加权平均数

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

数据的代表——平均数、加权平均数、中位数、众数

二. 学习重难点：

平均数、加权平均数、中位数及众数的求法是本节课的重点，加权平均数的求法是难点

三. 知识要点讲解：

同学们，你喜欢看NBA吗？

问题1：下面给出了休斯顿火箭队与洛杉矶湖人队的球员数据，你会求出两队的平均身高、平均年龄吗？

解：休斯顿火箭队的平均年龄为： （29+31+34+??+ 23） ÷15 =30.4 休斯顿火箭队的平均身高为

（2.06+2.06+1.98+??+1.98） ÷15=2.014 洛杉矶湖人队的平均年龄为：

（26+30+27+??+36） ÷15=26.4 洛杉矶湖人队的平均身高为：

（1.98+1.80+1.88+??+2.16） ÷15= 2.02 1、平均数

日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”。 定义：一般地，对于n个数x1，x2，x3??xn，我们把

?x?1n(x1?x2?x3????xn)

?叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为：x，读作“ x拔 ” 想一想：小明是这样计算洛杉矶湖人队队员的平均年龄的： 年龄/岁 20 24 25 26 27 30 1 4 洛杉矶湖人队队员的平均年龄 ≈26.4（岁）

思考：你能说出其中的道理吗？ 相应队员数 3 1 3 1 32 1 36 1 ＝（20×1＋24×4＋25×3+26×1+27×3+30×1+32×1+36×1）÷（1+4+3+1+3+1+1+1）

2、加权平均数：

定义1、一般地， 如果在n个数中，x1，x2……，xk分别出现的次数为n1，n2，??，nk次（这时n1+n2+……+nk=n），那么这n个数的加权平均数为

x?x1n1?x2n2????xknkn

例1、在“心系灾区”自愿捐款活动中，某班30名同学的捐款情况如下表： 捐款（元） 5 10 15 20 2 25 1 30 1 人数 11 9 6 （1）问这个班级捐款总数是多少元？ （2）求这30名同学捐款的平均数.

解：（1）5?11?10?9?15?6?20?2?25?1?30?1?330（元） （2）330?30?11（元）

答：这个班级捐款总数是330元；这30名同学捐款的平均数为11元.

思考：某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A，B，C三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 创新 综合知识 语言 测试成绩 A 72 50 88 B 85 74 45 C 67 70 67 （1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？

（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4∶3∶1 的比例确定各人测试成绩，此时谁将被录用？

解：（1）A 的平均成绩为（72+50+88）÷3=70分。 B 的平均成绩为（85+74+45）÷3=68分。 C 的平均成绩为（67+70+67）÷3=68分。 由70>68，故A将被录用。 （2）A的测试成绩为

（72×4+50×3+88×1）/（4+3+1）=65.75分。 B的测试成绩为

（85×4+74×3+45×1）/（4+3+1）=75.875分。 C的测试成绩为

（67×4+70×3+67×1）/（4+3+1）=68.125分。 因此候选人B将被录用

注：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同。因而，在计算这组数据时，往往给每个数据一个“权”。如上例中的 4就是创新的权、3是综合知识的权、1是语言的权。而称（72×4+50×3+88×1）/（4+3+1）为A的三项测试成绩的加权平均数。

定义2、一般地, 如果在n个数中, x1, x2……，xk重要程度用连比f1：f2：?：fk，其中f1、f2、?、fk叫做数据x1, x2……，xk的权数，那么这n个数的加权平

x?x1f1?x2f2????xkfkn均数为

例2、某学校对各个班级的教室卫生情况的考察包括如下几项:黑板、门窗、桌椅、地面。某一天三个班级的各项卫生成绩分别如下：

一班 二班 三班 黑板 95 90 85 门窗 90 95 90 桌椅 90 85 95 地面 85 90 90 小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项的得分依次按15%，10%， 35%，40%，的比例计算各班的成绩，那么哪个班的成绩最高？

