2010年中考数学压轴题100题精选(答案21-40)

2010年中考数学压轴题100题精选（21-30题）答案

【021】解：（1）

k2?k1； … ………………………………3分

（2）①EF∥AB． ……………………………………4分

E(?4,?)证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），

k24，

F(k23,3) ．

3?∴PA=3，PE=PAPE?33?k24?kk24?23． 4，PB=4，PF=

12PBPF?44?k23?1212?k212?k2∴，

PAPB?PEPF． ………………………… 6分 ∴

又∵∠APB=∠EPF．

∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．

∴EF∥AB． …………………………… 7分 ②S2没有最小值，理由如下：

过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．

?由上知M（0，

k2k2k24），N（3，0），Q（3，

?k24）． ……………… 8分

而S△EFQ= S△PEF，∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形

OMQN

1211kkk2?k2k2?k2?2?212 234＝＝21=12当

(k2?6)2?3． ………………………… 10分

k2??6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12． …………… 11分

∴0＜S2＜24，s2没有最小值． …………………………… 12分

说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用tan?PAB＝tan?PEF来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF． 2．求S2的值时，还可进行如下变形：

S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF，再http://www.eduU.com E度教育网

利用第（1）题中的结论．

【022】解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．……2分 ∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，

11∴C(m，－2)代入得a＝2．∴解析式为：y＝2(x－m)2－2．………………………5分 (亦可求C点，设顶点式)

(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物

1线y＝2(x－m)2－2顶点在坐标原点．……………………………………7分

1(3)由(1)得D(0，2m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．

∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分 1∴2m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)． 当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；

当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)

综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分

【023】（1）证明：∵△MBC是等边三角形 ∴MB?MC，∠MBC?∠MCB?60? ∵M是AD中点 ∴AM?MD ∵AD∥BC

A

M

D

60°

B

P

∠DMC?∠MCB?60? ∴∠AMB?∠MBC?60?，Q C

∴△AMB≌△DMC ∴AB?DC ∴梯形ABCD是等腰梯形． （2）解：在等边△MBC中，

MB?MC?BC?4，∠MBC?∠MCB?60?，

∠MPQ?60?∴∠BMP?∠BPM?∠BPM?∠QPC?120? PCCQ?∠BMP?∠QPC△BMP∽△CQPBMBP 5分 ∴∴ ∴

∵PC?x，MQ?y ∴BP?4?x，QC?4?y 6分

x4?y1?y?x2?x?44∴44?x ∴ 7分

∥∥（3）解：①当BP?1时，则有BPAM，BPMD

113MQ?y??32?3?4?44 则四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形∴

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∥∥当BP?3时，则有PCAM，PCMD ，

113MQ?y??1?1?4?44 则四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形 ∴

BP?1，MQ?∴当

1313BP?3，MQ?4或4时，以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的

四边形是平行四边形．此时平行四边形有4个．

△PQC为直角三角形 ∵

y?12?x?2??3y4 ∴当取最小值时，x?PC?2

∴P是BC的中点，MP?BC，而∠MPQ?60?，∴∠CPQ?30?，∴∠PQC?90? 【024】（1）由B(3,m)可知OC?3，BC?m，又△ABC为等腰直角三角形， ∴AC?BC?m，OA?m?3，所以点A的坐标是（3?m,0）. （2）∵?ODA??OAD?45? ∴OD?OA?m?3，则点D的坐标是（0,m?3）.

2P(1,0)y?a(x?1)BD又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： 2??a(3?1)?m?a?1??22??a(0?1)?m?3 解得?m?4 ∴抛物线的解析式为y?x?2x?1 ………7分

2QM?ACQN?BCQQQ(x,x?2x?1)，NM（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是2QM?CN?(x?1)则，MC?QN?3?x.

QMPM(x?1)2x?1??QM//CE?PQM?PECECPCEC2，得EC?2(x?1) ∵∵ ∴∽ ∴ 即QNBN43?x4?(x?1)2?FC??QN//FC ∴?BQN∽?BFC ∴FCBC 即FCx?1 又∵4，得AC?4

FC(AC?EC)?∴

444[4?2(x?1)]?(2x?2)??2(x?1)?8x?1x?1x?1

即FC(AC?EC)为定值8.

