普通物理学习题1-5答案

习题1

1-1 P点相对于原点的位矢rp??2i?6jm, P点到Q点的位移?r?4i?2jm, 求Q点相对于原点的位矢并画图.

解：设Q点相对与原点的位矢为rQ，则：

rQ?rp??r?2i?4j

1-2一质点作直线运动，它的运动方程是x?bt?ct2, b, c是常数. (1) 求此质点的速度和加速度函数；(2) 作出x?t，??t和a?t图

解：这是一个一维的问题.

dx速度 ???(?2ct?b，)

dtd?加速度 a???2c.

dt图略.

1-3物体按照x?4.9t2的规律运动，x的单位为米，t的单位为秒. (1) 计算下列各时间段内的平均速度：1s到1.1s,1s到1.01s,1s到1.001s; (2) 求1s末的瞬时速度；(3) 解释上述结果

解：这也是一个一维的问题.

?x(1) 平均速度 ??.

?t?x4.9?1.12?4.9?12? 1s到1.1s内： ??＝10.29 （m/s）, ?t1.1?1?x4.9?1.012?4.9?12?1s到1.01s内：??＝9.849（m/s）, ?t1.01?1?x4.9?1.0012?4.9?12?1s到1.001s内：??＝9.8049（m/s）. ?t1.001?1(2) 速度 ??dx?9.t8. dt1-4一质点以10m?s?1的恒定速率向东运动. 当它刚到达距出发点为d的一点时，立即以20m?s?1的恒定速率返回原处. 问: 质点在全过程中的平均速度和平均速率为多少？

解：取出发点为原点，向东为x轴正方向. 从原点到x＝d处，作匀速直线运动，时间 ?t1?

?s?1＝d/10.

1

从x＝d处返回原点作匀速直线运动，时间

?t2??s?2＝d/20 (

全过程中，平均速率 ???sd?d??13.3 （m/s） ?t?t1??t2返回原处时，位移?x＝0，平均速度???x＝0. ?t1－5 矿井里的升降机由井底从静止开始匀加速上升，经过3s速度达到

3m?s?1，然后以这个速度匀速上升6s，最后减速上升经过3s后到达井口时刚好

停止. (1) 求矿井深度；(2) 作出x?t，??t和a?t图. 解：（1）以井底为原点，向上为x轴正向.

在0—3s内，升降机作匀加速直线运动:

1?x1??0t?a1t2 (1)

2?12??02?2a1?x1. (2)

其中?0?0. 由（1）、（2）两式得：?x1＝4.5(m).

在3—9s内，升降机以?1＝3m/s作匀加速直线运动,

?x2??1t＝18（m/s） (3)

在9—12s内，升降机作匀减速直线运动

1?x3??1t?a2t2 (4)

22??12?2a2?x3, (5) ?2其中?2?0. 由（4）和（5）两式得?x3＝4.5(m)

x矿井深度 H??x1??2??x＝34.5＋18＋4.5＝27(m).

1-6湖中有一小船，岸上有人用一根跨过定滑轮的绳子拉船靠岸。若人以匀

速?拉绳，船运动的速度??为多少？设滑轮距水面高度为h，滑轮到船初位置的绳长为l0.

解：取滑轮下水面为原点，向右为正，任意t时刻，斜边即船到滑轮的长度为l0??t, 则船相对岸的位置为 x??l0??t?2?h2,

2

船运动的速度为 ???dxh2?－?/1?(). dtl0??t1-7如图1-7所示, 一身高h的人用绳子拉着雪撬匀速奔跑, 雪撬在距地面高度为H的平台上无摩擦地滑行. 若人的速度为?0, 求雪撬的速度和加速度.

解：取定滑轮为原点，向右为正. t＝0时，雪橇到定滑轮原长l0，人在滑轮正下方. 任意时刻t，雪橇位置为x，速度为?，有 x?l0??H?h????0t?22, ?02tdx, ??＝22dt（H?h）＋（?0t）(H?h)?02d?＝. a?223dt[（H?h）＋（?0t）]1-8一火箭以20m/s 的常速度从距地面高度为50m的悬崖边上垂直向上起飞,

7s 后燃料耗尽. 求从发射到火箭落地的时间.

解：以悬崖边为原点，向上为正. 火箭先以?0＝20m/s向上作匀速直线运动，7s时, 其位置为 y1??0t＝20×7＝140(m). 然后作匀加速运动, t时刻其位置为

y2?y1??0t?12gt. 2到落地时应有 －50＝140＋20t－5t2.