分析：由题意的理解便知：“黑板、门窗、桌椅、地面”的“权”分别为 15%、10%、35%、40%，

因此，计算各班的卫生成绩实质是这四项的加权平均数。 解：一班的卫生成绩为：

95×15%+90×10%+90×35%+85×40%=88.75 二班的卫生成绩为：

90×15%+95×10%+85×35%+90×40%=88.75

三班的卫生成绩为：

85×15%+90×10%+95×35%+90×40%=91 因此，三班的成绩最高 你认为上述四项中，那一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案。根据你的方案，哪一个班的成绩最高？

一班 二班 三班 黑板 95 90 85 门窗 90 95 90 桌椅 90 85 95 地面 85 90 90 分析：上述四项中“权”是最重要的。

方案①、如 “黑板、门窗、桌椅、地面”的“权”分别为30%、30%、30%、10%，则各班的卫生成绩为：

一班的卫生成绩为：

95×30%+90×30%+90×30%+85×10%=91 二班的卫生成绩为：

90×30%+95×30%+85×30%+90×10%=90 三班的卫生成绩为：

85×30%+90×30%+95×30%+90×10%=90 因此，一班的成绩最高

方案②、我认为上述四项一样重要。即权重为100%、100%、100%、100% 一班的卫生成绩为： （95+90+90+85）÷4=90

二班的卫生成绩为： （90+95+85+90）÷4 =90 三班的卫生成绩为： （85+90+95+90）÷4=90 因此，三个班的成绩一样高

注：“权”实际上是对所处理的数据的重视程度的反映。所以，“权”重不同其结果一般不同。

说明：通过第（2）小题设计方案，我们应体会到“权”的差异对结果的影响，认识到“权”的重要性。三种计算平均数的方法实质都是求加权平均数，只不过后者对数据的权重一样，前者对数据的权重突出了地面卫生的得分。同学们，通过这个引例，你能体会到算术平均数与加权平均数的区别和联系吗？

※算术平均数与加权平均数的区别和联系是：

算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等），当实际问题中各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数，两者不可混淆。

如：计算彩票的平均收益时，不是求各个等次奖金额的算术平均数，应考虑不同等次奖金的获奖比例。

练一练：

1）数据2、3、4、1、2的平均数是_______，这个平均数叫做_______平均数. 2）某市的7月下旬最高气温统计如下 气温 天数 35度 2 34度 3 33度 2 32度 2 28度 1 （1）在这十个数据中，34的权是_____，32的权是______.

（2）该市7月中旬最高气温的平均数是_____，这个平均数是_________平均数. 3）小明骑自行车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时。

（1）如果小明先骑自行车1小时，然后步行1小时，那么他的平均速度是多少？ （2）如果小明先骑自行车2小时，然后步行3小时，那么他的平均速度是多少？

15?1?5?1解：（1）平均速度是2?10（千米/时）

15?2?5?32?3（2）平均速度是＝9（千米/时）

4）已知x1，x2，x3… x10的平均数是a， x11，x12，x13… x30的平均数是b，则x1，x2，x3… x30的平均数是（ ）

a?b10a?30ba?b10a?20bA. 30 3、中位数：

B.

40 C.

2 D.

30

例3、某公司员工的月工资如下： 员工 经理 副经理 职员Ａ 职员Ｂ 职员Ｃ 职员Ｄ 职员Ｅ 职员Ｆ 4000 1700 1300 1200 1100 1100 1100 杂工Ｇ 500 月工资/元 6000 经理说：我公司员工收入很高，月平均工资是2000元。 职员C说：我的工资是1200元，在公司中算是中等。

职员D说：我们好几个人的工资都是1100元。

问题：他们的说法都对吗？你认为哪个数据最能表示该公司员工的“平均水平”？ 分析：将数据按照大小顺序排列：6000元，4000元，1700元，1300元， 1200元，1100元，1100元，1100元，500元.

