2014届镇江高三数学一模（word版，有答案）

2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）

数学Ⅰ试题 2014．3

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回． 2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚． 4．如需作图须用2B铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 参考公式：

柱体的体积公式：V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是高．

直棱柱的侧面积公式：S直棱柱侧=ch，其中c是直棱柱的底面周长，h是高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1．已知集合A??1,2,3,4?，B??m,4,7?，若A?B??1,4?，则A?B? ▲ ． 2．若复数z =

1?3i（i为虚数单位），则 | z | = ▲ ． 1?i开始 x ← 1 y ← 1 x≤5 Y y ← 2y ? 1 x ← x ? 1 Y （第5题）

x2y23．已知双曲线??1的离心率为3，则实数m的值为 ▲ ．

m84．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：?10,20?，2； ?20,3，3；?30,40?，4；?40,50?，5；?50,60?，4；?60,70?，2．则?0样本在?10,50?上的频率是 ▲ ．

5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y等于 ▲ ． 6．设函数f(x)?asinx?x，若f(1)?0，则f(?1)的值为 ▲ ． 7． 四棱锥P ? ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ▲ ．

2N 输出y 结束 8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ． 9．已知tan(a?b)?p?21?，tanb?，则tan?a+?的值为 ▲ ．

4?53?高三数学Ⅰ 第1页（共14页）

10．设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a1??3，ak?1?11．已知正数x,y满足x?2y?2，则

3，Sk??12，则正整数k= ▲ ． 2x?8y的最小值为 ▲ ． xy????????????????12．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，设CD∥AG，BG?2GO，

B????1????????若AD?AB??AC(??R)，则?的值为 ▲ ．

5?(2x?x2)ex,x≤0,13．已知函数f(x)??2若函数g(x)恰g(x)?f(x)?2k，

??x?4x?3,x?0,GCD有两个不同的零点，则实数k的取值范围为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆

C:2x?2y?2m?x4AO（第12题）

内，动直线AB过点P且交圆C于A,B两点，若△ABC的面积的最大?y2m?28?0值为16，则实数m的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．

过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

设函数f(x)?6cos2x?23sinxcosx． （1）求f(x)的最小正周期和值域；

（2）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(B)?0且b?2，cosA?

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形， 且?A1AB?60?，AC?BC，D是AB的中点．

C1B1A14，求a和sinC． 5（1）求证：平面A1DC?平面ABC； （2）求证：BC1∥平面A1DC．

高三数学Ⅰ 第2页（共14页）

BDAC（第16题）

17．（本小题满分14分）

一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，，设?BOC?q，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）． C,D在半圆上）

（1）求V关于θ的函数表达式； （2）求q的值，使体积V最大；

（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

18．（本小题满分16分）

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆2?2?1(a?b?0)上不同的三点，

abA(32,32)，B(?3,?3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上． 2 y（第17题）

DCθAOB（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C的坐标；

（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且

直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，?????????证明OM?ON为定值并求出该定值．

CMBNAOxP

（第18题）

高三数学Ⅰ 第3页（共14页）

19．（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，且(Sn?1??)an?(Sn?1)an?1对一切n?N*都成立．

（1）若λ = 1，求数列?an?的通项公式； （2）求λ的值，使数列?an?是等差数列．

20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?mx?alnx?m,g(x)?（1）求g(x)的极值；

（2）设m?1,a?0，若对任意的x1,x2?[3,4](x1?x2)，f(x2)?f(x1)?最小值；

（3）设a?2，若对任意给定的x0?(0,e]，在区间(0,e]上总存在t1,t2(t1?t2)，使得f(t1)?f(t2)?g(x0)

成立，求m的取值范围．

高三数学Ⅰ 第4页（共14页）

ex，其中m，a均为实数． ex11恒成立，求a的?g(x2)g(x1) 数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB?AD，E是CB延 长线上一点，直线EA与圆O相切． 求证：

B．选修4—2：矩阵与变换

?1??12? 已知矩阵M??，，计算M6?． ??????7??21?CCDAB． ?ABBEDOBEA（第21-A题）

C．选修4—4：坐标系与参数方程

?x?2?2cosa, 在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为?(a为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的

?y?2sina正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的直角坐标方程； （2）圆的极坐标方程．

D．选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)?x?1?x?2?a2?2a，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．

高三数学Ⅰ 第5页（共14页）

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为

2，且各次投篮的结果互不影3响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数x的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

*012mm设Sn?Cn其中当n为偶数时，m??Cn?1?Cn?2???(?1)Cn?m，m,n?N且m?n，

n；当n为奇数时，2m?n?1． 2（1）证明：当n?N*，n≥2时，Sn?1?Sn?Sn?1； （2）记S?

