概率论与数理统计课后习题答案
更新时间:2024-04-27 11:07:01 阅读量: 综合文库 文档下载
习题 一
1.略.见教材习题参考答案.
2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:
(1) A发生,B,C都不发生; (2) A与B发生,C不发生; (3) A,B,C都发生;
(4) A,B,C至少有一个发生; (5) A,B,C都不发生; (6) A,B,C不都发生; (7) A,B,C至多有2个发生; (8) A,B,C至少有2个发生.
【解】(1) A
BC (2) ABC (3) ABC
(4) A∪B∪C=
ABC∪ABC∪A
BC∪ABC∪
A
BC∪ABC∪ABC=ABC
(5)
ABC=A?B?C (6) ABC
(7)
ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪
ABC=ABC=A∪B∪C
(8) AB∪BC∪CA=AB
C∪ABC∪ABC∪ABC
3.略.见教材习题参考答案
4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A?B)=0.3,求P(AB).
【解】 P(
AB)=1?P(AB)=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求: (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值? (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值?
【解】(1) 当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.
(2) 当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.
6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P
(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一
事件发生的概率.
【解】 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
=
1114+4+3?112=34
7.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张
方块,2张梅花的概率是多少? 【解】 p=
C5C3321313C13C13/C1352
8.对一个五人学习小组考虑生日问题:
(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】(1) 设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P(A111)=5 75=(
7)(亦可用独立性求解,
下同)
(2) 设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,
故
(A65P2)=
75=(
67)5
(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P(A13)=1?P(A1)=1?(
7)5
9.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n 求其中恰有m件(m≤M)正品(记为A)的概率.如果: (1) n件是同时取出的; (2) n件是无放回逐件取出的; (3) n件是有放回逐件取出的. 【解】(1) P(A)= Cmn?mnMCN?M/CN (2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有 PnN种,n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中 取m件的排列数有 PmM种,从N?M件次品中取n?m件的排列数为 Pn?mN?M种,故 mn?P(A)= CmPmnPMN?MPn N1 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成 P(A)= Cmn?mMCN?MCn N可以看出,用第二种方法简便得多. (3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能 的取法总数为Nn种,n次抽取中有m次为正品的组合数为 Cmn种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次 取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,n?m次取得次品,每次都有N?M种取法,共有(N?M)n?m种取法,故 P(A)?CmMm(N?M)n?m/Nnn 此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为 MN,则取得m件正品的概率为 P(A)?Cm?M?m?M?n?mn??N????1?N?? 11.略.见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太 弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A={发生一个部件强度太弱} P(A)?C1C33103/C50?11960 13.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球, 从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}(i=2,3),显然A2与A3互斥. P(A)?C2C14318P(A)?C3442C3?,3735C3? 735故 P(A222?A3)?P(A2)?P(A3)?35 14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随 机取一粒,求: (1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽},(i=1,2) (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. (1) 问正好在第6次停止的概率; (2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率. 【解】(1) pC2113151?5(2)2(2)2?32 (2) C1(1)(1)31p42?2245/32?25 16.甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投 了3次,求二人进球数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球},i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 P(?3A?(0.3)3(0.4)3?C121(0.4)2iBi3)30.7?(0.3)C30.6??i?0 2 22C3(0.7)2?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3 =0.32076 17.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【 4512112241012解】 p?1?CCCCC13? C2118.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求: (1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨},B={下雪}. (1) p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.52 ) ( p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男 孩的概率(小孩为男为女是等可能的). 【解】 设A={其中一个为女孩},B={至少有一个男孩},样本点总数为2=8,故 3 题21图 题22图 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半 小时以上”等价于|x?y|>30.如图阴影部分所示. P(AB)6/86P(BA)??? P(A)7/87或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7. P(BA)?6 73021P?2? 60422.