定义：n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数（median）

思考：什么时候取最中间位置的数据？什么时候取最中间两个数据的平均数？举例说明。

4、众数：

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数（mode）. 思考：一组数据中中位数有几个？众数可以有多个吗？

例4、上海东方大鲨鱼队队员身高的中位数、众数分别是多少？ 上海东方大鲨鱼队 号码 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 身高/米 1.85 1.96 2.02 2.05 1.88 1.94 1.85 2.08 1.98 1.97 1.96 2.23 1.98 1.86 2.02 年龄/岁 24 21 29 21 21 29 24 34 18 18 23 21 24 26 16 解：按从大到小的顺序排列如下（单位:米）: 2.23 1.96 2.08 1.96 2.05 1.94 2.02 1.88 2.02 1.86 1.98 1.85 1.98 1.85 1.97 ∴ 中位数是1.97米

众数是2.02米，1.98米，1.96米和1.85米.

例5、某商场在一个月内销售某种品牌的冰箱共58台，具体情况如下：

型号 销售数量 200升 6台 215升 38台 185升 14台 176升 8台 请问此商场的经理关注的是这组数据的平均数吗？他关注的是什么？为什么？如果你是经理，你将如何调整这种冰箱的进货数量呢？

【中考链接】

1. 下表是我国部分城市气象台对五月某一天最高温度的预报，当天预报最高温度数据的中位数是（ ） 城市 最高温度 （℃） 北京 上海 杭州 苏州 武汉 重庆 广州 东莞 珠海 深圳 26 25 29 29 31 32 28 27 28 29 A. 28 B. 28.5 C. 29 D. 29.5

2. 学校篮球集训队11名队员进行定点投篮训练，将11名队员在1分钟内投进篮框的球数由小到大排序后为6，7，8，9，9，9，9，10，10，10，12. 这组数据的众数和中位数分别是 .

3. 某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表： 成绩/分 人数 3 4 5 6 7 8 9 9 15 10 12 1 1 2 2 8 则这些理化生成绩的众数为 .

4. 小强同学投掷30次实心球的成绩如下表所示： 成绩/m 频数 8 1 9 6 10 9 11 10 12 4 由上表可知小强同学投掷30次实心球成绩的众数与中位数分别是（ ）

A. 10，9 B. 10，11 C. 11，9 D. 11，10

5. 振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据. 下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人.

（1）他们一共调查了多少人？

（2）这组数据的众数、中位数各是多少？

（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？

人数 10 15 20 25 30 捐款数/元

【课堂小结】

同学们，今天我们主要研究了数据的代表——平均数、中位数、众数。

平均数、中位数是一组数据的“平均水平”的“特征数”，而众数是描述数据的“集中趋势”的“特征数”，它们各自的特点如下：

（1）用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这些数据所包含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并且易受极端数据的影响。

（2）用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”。

（3）用中位数作为一组数据的代表，可靠性也较差，但中位数也不受极端数据的影响，也可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一、试试你的身手（每小题3分，共24分） 1. 数据2，3，4，6，0的平均数是 .

2. 某班的30名同学中，身高155cm的有20人，身高160cm的有5人，身高165cm的有5人，这个班学生的平均身高是 cm.

3. 某班50名同学的平均身高为168cm，其中30名男生的平均身高为170cm，则20名女生的平均身高是 cm.

4. 某校举办纪念抗日战争胜利60周年歌咏比赛，6位评委给某班演出评分如下（单位：分）：

90 96 91 96 92 94

则这组数据中，众数和中位数分别是 .

5. 为了解七年级某班学生的营养状况，随机抽取了8名学生的血样进行血色素检测，以此来估计这个班学生的血色素的平均水平，测得结果如下（单位：g）：

13.8 12.5 10.6 11 14.7 12.4 13.6 12.2

则这8位学生血色素的平均值为 g.