【025】解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）；

则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8 http://www.eduU.com E度教育网

∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4

∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0

11S?4?a2??a2?422（3）如图10（2），当0?a?2时，；

S?11(4?a)2?(a?4)222；

如图10（3），当2?a?4时，

∴S与a的函数的图象如下图所示：

S 4· 2· S?1S??a2?（40?a?2)2

12(a?4)（2?a?4)2

0 · 2 · 4 a

22【026】解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6∴AH=3AC=3×6=4

又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分

AHHG4HG16∴AC=BC，即6=8，∴HG=3…………………………………2分 111632∴S△AHG=2AH·HG=2×4×3=3……………………………………3分

（2）①能为正方形…………………………………………………………………4分 ∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形

又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形…………………………………5分 又CH=AC-AH=6-4=2

∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形

此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形…………………………6分 ②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB

∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.

当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.…………7分

FMAC63过F作FM⊥DE于M，ME=tan∠DEF=tan∠ABC=BC=8=4

44884∴ME=3FM=3×2=3，HF=DM=DE-ME=4-3=3 141616∴直角梯形DEFH′的面积为2（4+3）×2=3∴y=3

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1（Ⅱ）∵当4＜t≤53时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.而S边1324040形CBGH=S△ABC-S△AHG=2×8×6-3=3S矩形CDH′H=2t∴y=3-2t

31PD（Ⅲ）当53＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P.BD=8-t又DB=tan∠ABC=4

33∴PD=4DB=4（8-t）∴重叠部分的面积y=S ,

33311△PDB=2PD·DB=2·4（8-t）（8-t）=8（8-t）2=8t2-6t+24

∴重叠部分面积y与t的函数关系式：

3y=16（0

≤t≤4）

403-2t

1（4＜t≤53）

318t2-6t+24（53＜t≤8）

【027】解：(1)设抛物线的解析式为：y1?a(x?1)?4, 把A（3,0）代入解析式求得a??1

22y??(x?1)?4??x?2x?3，设直线AB的解析式为：y2?kx?b 1所以

2y??x?2x?3求得B点的坐标为(0,3) 把A(3,0)，B(0,3)代入y2?kx?b中 1由

2解得：k??1,b?3所以y2??x?3

6分

(2)因为C点坐标为(１,4) ，所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2 8分

S?CAB?1?3?2?32(平方单位)

(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，

9则h?y1?y2?(?x?2x?3)?(?x?3)??x?3x，由S△PAB=8S△CAB

22193?3?(?x2?3x)??3x?282 得：2，化简得：4x?12x?9?0解得，

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1??4M?1，a?1?，N?a，?a?3?.……………4分 ?3（1）

1??4?a，?a??y33?， （2）由题意得点N与点N′关于轴对称，?N??1168?a?a2?a?a93将N′的坐标代入y?x?2x?a得3，

2?a1?0（不合题意，舍去）

，

a2??94.……………2分

3???N??3，?4?，?点N到y轴的距离为3. ?9???A?0，??4?，N? ??3?9y?x??3，??4?，?直线AN?的解析式为4，

?9?9D?，0?，?y它与x轴的交点为?4?点D到轴的距离为4.

19199189?S四边形ADCN?S△ACN?S△ACD???3????2222416.……………2分

（3）当点P在

y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，

7??4a，?a??3?，代入抛物线的解析式， ?把N向上平移?2a个单位得到P，坐标为?37168?a?a2?a?a93得：3

?a1?0（不舍题意，舍去）

，

当点P在

a2??7?3?P??1，???28?.……………2分 8，

y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，

?OA?OC，OP?ON．

?P

?41??P??a，a??33?， 与N关于原点对称，

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1168a?a2?a?a93将P点坐标代入抛物线解析式得：3，

5?15?P?5，?a2?????a1?0（不合题意，舍去）28??．……………2分 8，，

?17??55?P?，P??1?2?，??存在这样的点?28?或?28?，能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边

形．

【034】解：（1）23. ……………2分

（2）证明：在BB?上取点P，使?BPC?120°， 连结AP，再在PB?上截取PE?PC，连结CE．

P A E B?