从(0,1)中随机地取两个数,求: 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此 人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】 设A={此人是男人},B={此人是色盲},则由贝叶斯公式 6的概率; 51(2) 两个数之积小于的概率. 4(1) 两个数之和小于【解】 设两数为x,y,则0 P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) 6. 5?0.5?0.0520? 0.5?0.05?0.5?0.00252121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率. 144255?17?0.68 p1?1?1251(2) xy=<. 4 1?1?11p2?1???1dx?1dy???ln2 4x?4?42 3 23.设P(【 A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|A∪B) 解 】 P(AB)?P(A)P(BA)P(AB)?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) P(AB)P(A)?P(AB) P(BA?B)??P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB) ?0.8?0.14??0.3077 0.8?0.1?0.2?0.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. ?0.7?0.51? 0.7?0.6?0.5426. 将两信息分别编码为A和B传递出来,接收站收到时,A被误收 作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少? 【解】 设A={原发信息是A},则={原发信息是B} C={收到信息是A},则={收到信息是B} 由贝叶斯公式,得 24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛 中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球},i=0,1,2,3.B={第二 次取出的3球均为新球} 由全概率公式,有 P(B)??P(BAi)P(Ai) i?03P(AC)?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA) 31232132/3?30.983C3CCCCCCCCC6??0.99492 79?36?39?936?38?9362???/3?0.98?1/3?0.01333C15C15C15C15C27.C15C15C1515在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现 ?0.089 25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试 及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种) 【解】设Ai={箱中原有i个白球}(i=0,1,2),由题设条件知P(Ai) = 1,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 3【解】设A={被调查学生是努力学习的},则 A={被调查学生是不努 P(BA1)P(A1)P(A1B) P(A1B)??2P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0力学习的}.由题意知P(A)=0.8,P( A)=0.2,又设B={被调 ?查学生考试及格}.由题意知P(B|A)=0.9,P(B|故由贝叶斯公式知 ( 1 A)=0.9, ) 2/3?1/31? 1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被 误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品},B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得 P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) P(AB)??0.2?0.11??0.02702 0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.96?0.98?0.998 0.96?0.98?0.04?0.0529.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失 4 的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少? 【解】 设A={该客户是“谨慎的”},B={该客户是“一般的”}, C={该客户是“冒失的”},D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得 因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立. 33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为 11,,53P(A|D)? P(AD)P(A)P(D|A)?【解】 设Ai={第 i人能破译}(i=1,2,3),则 P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)3P(D|C)P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3) i?114,求将此密码破译出的概率. ?0.2?0.05?0.057 0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.3次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 423?1????0.6 53430.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落},Bi={恰有i人击中飞机},i=0,1,2,3 由全概率公式,得 【解】设Ai={第i道工序出次品}(i=1,2,3,4). P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4) i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) P(A)??P(A|Bi)P(Bi) i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4× 0.5×0.7 =0.458 35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效, ?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才 能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击. 1?(0.8)?0.9 即为 n把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求: (0.8)n?0.1 (1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率. (2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率. kp1??C10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138 k?03故 n≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.证明:若P(A|B)=P(A|B),则A,B相互独立. 【解】(1) 【证】 P(A|?B)即A|P(B)(2) kp2??C10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241 k?410P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)亦即 36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层. 