于是得 t＝15.6s.

1-9两个物体A 和 B 同时从同一位置出发同向运动, 物体A做速度为10m/s 的匀速直线运动, 物体B做初速度为零的匀加速直线运动, 加速度为1m/s2. (1) 当物体B追上物体A时,他们距离出发位置多远? (2) 此前, 他们什么时候相距最远?

解：(1) A作匀速直线运动: xA??At, (1)

11 B作匀加速直线运动 xB??0t?at2?at2. (2)

22当B追上A时， xA?xB. (3) 由(1),(2),(3)可得： t?2?A?20s, axA?xB?200m.

3

12t?a. tA2令上式对t的导数为0, 得t＝10s, 此时，它们相距最远:

（2）两者相距 s?x?A?xB? smax?＝50m.

1-10一电梯以加速度1.22m/s2上升. 当电梯速度为2.44m/s时,一个螺丝从电梯天花板落下, 天花板到地板的高度为2.74m. 求螺丝从天花板落到地板的时间和它相对电梯外柱子的位移.

解：取螺钉脱离时开始计时, 取此时的电梯顶为原点，向上为正，电梯向上

1作匀加速运动: x1?x0??0t?at2, (1)

21螺钉向上作匀减速运动: x2??0t?gt2, (2)

2螺钉落到电梯地板上时, x1?x2. (3) 由(1), (2), (3)可得： t＝0.705s, x2＝0.717m.

1-11一质点以初速率?0和相对地面为?的仰角斜上抛出. 忽略空气阻力, 试

2sin2?/2g, 而证明质点到达最高位置的时间和高度分别为t??0sin?/g, h??02sin2?/g. 水平最大位移为R??0证明：质点以初速率?0和相对地面为?的仰角斜上抛出，可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动. 以起抛点为原点，向上为

st, (1) y轴正向,则有 x??0co?1 y??0sin?t?gt2, (2)

2 ?y??0sin??gt. (3) 当质点到达最高位置时，?y?0, 由(3)得

t??0sin?/g.

2sin2?/2g. 将上式代入(2)，可得 h??0质点回到地面时, y＝0. (4)

2g/. 由(1),(2),(4)可得水平最大位移 X??02sin?1-12一小球以相对地面为?的仰角斜上抛出. 小球在最高位置的速度为

4

12.25m/s, 落地点到抛出点的距离为38.2m. 忽略空气阻力, 求小球的初速率和达到的最大高度.

解：同上题，小球在最高位置速度为：

?0cos?t＝12.25 m/s, (1)

2g/＝38.2 m/s, (2) 落地点到抛出点距离： X??02sin?2sin2?/2g (3) 最大高度： h??0由(1),(2),(3)可得 ?0＝19.6m?s?1 , ?＝5117' , h＝11.9m.

1-13一小球以10m/s 的初速率从距地面高度为50m的悬崖边上水平抛出. 求:

(1) 小球落地时飞行的时间; (2) 落地位置; (3) 小球飞行中任意时刻的速度.

解：可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动.以抛出点为原点，向上为y轴正向,则有

x??0t, (1)

1 y??gt2, (2)

2 ?y??gt. (3) 小球落地时y＝-50 m，带入（2）式，可得小球飞行时间t＝3.19s. 落地位置 x??0t＝＝31.9m, 任意时刻小球的飞行速度 ??100?9t26 ,速度的方向角 ??arcot0.9.t 81-14 一列火车以70km/h的速率奔跑, 车上一个信号灯挂在距地面高度为4.9m 的位置, 当灯过地面某处时开始落下. (1)当灯落地时,求灯与车之间的距离以及灯的落地点与开始下落处的距离. (2) 求灯相对车和相对地的运动轨迹. 解：设该地为原点，车行进方向为x轴正向，y轴向上为正

(1) 灯相对于车在水平方向无位移，灯与车之间的距离为0; 相对于地，灯在垂直方向作自由落体运动，水平方向作匀速直线运动:

x??t, (1)

1 y??gt2, (2)

2落地时，取y＝0，由上两式得 x＝20 m. 从上两式中消去t，得到运动轨迹:

?0.x022 y?4.9.

(2) 灯相对于车作自由落体运动:

12gt. (3) 21-15 地面上一根旗杆高20.0m, 中午时太阳正位于旗杆上方. 下午2点时旗杆影子的运动速度多大? 什么时候旗杆影子的长度等于20.0m?

y?y0?

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