??BPC?120°，??EPC?60°，?△PCE为正三角形， B 第（25）题

C ?PC?CE，?PCE?60°，?CEB?=120°，

?△ACB?为正三角形，?AC?B?C，?ACB?=60°， ??PCA??ACE??ACE??ECB?=60°， ??PCA??ECB?′，?△ACP≌△B?CE． ??APC??B?CE?120°，PA?EB?，

??APB??APC??BPC?120°，?P为△ABC的费马点，

?BB?过△ABC的费马点P，且BB?=EB?+PB?PE?PA?PB?PC．………2分

【035】解：（1）Q（1，0）

1分

点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分

（2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF?BE?4． ∴AF?10?4?6．

y22 在Rt△AFB中，AB?8?6?10 3分

D 过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． ∵

?ABC?90?,AB?BCCAMFONQPHGx ∴△ABF≌△BCH．

．

∴

BH?AF?6,CH?BF?8BEhttp://www.eduU.com E度教育网

∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12．

∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF．

tAMMPAPAMMP?????68． ∴ABAFBF． 103434AM?t，PM?tPN?OM?10?t,ON?PM?t55． ∴55． ∴

设△OPQ的面积为S（平方单位）

13473S??(10?t)(1?t)?5?t?t2251010（0≤t≤10） 5分 ∴

说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

t??47102?(?3)10?476 ∵

a??310<0 ∴当

时， △OPQ的面积最大． 6分

9453 此时P的坐标为（15，10） ． 7分

5295t?t?3或13时， OP与PQ相等． 9分 （4） 当

对一个加1分，不需写求解过程．

0)，D(2，2)， 【036】解：（1）由已知，得C(3，??ADE?90°??CDB??BCD，

?AE?AD?tan?ADE?2?tan?BCD?2?1?11)． （1分） 2．?E(0，2y?ax?bx?c(a?0)．将点E的坐标代入，得c?1．[来E、D、C设过点的抛物线的解析式为

?4a?2b?1?2，?9a?3b?1?0. （2分） c?1D、C源:学&将和点的坐标分别代入，得?5?a????6?513?b?13y??x2?x?1?6[来源:学#科#网]故抛物线的解析式为66解这个方程组，得?．

分）

（2）EF?2GO成立．

（4分）

（3

6125． （5分） ?点M在该抛物线上，且它的横坐标为5，?点M的纵坐标为y http://www.eduU.com E度教育网

F Ｍ D B A E

设DM的解析式为

y?kx?b1(k?0)，

将点D、M的坐标分别代入，得

1?2k?b1?2，???k??，2?6?12k?b?.1?5 解得??b1?3． ?51y??x?33)，EF?2． （7分） 2?DM的解析式为．?F(0，过点D作DK⊥OC于点K，则DA?DK．??ADK??FDG?90°，

??FDA??GDK．又??FAD??GKD?90°，?△DAF≌△DKG． ?KG?AF?1．[来?GO?1．?EF?2GO．

，0)，C(3，0)，则设P(1，2)． （3）?点P在AB上，G(1222222?PG?(t?1)?2，PC?(3?t)?2，GC?2．

①若PG?PC，则(t?1)?2?(3?t)?2，

22222)，此时点Q与点P重合．?Q(2，2)． 解得t?2．?P(2，2?2，2)，此时GP⊥x轴． (t?1)?2?2PG?GC②若，则，解得 t?1，?P(1?7?7Q?1，?GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，?点Q的纵坐标为3．??3?．

222(3?t)?2?2PC?GC③若，则，[来

2)，此时PC?GC?2，△PCG是等腰直角三角形． 解得t?3，?P(3，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH?GH，设QH?h，

?Q(h?1，h)．

513??(h?1)2?(h?1)?1?h66．

A E y Q P Q (Q) (P) D (P) B ?127?7?Qh1?，h2??2?，??55?．5解得（舍去）．（12分） O http://www.eduU.com E度教育网

G H C x

?7??127?Q?1，?Q?，?2)或?3?或?55?． 综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q(2，?【037】解：（1）设第一象限内的点B（m,n），则tan∠POB

n11?y?m9，x得m=9n，又点B在函数

n?

的图象上，得

11(3,)m，所以m=3（－3舍去）3， ，点B为

1118AB?3??33； 而AB∥x轴，所以点A（3，3），所以

118（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a , a），B（a，a），则AB=a－ a = 3,

a??3或a?13 .

所以3a?8a?3?0，解得

2155当a = －3时，点A（―3，―3），B（―3，―3），因为顶点在y = x上，所以顶点为（－3，－3），553y?k(x?)2?33，点A代入，解得k= －4,所以所求函数解析式为所以可设二次函数为355y??(x?)2?433 .

1355y??(x?)2?433； 同理，当a = 3时，所求函数解析式为

1a1x??22a . （3）设A（a , a），B（a，a），由条件可知抛物线的对称轴为

y?设所求二次函数解析式为：

91(x?2)(x?(a?)?2)5a .