试求下列事件的概率: P(AB)P(B)?P(AB)P(B) (1) A=“某指定的一层有两位乘客离开”; (2) B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”; (3) C=“恰有两位乘客在同一层离开”; (4) D=“至少有两位乘客在同一层离开”. P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B) 5 【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种. (1) P(A)?C2469106,也可由6重贝努里模型: P(A)?C2(1294610)(10) (2) 6个人在十层中任意六层离开,故 6P(B)?P10106 (3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有 C110种可能结果, 再从六人中选二人在该层离开,有C26种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有 C1319C4C8种可能结果;②4 人同时离开,有 C19种可能结果;③4个人都不在同一层离开, 有P49种可能结果,故 P(C)?C1213114610C6(C9C4C8?C9?P9)/10 (4) D=B.故 6P(D)?1?P(B)?1?P10106 37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率: (1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率; (2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率; (3) 如果n个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率. 【解】 (1) p11?n?1 (2) p3!(n?3)!2?(n?1)!,n?3 (3) p(n?1)!n!?1n;p?3!(n?2)!1??2?n!,n?3 38.将线段[0,a]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由 0 ??0?x?a?2?0?y?a??2 ?a??2?x?y?a如图阴影部分所示,故所求概率为 p?14. 39. 某人有n把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开 (抽样是无放回的).证明试开k次(k=1,2,?,n)才能把门打开的概率与k无关. k?1【证】 p?Pn?1P?1k,k?1,2,?,n nn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立 方体中,随机地取出一个,试求它有i面涂有颜色的概率P(Ai)(i=0,1,2,3). 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色},i=0,1,2,3. 在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是 三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱 上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000?(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为 P(A5120)?1000?0.512,P(A3841)?1000?0.384, P(A9682)?1000?0.096,P(A4)?1000?0.008. 41.对任意的随机事件A,B,C,试证 P(AB)+P(AC)?P(BC)≤P(A). 【 证 】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC) ?P(AB)?P(AC)?P(ABC) 6 ?P(AB)?P(AC)?P(BC) 42.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 【解】 设 Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3. 将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故 3P(A1)?C43!43?38 而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故 1P(A43)?C43?116 因 此 P(A)?1?P(A31921)?P(A3)?1?8?16?16 或 ?C121P(A4C3C392)43?16 43.将一枚均匀硬币掷2n次,求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n次硬币,可能出现:A={正面次数多于反面次数},B={正 面次数少于反面次数},C={正面次数等于反面次数},A,B,C两两互斥. 可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P(A)=P(B).所以 P(A)?1?P(C)2 由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为 P(C)?Cn1n1n2n(2)(2) 故 P(A)?1n12[1?C2n22n] 44.掷n次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】设A={出现正面次数多于反面次数},B={出现反面次数多于正 面次数},由对称性知P(A)=P(B) (1) 当n为奇数时,正、反面次数不会相等.由P(A)+P (B)=1得P(A)=P(B)=0.5 (2) 当n为偶数时,由上题知 nP(A)?1[1?C212n(2)n] 45.设甲掷均匀硬币n+1次,乙掷n次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数. 乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有 (甲正>乙正)=(甲正 ≤乙正)=(n+1?甲反≤n?乙反) =(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反) 由对称性知P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反) 因此P(甲正>乙正)= 12 46.证明“确定的原则”(Sure?thing):若P(A|C)≥P(B|C),P(A| C) ≥P(B| C),则P(A)≥P(B). 【证】 由P(A|C)≥P(B|C),得 P(AC)P(BCP(C)?)P(C), 即有 P(AC)?P(BC) 同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC), 故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 47.一列火车共有n节车厢,有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢. 求每一节车厢内至少有一个旅客的概率. 【解】 设Ai={第i节车厢是空的},(i=1,?,n),则 P(A(n?1)k1ki)?nk?(1?n)P(A2iAj)?(1?n)k ?P(AAn?1ki1i2?Ain?1)?(1?n)其中i1,i2,?,in?1是1,2,?,n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零,于是 7 nS?P(An(1?1)k?C1(1?1)k1?i)?i?1nnnS?P(A)?C22k2?iAjn(1?)1?i?j?nn? Sn?1?1?i?P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn?1(1?n?1n1?i2??in?1?nn)kSn?0P(?ni?1Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sn ?C11k2kn(1?n)?C2n(1?n)???(?1)nCn?1n(1?n?1kn) 故所求概率为 1?P(?ni?1A1k22ii)?1?C1n(1?n)?Cn(1?n)???(?1)n?1Cn?1n?1kn(1?n) 48.设随机试验中,某一事件A出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0 如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A迟早会出现的概率为1. 【证】 在前n次试验中,A至少出现一次的概率为 1?