第十一章 第2节 对坐标的曲线积分

y

一、问题的提出实例: 实例: 变力沿曲线所作的功

BMi Mn 1

L

Mi 1M2

L : A → B, r r A r F ( x , y ) = P ( x , y )i + Q ( x , y ) j o

M1

x

r 常力所作的功 W = F AB [方法] 方法分割 A = M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),L , M n 1 ( x n 1 , y n 1 ), M n = B .

W = ∑ Wii =12

n

r r r 取 F (ξ i ,η i ) = P (ξ i ,η i )i + Q(ξ i ,η i ) j , r Wi ≈ F (ξ i ,η i ) M i 1 M i ,即 Wi ≈ P (ξ i ,η i ) xi + Q(ξ i ,η i ) yi .求和 W = ∑ Wii =1 ni =1

r r 近似 Mi 1Mi =( xi )i +( yi ) j.

y

F(ξi ,ηi )

B

LAo

M2 M1

Mi 1 x i

yi

Mi Mn 1

x

n

近似值

≈ ∑ [ P (ξ i ,η i ) x i + Q (ξ i ,η i ) y i ].n i =1

取极限

= lim ∑ P (ξi ,ηi ) xi + lim ∑ Q(ξ i ,η i ) yi 精确值 λ →0i =1λ →0i =13

n

W = lim ∑ [ P (ξ i ,η i ) x i + Q (ξ i ,η i ) y i ]. λ →0n

二、对坐标的曲线积分的概念1.定义 设L为 xoy面内从点 A到点 B的一条有 定义

向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q( x , y )在 L 上有界 . 用 L上的点 M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), L, M n 1 ( xn 1 , yn 1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i 1 M i ( i = 1,2,L, n; M 0 = A, M n = B ). 设 xi = xi xi 1 , yi = yi yi 1 , 点(ξ i , ηi )为 M i 1 M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 λ → 0时 ,4

∑ P (ξ i ,η i ) xi的极限存在 , i =1= n

n

则称此极限为函

数 P ( x , y )在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线 或称第二类曲线积分) , 积分(或称第二类曲线积分) 记作

∫L P ( x, y)dx = lim ∑ P (ξ i ,η i ) xi . λ →0 i =1类似地定义

∫ Q( x, y)dy = lim∑Q(ξ ,η ) y . λL →0 i =1 i i i

n

其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段.

2.存在条件：当P ( x , y ), Q ( x , y )在光滑曲线弧 L 存在条件： 存在条件

上连续时 , 第二类曲线积分存在 .3.组合形式 组合形式

r r r 其中 F = Pi + Qj ,

∫L P( x, y)dx + ∫LQ( x, y)dy r = ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ F ds. L L

r r ds = dxi + dyj .

4 变力在曲线上的作功 :

W = lim ∑ P(ξi ,ηi ) xi + lim ∑ Q(ξ i ,η i ) yi λ →0i =1λ →0i =1

n

n

= ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dyL

问题 :

∫ P ( x , y )dx其物理意义 ?L

5闭曲线的积分表示 :若L是封闭曲线 , 记

∫ P ( x, y )dx + Q( x , y )dyL7

6.推广 6.推广

空间有向曲线弧 Γn Γ →0 i =1 n

∫ Pdx + Qdy + Rdz.Γi i i i

∫ P( x, y, z)dx = lim∑P(ξ ,η ,ζ ) x . λ ∫Γ Q( x, y, z)dy = lim∑Q(ξi ,ηi ,ζi ) yi . λ→0 i =1 ∫Γ R( x, y, z)dz = lim∑R(ξi ,ηi ,ζi ) zi . λ→0 i =18

n

7.性质 7.性质

(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则

∫

L

Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy .1 2

( 2) 设 L是有向曲线弧 , L是与L方向相反的 有向曲线弧, 有向曲线弧 则

∫

L

P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = ∫L P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy

即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关

三、对坐标的曲线积分的计算基本思想： 基本思想： 统一变量 , 化为定积分 , 积分限由起点到终点 .定理

设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连

x = ( t ), 续, L的参数方程为 当参数 t单调地由 α变 y = ψ ( t ), 到β时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点 B,

( t ),ψ ( t )在以α及β为端点的闭区间上具有 一阶连续导数, 且 ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0, 则曲线积分

∫L P ( x, y)dx + Q( x, y)dy存在,10

且 ∫ P ( x , y )dx + Q ( x , y )dyL

= ∫ { P[ ( t ),ψ ( t )] ′( t ) + Q[ ( t ),ψ ( t )]ψ ′( t )}dtα

β

特殊情形

(1) L : y = y( x )b L a

x起点为 a,终点为 b.

则 ∫ Pdx + Qdy = ∫ { P[ x , y( x )] + Q[ x , y( x )] y′( x )}dx . ( 2) L : x = x ( y )d L c

y起点为 c,终点为 d .