点A（a , a）代入，解得a1?3，

a2?613，所以点P到直线AB的距离为3或

613。

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BP4?【038】解：（1）矩形（长方形）；BQ7．

（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°，?△COP∽△A?OB?．

?CPOCCP697???CP?BP?BC?CP?A?B?OA?，即68，2，2． 4分

同理△BCQ∽△BCO，

????CQB?CCQ10?6??C?QB?C?，即68，

?BP7?BQ22．

?CQ?3，BQ?BC?CQ?11．

②在△OCP和△B?A?P中，

6分

??OPC??B?PA?，???OCP??A??90°，?OC?B?A?，?△OCP≌△BAP(AAS)． [来源:学科网ZXXK]?22??7分

2?OP?B?P．设B?P?x，[来源:学科网]在Rt△OCP中， (8?x)?6?x，解得

8分

x?254．

12575?S△OPB????6?244． 9分

BP?1BQ2． 10分

（3）存在这样的点P和点Q，使

3?7???P?9?6，6P6?2??，1??42?． 12分 ?，?点P的坐标是?对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．

y ??过点Q画QH⊥OA于H，连结OQ，则QH?OC?OC， P B ?S△POQ?11PQ?OCS△POQ?OP?QH22，，

?BP?1BQ2，?BQ?2x，

B B? Q C H O y A? A C? x ?PQ?OP．设BP?x，

如图1，当点P在点B左侧时，

A? P H O B? C Q OP?PQ?BQ?BP?3x，

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C? A x

222(8?x)?6?(3x)Rt△PCO在中，，[来源:学科网ZXXK]

解得

x1?1?336x2?1?622，（不符实际，舍去）．

?PC?BC?BP?9?3??3?9?6，66?P1??2??． 2，②如图2，当点P在点B右侧时，?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x．

在Rt△PCO中，(8?x)?6?x，解得

222x?25257?8??4．?PC?BC?BP44，

3?7??7???1?P2??，6?P?9?6，6P?，6BP?BQ2?1???2?4?．综上可知，存在点??，?4?，使2．

【039】(1) 将点A(-4，8)的坐标代入y?ax，解得

1y?x22，求得点B的坐标为(2，2)， 将点B(2，n)的坐标代入

则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． 54y??x?33． 直线AP的解析式是

44x?5．即所求点Q的坐标是(5，0)． 令y=0，得

2a?12． ……1分

……1分 ……1分 ……1分

y 414(2)① 解法1：CQ=︱-2-5︱=5， ……1分

114y?x22向左平移5个单位时，A′C+CB′最短， 故将抛物线

114y?(x?)225． 此时抛物线的函数解析式为 ……1分

1y?x22向左平移m个单位，则平移后A′，B′的解法2：设将抛物线

坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐

标为A′′(-4-m，-8)．

554y?x?m?333． 要使A′C+CB′最短，直线A′′B′的解析式为

点C应在直线A′′B′上，将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析

14m?5． 式，解得

8 6 4 2 B D C -4 -2 O Q 2 4 x -2 P -4 (第24题(1)) A′ 8 6 4 B′ 2 D C -4 -2 O 2 4 x -2 -4 y A A′(第24题(2)①) 1214x2向左平移5个单位时A′C+CB′最短，此时抛物故将抛物线

114y?(x?)225． 线的函数解析式为 ……1分

y?http://www.eduU.com E度教育网

12x2，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD② 左右平移抛物线

的周长最短，只要使A′D+CB′最短； ……1

y 分 A′ 8 第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不

6 存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分 4 B′ B′第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为2 C D A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

-4 -2 O 2 4 x -2 因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，

-4 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． ……1分

y?点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式

55y?x?b?222为．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得

A′(第24题(2)②) b?165．故将抛物线向左平移时，存在某个位

116y?(x?)225．……1分 置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为

【040】（1）解 ①如图1，当B?在△ABC内时，重叠部分是平行四边形,由题意得：

2x?

3322 解得x=2……（2分）

②如图3，当A?在△ABC内时，重叠部分是平行四边形,由题意得：

32 A?N=62?x 列式得(62?x)×2=2

3解得x=62?2……（2分）

332综上所述，当△A?B?C?与△ABC重叠部分面积 为2平方厘米时，△A?B?C?移动的时间为23或（62?2）秒。

图1 图2 图3 （2） ①如图1，当0≤x≤22时 y?http://www.eduU.com E度教育网

2x……（1分）

②如图2，当22≤x≤42时，如图，△DB?N, △A?ME,△C?FG是等腰直角三角形， B?N＝x?2，GF=MN=22,A?M?42?x

y?1111?4?4??2?2??(x?22)2??(42?x)22244

1y??x2?32x?42即…(3分)

③如图3，当42≤x≤62时，y??2x?12…（1分） （3）①当0≤x≤22时， ②当22≤x≤42时， ③当42≤x≤62时，

y最大值＝4……（1分）

y最大值＝5……（2分） ……（1分）

y最大值＝4所以，△A?B?C?与△ABC重叠部分面积的最大值为5。

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