?0??,?4如图所示，抛物线焦点F?2?，

?准线l:x=

p2,作MH⊥l于H，FM中点

为P，设圆P的半径|PF|= r，作PQ⊥y 轴于Q，则PQ为梯形MNOF的中位线.

111(|OF|?|MN|)?|MH|?|MF|?r,22∴|PQ|=2

∴以MF为直径的圆与y轴相切. 第4题解图

第14计 鲜花开门 情有独钟 ●计名释义

冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？

数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？ ●典例示范

【例1】 P点在平面内作匀速直线运动， 速度向量v=(4,-3).(P点沿v方向运动，每秒 移动的距离是|v|）.开始时P（-10，10）， 求5秒后P点的位置.

【分析】 本质是对P点运动的速度向量 v=（4，3）的理解：因为P点按匀速直线

运动，每秒位移是5.从速度分解观点看， 例1题图 每秒P向右移4，向下移3.

【解答】 5秒P向右移20，下移15，设P点5秒后到P′（x, y). x=-10+20=10, y=10-15=-5. 所以P′（10，-5）.

【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.

?【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找PP?=5v=(20,-15), 再求OP?=OP?+PP,

当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数. 【例2】 （042全国Ⅰ卷）函数y=x?1+1(x?1)的反函数是 ( )

A．y=x2-2x+2 (x<1) B.y=x2-2x+2(x?1) C．y=x2-2x(x<1) D.y=x2-2x(x?1) 【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x?1时，y?1.∴反函数的定义域为x?1，排除A、C.∵点（5，3）在f (x)的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x)的图象上，而点（3，5）适合B，不适合D,∴选B.

【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x对称”等特点，前呼后拥.

【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( )

1ba?sinx?sin A．x?4 B.a?b C.ab D.

2x2?5a?b?2【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件：

（1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值.

x2?5∵

x2?4?x2?4?1x2?4,?x2?4?2,?而1x2?4?1,2

x2?4?故

∴选B.

ba1?0,??0,x2?4故否定A；b当a,b异号时，a否定C；当sinx<0时，亦有sin<0,否定D；

,1?a?b?2??????2a?b?min【点评】 可用直接法证明?，∵a,?b存在且在分母中出现，∴ab>0.又?a?b?2??????2a?b?mina+b+2=(a+1)+(b+1)?2(a?b)，∴a?b?2. 当且仅当a=b=1时?

a?b?2【例4】 已知四边形ABCD

为矩形且AB≠BC, PA⊥平面ABCD, 连接 AC,BD,PB,PC,PD, 则以下各组向量中,数量

积不为零的是 ( ) A．PC与BD B.DA与PB

C.PD与AB D.PA与CD 例4题图

【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.

图中PA?平面ABCD???DA?PB,?排除B;?DA?AB?? 

同理,PD?AB,?排除C. ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA?CD，排除D，选A.

【点评】 可用反证法证明PC与BD不垂直, 假定PC?BD.∵PA⊥平面ABCD, ∴BD?AC, 四边形ABCD是正方形, 这与题设AB≠BC矛盾. ●对应训练

x1.若f (x)sinx是周期为π的偶函数，则f (x)可以是①sinx, ②cosx， ③cotx， ④tan2中的( )

A.①② B.①④ C.③④ D.①

a?bb?2a; ③(a2b)2=a22b2; ④(a- b)2=a2-2ab+b2; ⑤若a2b=0,则a=0或a2.下列五个命题：①|a|=a2; ②

b=0.其中正确命题的序号是 （ ）

A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤ 3.已知等比数列{an}的公比为q,下列命题正确的是 （ ） A.若q>1, 则{an}为递增数列 B.若0

1.D【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①.

1设F(x)= f (x)sinx， 如果f (x)=sinx，则F(x)=sin2x=2(1-cos2x).

∵cos2x(从而F(x))是周期为π的偶函数，∴f (x)可以是①，否定C(无须检验③)，如果f (x)= cosx，则

1x1?cosxF(x)=sinxcosx=2sin2x是周期为π的奇函数，与要求不符，否定A；如果f (x)=tan2=sinx，则F(x)

=1-cosx是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x)仅可以是①, 选D． 【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.

2.B利用向量运算的性质. ∵a与b共线，其夹角为0.∴a2=a2a=|a||a|cos0=|a|2.①正确排除D；

a?b|a||b|cos?|b|b??cos?2|a||a|2设a, b夹角为θ. 则a而向量运算中不含除法运算，a，②不能成立，排

除A；若a⊥b，且a≠ b，则(a2b)2=0而a22b2≠0, ∴③不能成立，排除C.

