（浙江专用）高考数学总复习 第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性限时训练 理

第3讲 函数的奇偶性与周期性

分层A级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列判断正确的是

( )．

x2－2xA．函数f(x)＝是奇函数

x－2

B．函数f(x)＝(1－x)

2

1＋x是偶函数 1－xC．函数f(x)＝x＋x－1是非奇非偶函数 D．函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数

解析 选项A中的x≠2，而x＝－2有意义，定义域不关于原点对称，选项B中的x≠1，而x＝－1有意义，定义域不关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数． 答案 C

??1－2，x≥0，2．(2013·豫东、豫北十所名校三测)已知函数f(x)＝?x?2－1，x<0，?

－x

则该函数是

A．偶函数，且单调递增 C．奇函数，且单调递增

B．偶函数，且单调递减 D．奇函数，且单调递减

－x－x解析 当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－1)＋(1－2)＝0；当x<0时，－x>0，

f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x－1)＝0，易知f(0)＝0.因此，对任意x∈R，均有f(－x)

＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0时，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增，选C. 答案 C

3．已知偶函数f(x)(x≠0)在区间(0，＋∞)上(严格)单调，则满足f(x－2x－1)＝f(x＋1)的所有x之和为 A．1 C．3

2

2

B．2 D．4

2

( )．

解析 依题意得，方程f(x－2x－1)＝f(x＋1)等价于方程x－2x－1＝x＋1或x－2x－1＝－x－1，即x－3x－2＝0或x－x＝0，因此所有解之和为3＋1＝4，选D. 答案 D

4．(2013·武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a－a－x2

2

2

x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝ ( )．

A．2 C.15 4

B.

17 4

2

D．a

－x解析 依题意知：f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)＝a－a＋2，联立f(x)＋g(x)＝a－a－xxx115x－x2－2

＋2，解得：g(x)＝2，f(x)＝a－a，故a＝2，f(2)＝2－2＝4－＝.

44

答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2012·孝感模拟)已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x＋x，则当x>0时，f(x)＝________.

解析 当x>0时，则－x<0，

2

f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，

∴x>0时，f(x)＝x－x. 答案 x－x

6．(2012·重庆)函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

解析 f(x)＝x＋(a－4)x－4a，∵f(x)为偶函数， 则a－4＝0，即a＝4. 答案 4

三、解答题(共25分)

7．(12分)已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，f(x)的表达式．

解 设x＜0，则－x＞0，所以满足表达式f(x)＝x|x－2|. ∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|. 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|， 故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|.

8．(13分)已知函数f(x)＝x＋(x≠0，a∈R)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝0时，f(x)＝x(x≠0)为偶函数； 当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝2

2

2

2

2

2

axax1

2

ax1－x2

[x1x2(x1＋x2)－a]，

x2x1x2

由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，

x1x2>0.

要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 只需f(x1)－f(x2)<0，

即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.

分层B级 创新能力提升

1．(2013·福州质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，

f(x)＝2x2，则f(7)等于

A．－2 C．－98

B．2 D．98

( )．

解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，

f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.

答案 A

2．(2012·江西盟校联考)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为 A．(1,3)

C．(－1,0)∪(1,3) 解析 f(x)的图象如图．

B．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)

( )．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)； 当x∈(0,1)时，由xf(x)＜0，得x∈?； 当x∈(1,3)时，由xf(x)>0，得x∈(1,3)． ∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C. 答案 C

3．(2012·吉林实验中学模拟)给出两个函数性质：

性质1：f(x＋2)是偶函数；

性质2：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．

对于函数：①f(x)＝|x＋2|，②f(x)＝(x－2)，③f(x)＝cos(x－2)，上述两个函数性

2

质都具有的所有函数的序号是________．

解析 将f(x＋2)的图象沿x轴向右平移2个单位可得f(x)的图象，f(x＋2)的图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(x)＝|x＋2|的图象关于直线x＝－2对称，①排除；f(x)＝cos(x－2)是周期函数，不满足性质2，∴③排除；f(x)＝(x－2)同时满足性质1,2. 答案 ②

4．(2013·盐城调研)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题： ①f(2)＝0；

②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴； ③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；

④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8. 以上命题中所有正确命题的序号为________．

解析 令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0；根据

2

f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴

对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数

f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故

如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则8.故正确命题的序号为①②④. 答案 ①②④

5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积．

解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又因为当0≤x≤1时，f(x)＝x，从而得f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．

故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

x1＋x2

2

＝－4，即x1＋x2＝－

?1?当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×?×2×1??2?

＝4.

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．

(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

(2)若f(x)＝x(0

(2)解 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，

f(x)＝－f(－x)＝－－x.

故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x；

x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.

从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.

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