则 ∫ Pdx + Qdy = ∫ { P[ x ( y ), y] x ′( y ) + Q[ x ( y ), y]}dy.11

x = (t ) ( 3) 推广 Γ : y = ψ ( t ), t起点α , 终点β . z = ω (t )

∫ Pdx + Qdy + RdzΓ

= ∫α {P[ (t ),ψ (t ),ω(t )] ′(t ) + Q[ (t ),ψ (t ),ω(t )] ′(t ) ψ + R[ (t ),ψ (t ),ω(t )]ω′(t )}dt

β

例1 计算 ∫ xydx , 其中L为抛物线 y 2 = x上从L

A(1, 1)到B(1,1)的一段弧 .化为对x的定积分， 解 (1) 化为对 的定积分， y = ± x .

B(1,1)

y2 = x

∫ xydx = ∫L0 1

AO

xydx + ∫ xydxOB1A(1, 1)

= ∫ x ( x )dx + ∫ x xdx0

4 = 2 ∫ x dx = . 0 5113

3 2

( 2) 化为对 的定积分， 化为对y的定积分，

x= y ,2

y从 1到1.

B(1,1)

∫L xydx = ∫AB xydx= ∫ y 2 y( y 2 )′dy 1 1

y2 = x

A(1, 1)

4 = 2∫ y dy = . 1 51 414

2 例2 计算 ∫L 2 xydx + x dy , 其中L为

(1) 抛物线 y = x 上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧;2

( 2) 抛物线 x = y 2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线 OAB,这里 O , A, B依次是点(0,0) (1,0), (1,1).解 (1) 化为对 x 的积分 .B(1,1)

L : y = x , x从0变到1,2

y = x2

原式 =

∫

1

0

( 2 x x 2 + x 2 2 x )dx1

= 4 ∫ x 3 dx = 1.0

A(1,0)15

例2 计算 2 xydx + x dy , 其中L为2 L

∫

( 2) 抛物线 x = y 2上从O (0,0)到B (1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB,这里O, A, B依次是点(0,0)(1,0), (1,1).解(2)化为对 y 的积分. )x = y2B(1,1)

L : x = y 2 , y从 0 变到 1 ,原式 =

∫

1

0

( 2 y 2 y 2 y + y 4 )dy1

A(1,0)

= 5∫ y 4 dy = 1.0

B(1,1)

原式 = ∫ 2 xydx + x 2 dy 解(3) )OA

+ ∫ 2 xydx + x 2 dyAB

16

A(1,0)

在 OA 上, y = 0, x从 0 变到 1 ,

∫

OA

2 xydx + x dy =2

∫

1

0

( 2 x 0 + x 2 0)dx

B(1,1)

= 0.

在 AB 上, x = 1, y 从 0 变到 1 ,

A(1,0)

∫AB 2 xydx + x dy = ∫0 ( 2 y 0 + 1)dy = 1.2

1

∴ 原式 = 0 + 1 = 1.

由此知 : 虽然

路径不同, 但积分值相同.问题 : 起点和终点相同的曲线 积分值是否都相同 ?17

例3 计算 ∫ y 2 dx , 其中 L 为L

圆心为原点、 (1 ) 半径为 a 、圆心为原点、按逆时 针方向绕行 的上半圆周 ; ( 2 ) 从点 A ( a , 0 ) 沿 x 轴到点 B ( a , 0 ) 的直线段 .解 x = a cos t (1) Q L : , y = a sin t

t 从 0 变到 π,原式 = ∫ a 2 sin 2 t ( a sin t )dt 0π

B( a , 0 )

A(a,0 )

=a

3

∫0

π

(1 cos 2 t )d (cos t ) = 4 a 3 . 3

( 2 ) Q L : y = 0,

x 从 a 变到 a,原式 = ∫ 0dx = 0.a a

B( a , 0 )

A(a,0 )

由此知：被积函数相同，起点和终点也相同， 由此知：被积函数相同，起点和终点也相同， 但路径不同，积分结果也可以不同. 但路径不同，积分结果也可以不同 结论 : 对坐标的曲线积分值 , 不但与起止点有关 ,而且与路径有关 .19

例4 ∫ LL

ydx x 2 dy , 其中L如图 其中

解 : Q L = AB弧 + BC∴∫ = ∫AB弧 弧

+∫

BC

BC 方程为

y = 2 x2

∴∫

BC

ydx x dy = ∫ ( 2 x ) x 2 ( 1) dx10 2

0

[

]

∫

AB弧

11 = ∫ ( 2 x + x )dx = 1 1 16 2 2 2 2 2 = ∫ ( x x 2 x )dx = 2 ydx x dy 1 ∫ 1 x dx = 32

2 11 7 ∫ L ydx x dy = 3 + ( 6 ) = 6

r 例5. 设在力场 F = { y , x , z } 作用下, 质点由 A( R , 0, 0)

(1) Γ : x = Rcos t , y = Rsin t , z = kt t : 0 → 2π (2) Γ : AB B 试求力场对质点所作的功. r 解:(1) W = F ds = ydx xdy + zdz ∫ ∫= ∫ ( R + k t ) d t = 2π (π k R )2 2 2π

沿Γ移动到 B( R , 0, 2π k) , 其中Γ为

Γ

Γ

2

2

A(R,0,0)

(2) 设 Γ 的参数方程为 x = R , y = 0 , z = t , t : 0 → 2kπ

0

W =∫

Γ

r F ds =

∫ ydx xdy + zdz = ∫AB

2π k

0

t dt21

= 2π 2 k 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/us8j.html