高三数学Ⅰ 第6页（共14页）

1111101231007，求S的值． C2014?C2013?C2012?C2011???C1007201420132012201110072014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．?1,2,3,4,7? 2．5 3. 4 4.10．13 11．9 12．

6 13. 5729 5．63 6．2 7．2 8. 9． 10382?1?73??,??{0,} 14. [3?23,3?27)?(3?27,3?23] ???22?e2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）f(x)?6?1+cos2x?3sin2x=3cos2x?3sin2x?3 2p=23cos(2x?)?3． ???????3分

6所以f(x)的最小正周期为T?2p?p， ???????4分 2值域为[3?23,3?23]． ???????6分 π3 （2）由f(B)?0，得cos(2B?)??．

62πππ7ππ5π，2B??，∴B?． ???????9分 ?B为锐角，∴?2B??366666 ∵cosA?434，A?(0,p)，∴sinA?1?()2?． ???????10分

555bsinA?sinB2?35?43． ???????12分

532在△ABC中，由正弦定理得a? ∴sinC?sin(p?A?B)=sin(2p313?43． ???????14分 ?A)?cosA?sinA?3221016．（1）证明：∵ ABB1A1为菱形，且?A1AB?60?，

∴△A1AB为正三角形． ???????2分

?D是AB的中点，∴AB?A1D．

∵AC?BC，D是AB的中点，∴ AB?CD． ???????4分

?A1D?CD?D，∴AB?平面A1DC． ???????6分

∵AB?平面ABC，∴平面A1DC?平面ABC． ???????8分 （2）证明：连结C1A，设AC1?AC?E，连结DE． 1高三数学Ⅰ 第7页（共14页）

∵三棱柱的侧面AAC11C是平行四边形，∴E为AC1中点． ???????10分 在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1． ???????12分 ∵DE?平面A1DC，BC1?平面A1DC，∴ BC1∥平面A1DC． ???????14分 17．解：（1）梯形ABCD的面积

SABCD?2cosq?2p?sinq=sinqcosq?sinq，q?(0,)． ???????2分 22p体积V(q)?10(sinqcosq?sinq),q?(0,)． ???????3分

2（2）V?(q)?10(2cos2q?cosq?1)?10(2cosq?1)(cosq?1)． 令V?(q)?0，得cosq?1，或cosq??1（舍）． 2pp∵q?(0,)，∴q?． ???????5分

32p1当q?(0,)时，?cosq?1，V?(q)?0,V(q)为增函数；

32pp1当q?(,)时，0?cosq?，V?(q)?0,V(q)为减函数． ???????7分

322∴当q?p时，体积V最大． ???????8分 3qp（AB?2BC?CD）?10=20(cosq?2sin?1)，q?(0,)． （3）木梁的侧面积S侧?22pqS?2SABCD?S侧=2(sinqcosq?sinq)?20(cosq?2sin?1)，q?(0,)．???????10分

22qpqq设g(q)?cosq?2sin?1，q?(0,)．∵g(q)??2sin2?2sin?2，

2222∴当sinpq1?，即q?时，g(q)最大． ???????12分

322p时，sinqcosq?sinq取得最大值， 3又由（2）知q?所以q?p时，木梁的表面积S最大． ???????13分 3综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． ???????14分 9??182?a2?27,?1,???18．解：（1）由已知，得?a2b2 解得?227 ???????2分

?9?b?.9?2?2?2?1,b?ax2y2 所以椭圆的标准方程为??1． ???????3分

27272高三数学Ⅰ 第8页（共14页）

（2）设点C(m,n)(m?0,n?0)，则BC中点为(m?3n?3,)． 22 由已知，求得直线OA的方程为x?2y?0，从而m?2n?3．① 又∵点C在椭圆上，∴m2?2n2?27．②

由①②，解得n?3（舍），n??1，从而m??5． ???????5分 所以点C的坐标为(?5,?1)． ???????6分 （3）设P(x0,y0)，M(2y1,y1)，N(2y2,y2)． ∵P,B,M三点共线，∴∵P,C,N三点共线，∴