13.D选用特殊值取. q=2>1时，a1=-1<0, 则{an}为递减数列，排除A；当0

则{an}为递增数列，排除B；取q=-2<1, a1=1，则{an}为摆动等比数列，排除C. 第15计 驿站开门 望蜀得陇

●计名释义

一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀. 等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.

数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？

●典例示范

图中，BC1和DB1分别

是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1

的一条面对角线和体对角线. 例题图 试求它们的距离.

【解答】 连A1C1、C1B和BA1. 得边长为2的正三角形A1C1B.

易知，体对角线DB1过△A1C1B 的中心G. 易得GB=GC1. 再作BC1的中点H. 猜想 GH是DB1和BC1的公垂线， 为此只须证明HG⊥DB1.

32易知GB1=3，HB1=2

361?6 例题解图 GH=32222?6??3??2??????????6??3??2?,?????所以GH⊥GB1 即GH⊥DB1. 因为 ?222

【说明】 此处证GH⊥DB1就是我们的“望蜀”，其实DB1⊥面A1BC1，而GH是面A1BC1中的线段，当然GH⊥DB1，由此我们“得陇”.

6【续解】 故HG是BG与DB1的公垂线.且长度6为它们的距离.

【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.

●对应训练

1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,其中a，b，c是非零平面向量，且a与b不共线，则该方（ ）A可能有无数多个实数解 B至多有两个实数解 C至少有一个实数解 D至多有一个实数解 2.空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A、B、C、D，使得AB=CD=8cm，AC=BD=10cm，AD=BC=13cm. ●参考答案

1.D 由于a与b不共线，所以可设c=ma+nb (其中m，n∈R)，代入方程ax2+bx+c=0得

?x2?m?0,?x?n?0,ax2+bx+(ma+nb)=0，即（x2+m) a+(x+n) b=0,又a与b不共线，故有?

?x2??m,?x2?m?0,??x??n,x?n?0即? 显然，当m>0时，原方程无实数解；当n2=-m?0时，?有一个实数解.故应

选D.

【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误.对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现，并且有关向量的题目也在不断地创新，不再是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.

2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论.

在空间中，分别以8、10、13为边长，

作如图所示平面四边形，它由△ABC和△BCD 组成，公共边为BC=13cm，AC=BD=10cm， AB=CD=8cm，固定△ABC所在的平面，

令△BCD绕着边BC旋转.显然当D位于 第2题解图

1△ABC所在的平面时，AD最大.由BC=13cm，AC=10cm，AB=8cm，可得cos∠BAC=-32,即可知∠BAC是钝

角，故对于平行四边形（即D在平面ABC内时）ABDC，对角线AD的长小于对角线BC的长，即AD

显然，当点D不在面ABC内时都有AD

【点评】 这是一个探索型开放题，其存在与否取决于分析的过程，该题题型无论从结论上还是从方法的探究上都具有一定的开放性，因此我们开始做它时，选定一个方向直奔过去，到那儿时才发现此路不通.

第16计 摆渡开门 萍水相逢 ●计名释义

5有道数学题，求证π>2. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在

他已经指定了一个第三者，就是整数3.

55因为π>3，又3>2，所以π>2.

这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等. ●典例示范

(x?1)2(y?3)2??162【例1】 已知曲线C ：，求曲线C关于直线x-y+1=0的对称曲线C1的方程.

【分析】 一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P（x, y)是C1上的动点；（2）求出P（x, y)关于直线x-y+1=0

的对称点Q（x′, y′)， (3)将Q点坐标代入C的方程；（4）用x，y表示x′，y′，即得C1的方程. 此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.

?x??y?1(x??1)2(y??3)2???1.y??x?1?62【解答】 由x-y+1=0得 代入C的方程得

(y?2)2(x?4)2??1.62即得C1的方程得

【点评】 对称轴x-y+1=0本为一条参照定位直线，现在拿来充当替代式，成了名符其实第三者“摆渡”.



【例2】 长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程. 【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：

2??y1?y2?(x1?x2)(x1?x2)?y1?x1???22??y1?y2?(x1?x2)?2x1x2 ?y2?x2?x1?x2?2x?y?y2?2y设AB中点为M(x,y)，那么:?1，

22??y1?y2?2x(x1?x2)?(y1?y2)?4x(x1?x2)???22y?4x?2xx?x1x2?2x2?y12??有:

∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =（1+4x2）（x1-x2）2 =（1+4x2）［（x1+x2)2-4x1x2］ =（1+4x2）［4x2-4（2x2-y）］

1.2已知|AB|=2. ∴（1+4x2)（y-x2)=1所求点M的轨迹方程为：y=x2+1?4x

【点评】 本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标

实施“设而不求”.

x2y2???12b2【例3】 椭圆a(a>b>0)的右准线是x=1，倾斜角为α=4的直线l交椭圆于A、B两点，已知?11???,??AB的中点为M?24?.

