一单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx，且函数?(x)的反函数??1(x)=　　A.ln2(x+1)，则f??(x)??（ ） x-1x-2x+22-xx+2 　　　　B.ln　　　　C.ln　　　　D.lnx+2x-2x+22-x0tx?e?2．limx?0?e?t?2?dt1?cosx?（ ）

D．?

A．0 B．1 C．-1

3．设?y?f(x0??x)?f(x0)且函数f(x)在x?x0处可导，则必有（ ）

A.lim?y?0　　　B.?y?0　　　C.dy?0　　　D.?y?dy

?x?0?2x2,x?14．设函数f(x)=?，则f(x)在点x=1处（ ）

?3x?1,x?1A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设?xf(x)dx=e-x?C，则f(x)=（ ）

　 A.xe-x　 　B.-xe-x　 　C.2e-x　　 D.-2e-x

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+

222227．lim?a?aq?aq2?n??11)+f(x-)的定义域是__________. 44?aqn??q?1??_________

8．limarctanx?_________

x??xg29.已知某产品产量为g时，总成本是C(g)=9+，则生产100件产品时的边际成本MCg?100?__

80010.函数f(x)?x3?2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数y?2x3?9x2?12x?9的单调减少区间是___________.

12.微分方程xy'?y?1?x的通解是___________. 13.设

32ln2e?16cos2x14.设z?则dz= _______. yat?dt??,则a?___________.

15.设D?(x,y)0?x?1,0?y?1，则???2yxe??dxdy?_____________. D三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

?1?16.设y???，求dy.

?x?17.求极限limlncotx

x?0?lnx18.求不定积分

x??5x?1??a01ln?5x?1?dx.

19.计算定积分I=

a2?x2dx.

20.设方程x2y?2xz?ez?1确定隐函数z=z(x,y)，求z'x,z'y。 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？

?22.计算定积分xsin2xdx

?023.将二次积分I??dx?0??siny2xydy化为先对x积分的二次积分并计算其值。

五、应用题（本题9分） 24.已知曲线y?x2，求

（1）曲线上当x=1时的切线方程；

（2）求曲线y?x与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx. 六、证明题（本题5分）

25．证明：当x>0时，xln(x?1?x2)?1?x2?1

2参考答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

1．答案：B

2．答案：A

3．答案：A 4．答案：C 5．答案：D

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）

?13???a7．答案：

1?q6．答案：?,?

448．答案：0

19．答案：

4110．答案： 311．答案：（1，2）

x3?1?Cx 12．答案：213．答案：a?ln2

1?cos2x?14．答案：??sin2xdx?dy?

y?y?1?215．答案：?1?e?

4

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

x?1?16. 答案：??lnx?1???dx

?x?17．答案：-1 18．答案：19. 答案：

2ln?5x?1??C 5?2a 4'x2xy?2zx2'，Zy?20. 答案：Z? zz2x?e2x?e

四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

21．答案：r0?3VV4V3 ，h0??2??r02??222．答案：

423. 答案：1

五、应用题（本题9分） 24. 答案：（1）y=2x-1（2）

11?， 12301?1?y?12312（2） 所求面积S??(?y)dy???y?1??y2??

023?012?4所求体积Vx??

六、证明题（本题5分） 25．证明：

1???2221xdx????1???? ?0??3256301　　　　　　f(x)?xln(x?1?x2)?1?x2?12x1?2x21?x2　　　　　　?f'(x)?ln(x?1?x)?x?x?1?x21?x2xx　　　　　　　　　?ln(x?1?x2)??1?x21?x2　　　　　　　　　?ln(x?1?x2)　　　　　　x?0　　　　　　?x?1?x2?1　　　　　　?f'(x)?ln(x?1?x2)?0故当x?0时f(x)单调递增，则f(x)?f(0),即

xln(x?1?x2)?1?x2?1

三．解答题 (每小题7分 共28分)

2x?3x?4x1)x 16 计算lim(x?03解 原式=limex?01?2x?3x?4x?ln???x?3???ex?0limln2x?3x?4x?ln3x???ex?0

limA2xln2?3xln3?4xln4ln2?ln3?ln43limA?lim??ln24 xxxx?0x?02?3?43 原式=?324?233

x2sint1dt，求?xf(x)dx 17．设f(x)??10t2xsinx22sinx2?解 显然f(1)?0,f?(x)? x2x111121122?xf(x)?xf?(x)dx 原式= ?f(x)dx?????000222

??111111222212xsinxdx??sinxdx?cosx??cos1?1? 0??002222?w?2w18．设w?f?x?2y?3z,xyz?，f具有二阶连续偏导数，求 ,?x?x?y解 令u?x?2y?3z,v?xyz，则

?w?w?u?w?v???f1'?f2'yz ?x?u?x?v?x?f2'?2w?f1'''''''''??zy?1?zf2'??2f11?f12xz??zy?2f21?f22xz??zf2' ?x?y?y?y''''''?2f11??x?2y?zf12?xyz2f22?zf2'

19．求摆线?解

?x???sin?,(??????)的弧长L

?y?1?cos?22L??????x?????y???d????????1?cos???2?sin2?d?

??2?02?1?cos??d??4?3

?0???sind??8??cos??8

22?0?四 综合题（共18分）

20．修建一个容积等于108m的无盖长方体蓄水池，应如何选择水池长、宽、高尺寸，才使它的表面积最小，

并求出它的最小表面积。

解 设水池长、宽、高分别为x,y,z ?m?,则问题是在条件??x,y,z??xyz?108 下，求函数 S?xy?2yz?2zx?x?0,y?0,z?0?的最小值，作Lagrange函数

L?x,y,z??xy?2yz?2zx???xyz?108?

?Lx?y?2z??yz?0?L?x?2y??xz?0?y解方程组 ?

?Lz?2x?2y??xy?0?xyz?108?得唯一可能极值点 ?6,6,3?，由实际问题知表面积最小值存在，所以在长为6m,宽为6m，高为3m时，

表面积最小,最小值为108m . 21．21、若f(x)在?0,1?上连续，在?0,1?内有二阶导数，求证

（1）存在???0,12?，使f(1)?2f(12)?f(0)??f?(??12)?f?(?)?/2 （2）存在???0,1?，使f(1)?2f(12)?f(0)?f??(?)/4 证明 （1）设F?x??f(x?12)?f(x)2x??0,12?，则F(x)在?0,12?上

满足Lagrage中值定理条件，所以，存在???0,12?，使

F?12??F(0)?F?(?)/2??f(1)?f(12)???f(12)?f(0)?

?f(1)?2f(12)?f(0)??f?(??12)?f?(?)?/2

（2）由已知还有，f?(x)在??,??12???0,1?内可导，再次用Lagrage中值定理 所以，存在????,??12???0,1?，使

f?(??12)?f?(?)?f??(?)/2

结合（1）有

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