浙江省高考数学(理科)考前必考题型过关练:专题七+解析几何(7份)专题7 第38练

更新时间:2023-09-24 03:37:01 阅读量: IT计算机 文档下载

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第38练 圆锥曲线中的探索性问题

[内容精要] 本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题,试题难度较大.

题型一 定值、定点问题

x2y21

例1 已知椭圆C:2+2=1经过点(0,3),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交

ab2椭圆于A、B两点. (1)求椭圆C的方程;

→→→→

(2)若直线l交y轴于点M,且MA=λAF,MB=μBF,当直线l的倾斜角变化时,探求λ+μ的值是否为定值?若是,求出λ+μ的值;否则,请说明理由. 破题切入点 (1)待定系数法.

(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y后可得点A,B的横坐标的关系→→→→

式,然后根据向量关系式MA=λAF,MB=μBF.把λ,μ用点A,B的横坐标表示出来,只要证明λ+μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值,否则就不是定值. c1

解 (1)依题意得b=3,e==,a2=b2+c2,

a2x2y2

∴a=2,c=1,∴椭圆C的方程为+=1.

43(2)因直线l与y轴相交于点M,故斜率存在, 又F坐标为(1,0),设直线l方程为

y=k(x-1),求得l与y轴交于M(0,-k), 设l交椭圆A(x1,y1),B(x2,y2),

??y=k?x-1?,由?x2y2 ??4+3=1,

消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 解得

8k2+64k4-4?3+4k2??4k2-12?x1=,

2?3+4k2?8k2-64k4-4?3+4k2??4k2-12?x2=,

2?3+4k2?4k2-128k2

∴x1+x2=,x1x2=,

3+4k23+4k2

→→

又由MA=λAF,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1), x1x2∴λ=,同理μ=,

1-x11-x2

x1+x2-2x1x2x1x2

∴λ+μ=+=

1-x11-x21-?x1+x2?+x1x2

2?4k2-12?8k2

-3+4k23+4k2

8

=-. 2324k-128k

1-+3+4k23+4k2

8

所以当直线l的倾斜角变化时,直线λ+μ的值为定值-. 3题型二 定直线问题

例2 在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点.

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值; (2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.

破题切入点 假设符合条件的直线存在,求出弦长;利用变量的系数恒为零求解. 解 方法一 (1)依题意,点N的坐标为N(0,-p), 可设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线AB的方程为y=kx+p,

?x2=2py,?与x2=2py联立得?

??y=kx+p.

消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由求根公式得

2pk-?-2pk?2+8p2x1=,

22pk+?-2pk?2+8p2x2=,

2则x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.

1

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

2=p|x1-x2|=p=p?x1+x2?2-4x1x2

k2+2,

4p2k2+8p2=2p2∴当k=0时,(S△ABN)min=22p2.

(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,

AC的中点为O′,l与以AC为直径的圆相交于点P,Q,PQ的中点为H, x1y1+p

则O′H⊥PQ,Q′点的坐标为(,).

2211

∵|O′P|=|AC|=

22

21x21+?y1-p?=2

2

y21+p,

?y1+p?1

|O′H|=?a-?=|2a-y1-p|,

2?2?

∴|PH|2=|O′P|2-|O′H|2 1122

=(y21+p)-(2a-y1-p) 44p

=(a-)y1+a(p-a),

2

p

∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-)y1+a(p-a)].

2pp令a-=0,得a=,

22

此时|PQ|=p为定值,故满足条件的直线l存在, p

其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线.

2方法二 (1)前同方法一,再由弦长公式得 |AB|==

1+k2|x1-x2|

1+k2·?x1+x2?2-4x1x2

==2p1+k2·4p2k2+8p2 1+k2·k2+2,

2p1+k

.

又由点到直线的距离公式得d=1

从而S△ABN=·d·|AB|

21=·2p2=2p21+k2·k2+2·

2p1+k

2

2

k2+2.

∴当k=0时,(S△ABN)min=22p2.

(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a, 则以AC为直径的圆的方程为 (x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0,

将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0, 则Δ=x21-4(a-p)(a-y1) p

=4[(a-)y1+a(p-a)].

2

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3,y3),Q(x4,y4), 则有|PQ|=|x3-x4|= =2p

4[?a-?y1+a?p-a?]

2

p

?a-?y1+a?p-a?.

2

pp令a-=0,得a=,

22

此时|PQ|=p为定值,故满足条件的直线l存在, p

其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线.

2题型三 定圆问题

例3 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

3

,两个焦点分别为F1和2

F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12,圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点Ak.

(1)求椭圆G的方程; (2)求△AkF1F2的面积;

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由. 破题切入点 (1)根据定义待定系数法求方程. (2)直接求.

(3)关键看长轴两端点.

??2a=12,x2y2

解 (1)设椭圆G的方程为2+2=1(a>b>0),半焦距为c,则?c3ab

=,??a2

所以b2=a2-c2=36-27=9. x2y2

所以所求椭圆G的方程为+=1.

369(2)点Ak的坐标为(-k,2),

11

S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×63×2=63.

22

??a=6,

解得?

??c=33,

(3)若k≥0,由62+02+12k-0-21=15+12k>0,可知点(6,0)在圆Ck外; 若k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0,可知点(-6,0)在圆Ck外. 所以不论k为何值,圆Ck都不能包围椭圆G. 即不存在圆Ck包围椭圆G.

总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). (3)定直线问题一般都为特殊直线x=x0或y=y0型.

x22

1.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆+y=1有两个不

2同的交点P和Q. (1)求k的取值范围;

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/us0d.html

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