3(y0?x0)y1?3y0?3，整理，得y1?．???????8分 ?2y1?3x0?3x0?2y0?3y?15y0?x0y2?1，整理，得y2?．???????10分 ?02y2?5x0?5x0?2y0?3∵点C在椭圆上，∴x02?2y02?27，x02?27?2y02．

3(x02?5y02?6x0y0)3(3y02?6x0y0?27)39 从而y1y2?2??3??． ???????14分 22x0?4y0?4x0y0?92y0?4x0y0?1822?????????45所以OM?ON?5y1y2?． ???????15分

2?????????45∴OM?ON为定值，定值为． ???????16分

219．解：（1）若λ = 1，则(Sn?1?1)an?(Sn?1)an?1，a1?S1?1．

又∵an?0，Sn?0， ∴∴

Sn?1?1an?1， ??????? 2分 ?Sn?1anS?1a2a3aS2?1S3?1????n?1?????n?1， S1?1S2?1Sn?1a1a2an化简，得Sn?1?1?2an?1．① ??????? 4分

∴当n≥2时，Sn?1?2an．② ② ? ①，得an?1?2an， ∴

an?1． ??????? 6分 ?2（n≥2）

an ∵当n = 1时， a2?2，∴n = 1时上式也成立，

∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n?1（n?N*）． ???????8分 （2）令n = 1，得a2???1．令n = 2，得a3?(??1)2． ??????? 10分

要使数列?an?是等差数列，必须有2a2?a1?a3，解得λ = 0． ??????? 11分 当λ = 0时，Sn?1an?(Sn?1)an?1，且a2?a1?1．

高三数学Ⅰ 第9页（共14页）

当n≥2时，Sn?1(Sn?Sn?1)?(Sn?1)(Sn?1?Sn)， 整理，得Sn2?Sn?Sn?1Sn?1?Sn?1，从而

Sn?1Sn?1， ??????? 13分 ?Sn?1?1SnS?1S3S4SS2?1S3?1????n?????n?1， S1?1S2?1Sn?1?1S2S3Sn化简，得Sn?1?Sn?1，所以an?1?1． ?????? 15分 综上所述，an?1（n?N*），

所以λ = 0时，数列?an?是等差数列． ??????? 16分 20．解：（1）g?(x)?列表如下：

x g?(x) e(1?x)，令g?(x)?0，得x = 1． ??????? 1分 ex（?∞，1） ? ↗ 1 0 极大值 （1，?∞） ? ↘

g(x) ∵g(1) = 1，∴y =g(x)的极大值为1，无极小值． ???????3分 （2）当m?1,a?0时，f(x)?x?alnx?1，x?(0,??)．

x?a?0在[3,4]恒成立，∴f(x)在[3,4]上为增函数． ???????4分 x1exex?1(x?1)?，∵h?(x)?设h(x)?> 0在[3,4]恒成立， g(x)exx2∵f?(x)?∴h(x)在[3,4]上为增函数． ???????5分 设x2?x1，则f(x2)?f(x1)?11?等价于f(x2)?f(x1)?h(x2)?h(x1)， g(x2)g(x1)即f(x2)?h(x2)?f(x1)?h(x1)．

1ex设u(x)?f(x)?h(x)?x?alnx?1??，则u(x)在[3,4]为减函数．

exa1ex(x?1)∴u?(x)?1???≤0在（3，4）上恒成立． ???????6分 2xex∴a≥x?ex?1ex?1恒成立． ?xx?1ex?1ex?1(x?1)1123x?1x?1设v(x)?x?e?，∵v?(x)?1?e?=1?e[(?)?]，x?[3，4]，

xx2x241133∴ex?1[(?)2?]?e2?1，∴v?(x)< 0，v(x)为减函数．

x244高三数学Ⅰ 第10页（共14页）

2∴v(x)在[3，4]上的最大值为v(3) = 3 ?e2． ??????? 8分

322∴a≥3 ?e2，∴a的最小值为3 ?e2． ???????9分

33（3）由（1）知g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]． ???????10分 ∵f(x)?mx?2lnx?m，x?(0,??)，