（1）求椭圆的方程；

3（2）若P、Q是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2=4的两点，求证：|kOP2kOQ|为定值.

【分析】 按常规，应设直线的斜截式方程，并代入椭圆方程，用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程.这样也算设而不求，可这种方法计算量仍然太大. 请欣赏如下解法：

a2?1,【解】 （1）椭圆的右准线为x=1，即c∴a2=c，b2= a2-c2 = c-c2.

x2y2??1.c(1?c)所求椭圆应为：c 也就是 (1-c)x2+y2= c（1-c） ①

设弦AB的两端分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则:

22??(1?c)x1?y1?c(1?c)?(1?c)(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0?22??(1?c)x2?y2?c(1?c)y?y2(1?c)(x1?x2)?1?????②x1?x2y1?y2

y1?y2??11?1?tan?1??,??.x?x424??122∵kAB=，又AB中点为M，∴x1+x2=-1，y1+y2=

(1?c)(?1)11111.2以上全代入②：1=, ∴1-c=2，c=2，代入①：2x2+y2=4

?所求椭圆方程为：2x2+4y2=1.

（2）由（1）知椭圆方程：2x2+4y2=1. 设P、Q的坐标依次为（x1，y1），(x2，y2).

?2112y1??x1??2x?4y?1??42???2?2??2x2?4y2?1?y2?1?1x222?42?有：

2121?③

332222∴|OP|2+|OQ|2=4, ∴(x1+y1)+(x2+y2)=4 ④

113222222121③代入④：x+x+-（x+x2）=4,

21∴x

2+x21=2.

(kOP2y12y2112?kOQ)?22?22?(1?2x2)x1x2x1x24??∵

??122[1?2(x12?x2)?4x12x2]2216x1x21122?4xx?.122416x12x2

1故|kOP2kOQ|=2为定值.

【点评】 本解的优点是：

1.为确定椭圆方程，须求两个参数a与b，这里先由准线的条件归为只须求一个参数c；

2.无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值，都需要利用弦AB或PQ的端点，这里只是抽象的设定而并不真的去求它，在解题过程中都自然地逐一消失，使“设而不求”的技术达到最佳效果.

【例4】 设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程;

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. 【分析】 （1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施“设而不求”；（2）判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.

【解答】 （1）∵点N（1，3）在椭圆3x2+y2=λ内， ∴3212+32<λ，即λ>12，∴λ∈（12，+∞）. 设AB两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：

22??3x1?y1????22??3x2?y2???(1)(2) （1）-（2）：3（x1-x2）（x1+x2） +（y1-y2）（y1+y2）=0 （3）

∵N(1，3)是线段AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=6. 代入（3）： 例4题解图

y1?y2??1x?x26（x1-x2）+6（y1-y2）=0，于是kAB=1，故直线AB的方程为：y-3= -（x-1），即x+y-4=0.

（2）解法1：CD为AB的垂直平分线，且kAB=-1，∴kCD=1，直线CD：y-3=12（x-1），即x-y+2=0.直线AB

??x?1????y?3??的参数方程方程是?2t2(t为参数)2t2：

22?2??2?3?1?t???3????22???∴代入椭圆方程得：?，即2t2+12-λ=0.（由（1）知λ>12），设此方程之二

12???2根为tA，tB，则tA2tB =

??x?1????y?3??直线CD的参数方程方程是：?2(4)

2t2(t为参数)2t2

2?2??2?3?1?t???3????22???代入椭圆方程得：?，即2t2-62t+12-λ=0.

12???设此方程之二根为tC ，tD ，则tC2tD=2(5)

由（4），（5）知|tA2tB|=|tC2tD|，也就是│AN│2│BN│=│CN│2│DN│，这就是说，存在λ>12，使得A、B、C、D四点总在同一个圆上.

【小结】 按理说,解数学题避免不了“求”,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要“求”出最后的结果的.这里说的“不求”,专指可以简化的解题中间过程,用“设”去代替“求”.

从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度的减少.因此需要做到:（1）凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;（2）“设而不求”不可避免的要设参,消参.而设参的原则是宜少不宜多.（3）“设而不求”的思想还可以应用到三角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲.有心的读者,不妨在解题中留心运用.

●对应训练

1.长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.

2.求过圆x2+y2-2x=0和直线x+2y-3=0的交点，且和直线x+3y-4=0相切的圆的方程.

x2y2?2?12b3.已知直线y=-x+1与椭圆a(a>b>0)交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上.（1）

求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程.

a(x2?1)f(logax)?2x(a?1)，(a>0，a≠1，x>0)，判断f (x)的单调性，并证明你的结论.

4.已知

5.如图,已知直线l：x-ny=0（n∈N)， 圆M：(x+1)2+(y+1)2 =1,

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