6. 数据4，3，3，2，5，3，6的众数是 ，中位数是 .

7. 为了解七年级学生的身体发育情况，每班随机抽取15名同学测身高，现测得3班15名同学的身高如下表（单位：cm）： 身高 人数 140 1 145 1 150 2 155 2 160 3 165 3 170 2 175 1 则这15名同学身高的中位数是 .

8. 小明参加暑期军事夏令营，在进行射击训练时，8颗子弹分别命中3环，6环，4环，8环，4环，3环，8环，4环，他的平均成绩是 环.

二、相信你的选择（每小题3分，共24分）

*1. 如果3，2，x，5的平均数是4，那么x等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 某校编织兴趣小组比赛编“中国结”，四个小组一节课所编数量分别为：10，10，x，8，已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数为（ ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

3. 某校生物兴趣小组11人到野外捕捉蝴蝶制作标本. 其中有2人每人捉到6只，有4人每人捉到3只，其余5人每人捉到4只，则这个兴趣小组平均每人捉到蝴蝶只数为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 将进价为每千克28元的甲种糖，每千克20元的乙种糖，每千克12元的丙种糖，按3∶2∶5的比例混合成杂拌糖出售，则这种糖平均每千克售价不应低于（ ）

A. 18元 B. 18.4元 C. 19.6元 D. 20元

5. 10名工人某天加工同一种零件的件数分别为：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（ ）

A. a>b>c B. b>c>a C. c>a>b D. c>b>a

6. 在一次全市中学生运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表（单位：m）： 成绩 人数 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1 1.85 1 1.90 1 2 3 2 3 4 则这17名运动员成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 1.75m，1.70m B. 1.70m，1.75m

C. 1.75m，1.75m D. 1.725m，1.70m 7. 为了研究某一路口某时段的汽车流量，调查员记录了15天内同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆，那么这15天内在该时段每天通过该路口的汽车平均辆数约为（ ）

A. 146 B. 150 C. 153 D. 600

8. 据《南通日报》报道，在2005年度中国城市综合指标座次排名中，南通市在苏中、苏北独占鳌头，各项综合指标的名次如图所示，则图中五个数据的众数和平均数依次是（ ）

A. 32，36

B. 45，36

C. 36，45

D. 45，32

三、挑战你的技能（共38分）

1. （12分）简答题，请说明理由. （1）河水的平均深度为1.5米，一个身高为1.7米但不会游泳的人下水后一定不会淹死，对吗？请说明理由；

（2）5位同学在一次考试中，得分如下：

10，68，78，80，90.

考分为68分的同学是在平均分之上还是之下？你认为他在5人中属于“中上水平”吗？ *2. （12分）某专业户要出售100只羊，现在市场上羊的价格为每千克11元，为了估计这100只羊能卖多少钱，该专业户从中随机抽取5只羊，称出每只羊的重量如下（单位：kg）：

26，31，32，36，37.

（1）求这5只羊的平均重量；

（2）估计这100只羊能卖多少钱.

*3. （14分）某地区筹备召开中学运动会，指定某校七年级9个班中抽取48名女生组成花束队，要求身高一致，现随机抽取10名七年级某班女生体检表（各班女生人数均超过20人），测得身高如下（单位：cm）：165，162，158，157，162，162，154，160，167，155.

（1）求这10名女生的平均身高；

（2）问该校能否按要求组成花束队，试说明理由.

*四、拓广探索（14分）

国美家电商厦一周的销售额（单位：元）如下： 星期一 2300 星期二 3830 星期三 29800 星期四 55320 星期五 46860 星期六 87400 星期日 75400 （1）请问这家商厦平均每天的销售额是多少？若全国共有280家连锁商厦，那么平均每天的总销售额是多少？（保留整数）

（2）试比较这一周销售额的平均数、众数、中位数之间的关系，并说明理由.

