探讨三角函数在解题中的应用

探讨三角函数在解题中的应用

豆昌韬

数学与信息学院数学与应用数学09级 指导教师：郭潇

摘要：三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例，三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点。三角函数是数学教学中的重要内容之一。在解题过程中，三角函数常常与三角形密切结合在一起，灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质。本文介绍了三角函数的来历以及发展，并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题，并且介绍了一些有关三角函数的数学思想。

关键词：单位圆 三角函数 三角形 公式定理 单调性 奇偶性 数学思想

A survey to the appliance of trigonometric functions in math

problem solving

Dou Changtao

College of mathematics and information math and applied math grade 2009

Academic supervisor: Guo Xiao

Extract: Trigonometric functions was the key content in High School mathematics as well as the College Entrance Examination, which made it one of the core elements in math teaching. Meanwhile, the properties and images have always been important points of Trigonometric functions. Flexible principles of Trigonometric functions and unique of triangle are often applied to solve math problems . This essay introduces the history and development of Trigonometric functions, the appliance of Trigonometric functions properties in solving problems such as computing values, finding function parameter ranges, and defining

monotonicity or parity of Trigonometric functions, and some mathematical thinking on Trigonometric functions.

Key words: unit circle; Trigonometric functions; triangle; formula theorem; Parity; monotonicity; mathematical thinking.

在高中数学中，三角函数独立成章，又与其他知识紧密联系。是高考的重点考察知识之一。近年来，每年高考都有相关的考题。解三角形是常见的题型。同时还经常跟平面向量联系在一起。还有就是三角代换也是解决许多问题的常用方法。三角里面公式非常多，要去记忆，结合三角函数的图像和性质，许多问题都不难解决。

一、三角函数的定义

在数学中，三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建

模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数（亦称为单调函数）意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。三角函数一般用于计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度，在导航系统，工程学以及物理学方面都有广泛的用途。 其在基本物理中的一个常见用途是将矢量转换到笛卡尔坐标系中。现代比较常用的三角函数有6个，其中Sin和Cos还常用于模拟周期函数现象，比如说声波和光波，谐振子的位置和速度，光照强度和白昼长度，过去一年中的平均气温变化等等。 二、三角函数发展历史

早期对于三角函数的研究可以追溯到古代，现今使用的三角函数发展于欧

洲的中世纪时期。Sin和Cos的使用最早可以追溯到印度笈多王朝的天文学时期，然后经由梵文翻译成阿拉伯文，再由阿拉伯文翻译成拉丁文。

随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。研究三角函数的有伊兹尼克的喜帕恰斯（公元前180－125年）、埃及的托勒密（公元90－180年）、阿里亚哈塔（公元476－550年）、伐罗诃密希罗、婆罗摩笈多、花拉子密、阿布·瓦法、欧玛尔·海亚姆、婆什迦罗第二、纳西尔·艾德丁·图西、Ghiyath al-Kashi（14世纪）、兀鲁伯（14世纪）、约翰·缪勒（1464）、瑞提克斯和瑞提克斯的学

生Valentin Otho。Madhava of Sangamagramma（约1400年）以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。欧拉的《无穷微量解析入门》（Introductio in Analysin Infinitorum）（1748年）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec. 和 cosec.。 三、培养三角函数应用于解题的思想 1. 分类的思想

分类讨论方法又称逻辑划分,中学数学最常用的数学思想方法之一,也是高考数学中常考常新的数学思想.分类讨论就是依据一定的标准,对问题进行分类、求解,然后综合出问题的答案.在三角函数中主要对角的终边所在的象限的三角函数值等进行分类. 2. 数形结合的思想

数形结合方法是指将数(量) 与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略,数形结合思想可以使抽象的复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来.在三角函数的学习过程中,应把三角函数的性质融于函数的图形之中,充分利用三角函数的图像来解决实际问题. 3. 函数与方程思想

方程思想是指对所求的问题通过列方程(组) 使问题获解,有些三角函数问题通过引入一个新的变量,转化命题的结构,经过变形与比较,建立起含有特定字母系数的方程组,进而使问题获得解决. 4. 化归思想

所谓“化归”就是将所要解决的问题转化归结为另一个较易的问题或已经解决的问题, 具体地说把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“复杂”问题转化为“简单”问题,在三角函数中大量应用了化归方法.