(1??)n?1(n??) 49.袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国 徽).在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽} B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)?mm?n,P(B)?nm?n P(A|B)?12r,P(A|B)?1 则由贝叶斯公式知 P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) m?mm??1rm?1n2n?2rn m?n2r?m?n?1m?50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒 有N根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一 根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又有多少? 【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件,则有 P(B1)?P(B12)?2.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r根,说明已取了2n?r次,设n次取自B1盒(已空),n?r次取自B2盒,第2n?r+1次拿起B1,发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验,则所求概率为 pn1n1n?rr(2)(2)?12?Cn11?2C2n?n?r22r?r 式中2反映B1与B2盒的对称性(即也可以是B2盒先取空). (2) 前2n?r?1次取火柴,有n?1次取自B1盒,n?r次取自 B2盒,第2n?r次取自B1盒,故概率为 pn?11n?11n?r1n?112n?r?12?2C2n?r?1(2)(2)2?C2n?r?1(2) 51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由 (q?p)n?C0p0qn?C1n?1?C22n?2nn0nnpqnpq???Cnpq?1 (q?p)n?C0p0qn?C1n?12qn?2npq?C2np???(?1)nCnn0nnpq以上两式相减得所求概率为 pn?133n?31?C1npq?Cnpq?? ?12[1?(q?p)n] ?1[1?(1?2p)n2] 若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得 p12?2[1?(1?2p)n]. 52.设A,B是任意两个随机事件,求P{( A+B)(A+B)(A+B) (A+B)}的值. 【解】因为(A∪B)∩( A∪B)=AB∪AB 8 ( 所 A∪B)∩(A∪B)=AB∪AB (舍去) 即P(A)=. 求 3 55.随机地向半圆0 2(A?B)(A?B)(A?B)(A?B) 2ax?x2 (a为正常数)内掷一点,点落 在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少? 【解】利用几何概率来求,图中半圆面积为 ?[(AB?AB)?(AB?AB)] 故所求值为0. 53.设两两相互独立的三事件,A,B和C满足条件: ABC=?,P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且P(A∪B∪C)=9/16,求P(A). 【 解 】 由 ?? 12πa2.阴影部分面积为 π212a?a 42故所求概率为 π212a?a11P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?Pp(ABC?4) 2?? 122ππa922 ?3P(A)?3[P(A)]? 56.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件16产品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率. 1311故P(A)?或,按题设P(A)<,故P(A)=. 【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品},B={另一件也是不合442454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不 发生的概率与B发生A不发生的概率相等,求P(A). 【 解 】 格品} P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1 ① 9C242C10P(AB)1 P(B|A)???2CP(A)51-26C10生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表, P(AB)?P(AB)② 故 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女 从中先后抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p; (2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表 的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生},i=1,2,3. Bj={第j次取出的是女生表},j=1,2. P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) 故 P(A)?P(B) ③ 由A,B的独立性,及①、③式有 1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?[P(A)]2 ?[1?P(A)]2 1?P(A)??1 31P(Ai)?,i?1,2,3 3375P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)? 101525则 (1) 137529 p?P(B1)??P(B1|Ai)?(??)?310152590i?1(2) 3故 故 24P(A)?或P(A)?33q?P(B1|B2)?P(B1B2) P(B2)9 3而 P(B2)??P(B2|Ai)P(Ai) i?1 ?13(710?8206115?25)?90 3P(B1B2)??P(B1B2|Ai)P(Ai) i?1 ?1377853(10?9?15?14?25?2024)?29 故 2q?P(B1B2)P(B?92061 2)61?9058. 设A,B为随机事件,且P(B)>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考) 解 : 因 为 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B) 所 以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A). 习题二 1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只, 以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律. 【解】 X?3,4,5P(X?3)?1C3?0.15P(X?4)?3C3?0.3 5P(X?5)?C24C3?0.65故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求: (1) X的分布律; (2) X的分布函数并作图; (3) P{X?1332},P{1?X?2},P{1?X?2},P{1?X?2}. 【解】 X?0,1,2.P(X?0)?C31322C3?.1535P(X?1)?C122C1312 C3?.1535P(X?2)?C1131 C3?.1535故X的分布律为 X 0 1 2 P 22 1213535 35 (2) 当x<0时,F(x)=P(X≤x)=0 当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)= 2235 当1≤x<2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=3435 当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1 故X的分布函数 ??0,x?0?22,0?x?1F(x)???35 ?34?,1?x?2?35?1,x?2(3) 10 1122P(X?)?F()?,(2) 由分布律的性质知 2235NNa3334341??P(X?k)???a P(1?X?)