（3）如果你是商场经理，你将作出怎样的经营决策？

提升能力题：

*1. 对某校七年级的部分同学进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后填入下表： 次数分段 50~74 75~99 100~124 125~149 人数 5 15 （1）求参加这次测试的学生人数；

20 10 （2）如果一分钟跳绳次数在75次以上（含75次）为达标，请估计该年级学生测试的达标率是多少？

（3）这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在四个小组中的哪一个小组内？请说明理由.

**2. 我市部分学生参加了2005年全国初中英语竞赛决赛，并取得优异成绩，已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩分数分布情况如下： 分数段 0~19 20~39 40~59 60~79 80~99 100~119 人数 0 37 68 请根据以上信息解答下列问题：

95 56 32 120~140 12 （1）全市共有多少人参加本次英语竞赛？最低分和最高分在什么分数范围？ （2）经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上（含60分）的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；

（3）决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？

**3. 据报道，某公司的33名职工的月工资如下（单位：元）： 职务 人数 工资 董事长 1 副董事长 1 董事 2 总经理 1 经理 5 管理员 3 职员 20 5500 5000 3500 3230 2730 2200 1500 （1）求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数； （2）假设副董事长的工资从5 000元涨到15 000元，董事长的工资从5 500元涨到28 000

元，那么新的平均工资、中位数、众数又是多少？（精确到1元） （3）你认为哪个统计量能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.

【试题答案】

一、1. 3 2. 157.5 3. 165 4. 96分、93分 5. 12.6 6. 3，3 7. 160cm 8. 5

二、1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. C 8. B

三、1. （1）河水的平均深度为1.5米，不能代表河水每一处的水深都为1.5米，言外之意有的地方水深可能超过1.70米，因而不能保证一个身高为1.70米但不会游泳的人下水后一定不会淹死；

（2）考分为68分的同学是在平均分之上；考分为68分的同学不属于“中上水平”. 2. （1）5只羊的平均重量为32.4kg； （2）估计100只羊能卖35 640元. 3. （1）平均身高为160.2cm；

（2）该校能按要求组成花束队，理由略.

四、略.

提升能力题答案： 1. （1）50人；

（2）达标率为90%；

（3）跳绳次数的中位数落在第三小组内.

2. （1）全市共有300人参加竞赛，最低分在20~39分之间，最高分在120~140分之间； （2）本次决赛共有195人获奖，获奖率为65%； （3）决赛成绩的中位数落在60~79分数段内.

3. （1）平均数约为2 151元，中位数是1 500元，众数是1 500元；

（2）新的平均工资约为3 136元，中位数是1 500元，众数是1 500元；

（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别极大，这样导致平均工资与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.

【试题答案】

一、1. 3 2. 157.5 3. 165 4. 96分、93分 5. 12.6 6. 3，3 7. 160cm 8. 5

二、1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. C 8. B

三、1. （1）河水的平均深度为1.5米，不能代表河水每一处的水深都为1.5米，言外之意有的地方水深可能超过1.70米，因而不能保证一个身高为1.70米但不会游泳的人下水后一定不会淹死；

（2）考分为68分的同学是在平均分之上；考分为68分的同学不属于“中上水平”. 2. （1）5只羊的平均重量为32.4kg； （2）估计100只羊能卖35 640元. 3. （1）平均身高为160.2cm；

（2）该校能按要求组成花束队，理由略.

四、略.

提升能力题答案： 1. （1）50人；

（2）达标率为90%；

（3）跳绳次数的中位数落在第三小组内.

2. （1）全市共有300人参加竞赛，最低分在20~39分之间，最高分在120~140分之间； （2）本次决赛共有195人获奖，获奖率为65%； （3）决赛成绩的中位数落在60~79分数段内.

3. （1）平均数约为2 151元，中位数是1 500元，众数是1 500元；

（2）新的平均工资约为3 136元，中位数是1 500元，众数是1 500元；

（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别极大，这样导致平均工资与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ut66.html