主要归纳方法：1) 未知化归为已知.

例如用诱导公式把任意角的三角函数值逐步化归为求锐

角函数值.

2) 特殊化归为一.

例如把正弦函数图像逐步化归为函数

y?Asin(?x??)（其中X?R，A>0,?>0)的简图,把已知三角函数求角,化归

为求[0, 2π]上适合条件的角的集合等.

3) 等价转化.例如进行三角函数的化简,恒等变形和证明三

角恒等式. 5. 整体思维

在对问题的处理过程中,不是局步的、片面的,而是把研究的对象作为一个整体来分析.在三角函数的一类题型中,在运用已知条件时,若把问题孤立分开逐步求解,则很繁杂.若通过对问题的整体结构进行分析,转化命题的结构,常可优化解题过程.

以上五种思维方法在三角函数解题中有着广泛应用,有时在解某一道题过程,往往不只用到一种方法,而是数种方法结合在一起,使整个解题过程出神入化,简洁明快.在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中,有效的训练学生的思维能力.

四、三角函数中的数学美

三角函数(本文泛指单角三角函数、两角和与差的三角函数)是中学数学的重

要内客之一．这部分知识往往给初学者以内容繁杂、公式众多、变换莫测之感，但如果用美学的眼光审视之，三角函数中几乎处处都闪耀着美的光彩，具体体现在以下五个方面． 1．概念之美

设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，则

这六种三角函数都是以“角”为自变量，以比值为函数值的函数．这与幂函数、指数函数、对数函数相比较，显示了三角函数的特殊性——奇异美；这六种三角函数中有三对的比值互成倒数关系，定义中包含了均衡美；三角函数值均可用单位圆中的有向线段表示出来，从而使人们能直观感觉到函数值随自变量变化而变化的情况，这又说明了三角函数的定义具有简洁美和形象美；三角函数是以角的终边上一点的坐标来定义的，它使三角与代数、三角与几何的内容相互融合，定义本身隐含着和谐美；三角函数建立的理论基础是和谐的相似三角形，从抽象的比值到易于观察的三角函数，应用了几何中最美的图形——圆．由此可见，三角函数的定义为三角的发展奠定了一个美的根基． 2．公式之美．

三角函数中有同角三角函数关系式，诱导公式，两角和与差的三角函数关系

式及其衍生出来的倍、半角公式，和差与积的互化公式等．公式之多是三角函数的一大特色．这些公式中蕴含着丰富的美的规律． 同角三角函数关系式共有八个，分为以下三组：

这些关系式把六种不同的三角函数直接或间接地

联系起来，它充分体现了数学的统一美．为了形象地表明六种三角函数的关系，人们还发明了六边形记忆法则(图1)，这个图融三组公式于一体，构思巧妙，内涵深刻，体现了和谐美与对称美．课本中还有许多公式，这里不一一说明了。

3．图象之美．

y=sinx的图象关于原点对称，y=cosx的图象关于y轴对称，它们形似起伏的波浪，周而复始地伸向两方；y＝tanx与y=cotx的图象均关于原点对称，它们分别是由被

它天

们形似飞流的瀑布，上下立地

顶．

了一组组和谐有序的美丽图案，这些图案不仅让人赏心悦目，而且也使人浮想联翩，因为通过图象之间的观察比较，可使人们从形的角度进一步认识到不同三角函数之间的内在联系，而且也为弄清一般函数图象的变换规律提供了依据． 4．结构之美．

三角函数的知识是以角的推广为出发点，以三角函数的定义为源泉，以求值、化简和证明等问题为主线，以图象和性质为重点，以三角变换为手段逐渐发展起来的．三角函数知识脉络清晰，结构严谨，错落有致，系统有序，对问题的研究总是从特殊到一般，从抽象到具体，层层递进，安排合理，使三角函数形成了不可分割的统一体，充分体现了三角结构的和谐美． 5．规律之美．

三角函数中有些知识似乎很零乱，但认真思考后会发现是有规律可循的．像诱导公式，虽然有那么多，但人们只用了10个字——“奇变偶不变，符号看象限”就可以概括，这体现了诱导公式变化中不变性的美．

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