当m?0时，f(x)??2lnx在(0,e]为减函数，不合题意． ??????? 11分

m(x?2)m，由题意知f(x)在(0,e]不单调，

当m?0时，f?(x)?所以0?x22?e，即m?．① ???????12分

em22此时f(x)在(0,)上递减，在(,e)上递增，

mm∴f(e)≥1，即f(e)?me?2?m≥1，解得m≥由①②，得m≥3．② e?13． ???????13分 e?12∵1?(0,e]，∴f()≤f(1)?0成立． ???????14分

m2下证存在t?(0,]，使得f(t)≥1．

m取t?e?m，先证e?m?2，即证2em?m?0．③ m3,??)时恒成立． e?1设w(x)?2ex?x，则w?(x)?2ex?1?0在[∴w(x)在[33,??)时为增函数．∴w(x)≥w()?0，∴③成立． e?1e?1再证f(e?m)≥1． ∵f(e?m)?me?m?m?m≥33时，命题成立． ?1，∴m≥e?1e?13,??)． ???????16分 e?1综上所述，m的取值范围为[

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21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分． ．．．．．．A．选修4—1：几何证明选讲

证明：连结AC．?EA是圆O的切线，∴?EAB??ACB． ???????2分

?AB?AD，∴?ACD??ACB． ∴?ACD??EAB． ???????4分

?圆O是四边形ABCD的外接圆，∴?D??ABE． ???????6分 ∴?CDA∽?ABE． ???????8分 ∴

CDDACDAB， ?AB?AD，∴． ???????10分 ??ABBEABBEB．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M的特征多项式为f(?)???1?2?2??1??2?2??3．

?1??1?令f(?)?0，解得?1?3，?2??1，对应的一个特征向量分别为α1???，α2???． ?5分

?1???1?令β?mα1?nα2，得m?4,n??3．

?1??1??2913?M6β?M6(4α1?3α2)?4(M6α1)?3(M6α2)?4?36???3(?1)6?????．?????10分 1?12919??????C．选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）圆的直角坐标方程为(x?2)2?y2?4． ???????5分 ?x??cos?,（2）把?代入上述方程，得圆的极坐标方程为??4cos?．???????10分

y??sin?,?D．选修4—5：不等式选讲

解：f(x)的最小值为3?a2?2a， ???????5分

由题设，得a2?2a?3，解得a?(?1,3)． ???????10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x次投中，“至少有4次投中”的概率为P，则

P?P(x?4)?P(x?5) ???????2分

112222525=C54()4(1?)1?C5． ???????4分 ()(1?)0=

2433333（2）由题意x?1,2,3,4,5．

21221122?1?22，P(x?4)?????， P(x?1)?，P(x?2)???，P(x?3)????333933327?3?3813高三数学Ⅰ 第12页（共14页）

1?1?． P(x?5)?????3?814x的分布表为

x 1 2 32 2 93 4 5 P 221 278181???????8分

22221121． ???????10分 x的数学期望Ex?1??2??3??4??5??392781818123．解：（1）当n为奇数时，n?1为偶数，n?1为偶数， ∵Sn?1?C0n?1?C???(?1)1nn?12Cn?12n?12，Sn?C?C0n1n?1???(?1)n?12Cn?12n?12，

Sn?1?C0n?1?C1n?2???(?1)n?12Cn?12n?12，

∴Sn?1?Sn?(C0n?1?C)?(C?C)???(?1)0n1n1n?1n?12(Cn?1?12n?1?12?Cn?12n?12)?(?1)n?12Cn?12n?12

=?(C0n?1?C1n?2???(?1)n?12Cn?12n?12)??Sn?1．

∴当n为奇数时，Sn?1?Sn?Sn?1成立． ???????5分 同理可证，当n为偶数时， Sn?1?Sn?Sn?1也成立． ???????6分 （2）由S?1111101231007，得 C2014?C2013?C2012?C2011???C10072014201320122011100720141201422014320141007C2013?C2012?C2011???C1007 201320122011100712310071007122331007C2013)?(C2012?C2012)?(C2011?C2011)???(C1007?C1007) 201320122011100702014S?C2014?01=C2014?(C2013?01210070121006=(C2014?C2013?C2012???C1007)?(C2012?C2011?C2010???C1006)

=S2014?S2012． ???????9分 又由Sn?1?Sn?Sn?1，得Sn?6?Sn， 所以S2014?S2012?S4?S2??1，S??

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1． ???????10分 2014

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