?F()?F(1)???0223535k?1k?1N 3312即 a?1. P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?22355.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: 341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.(1) 两人投中次数相等的概率; 35353.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3. P(X?0)?(0.2)3?0.008P(X?1)?C1230.8(0.2)?0.096P(X?2)?C2(0.8)20.2?0.384 3P(X?3)?(0.8)3?0.512故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数 ??0,x?00.008,0?x?1F(x)????0.104,1?x?2 ??0.488,2?x?3??1,x?3P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896 4.(1) 设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a?kk!, 其中k=0,1,2,?,λ>0为常数,试确定常数a. (2) 设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N, k=1,2,?,N, 试确定常数a. 【解】(1) 由分布律的性质知 ??1??P(X?k)?a??kk?0k?0k!?a?e? 故 a?e?? (2) 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7) (1) P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?P(X?3,Y?3) ?(0.4)3(0.3)3?C121230.6(0.4)C30.7(0.3)+ C20.4C23(0.6)23(0.7)20.3?(0.6)3(0.7)3 ?0.32076 (2) P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y? P(X?2,Y?1)?P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2) ?C12322330.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)? (0.6)3(0.3)3?C23(0.6)20.4C130.7(0.3(0.6)3C1232230.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0=0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)? 【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机 场需配备N条跑道,则有 P(X?N)?0.01 即 11 k(0.98)200?k?0.01 k??200Ck200(0.02)N?1利用泊松近似 ??np?200?0.02?4. ?P(X?N)?k?e?44k?N?1k!?0.01 查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)? 【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001) P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1) ?1?e?0.1?0.1?e?0.1 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p,则 C1p(1?p)4?C2p255(1?p)3 故 p? 13 所 以 P(X?4)?C4142105(3)3?243. 9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3) 5P(X?3)??Ckk5(0.3)k(0.7)5??0.16308 k?3(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3) 7P(Y?3)??Ckk?k7(0.3)(0.7)7?0.35293 k?310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参 数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计). (1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率; (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1) P(X?0)?e?32 (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?52 11.设P{X=k}=Ck2pk(1?p)2?k, k=0,1,2 P{Y=m}=Cm4pm(1?p)4?m, m=0,1,2,3,4 分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=59,试求P{Y≥1}. 【解】因为P(X?1)?59,故P(X?1)?49. 而 P(X?1)?P(X?0)?(1?p)2 故得 (1?p)2?49, 即 p?13. 从 而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)4?6581?0.8024712.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001, 试求在这 2000 册书中恰有 5册错误的概率. 【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算, ??np?2000?0.001?2 得 e?225P(X?5)?5!?0.0018 13.进行某种试验,成功的概率为 34,失败的概率为 14.以X表示试 验首次成功所需试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率. 【解】 X?1,2,?,k,? P(X?k)?(1)k?1344 P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)?? 12 ?14?34?(14)334???(14)2k?134?? 1?3?414? 1?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险. 在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求: (1) 保险公司亏本的概率; (2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑. (1) 在1月1日,保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0.002),则所求概率为 P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14) 由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有 14P(X?15)?1??e?55k?0.000069 k?0k!(2) P(保险公司获利不少于10000) ?P(30000?2000X?10000)?P(X?10) ??10e?55kk?0k!?0.986305 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P ( 保 险 公 司 获 利 不 少 于 20000 ) ?P(30000?2000X?20000)?P(X?5) 5e?55k???0.615961 k?0k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为 f(x)=Ae?|x|, ?∞ 求:(1)A值;(2)P{0 ?【解】(1) 由 ???f(x)dx?1得 1????|x??Ae|dx?2??Ae?x0dx?2A 故 A?12. (2) p(0?X?1)?11?2?0exdx?12(1?e?1) x(3) 当x<0时,F(x)??1??2exdx?12ex 当 x≥0时, F(x)??x1e?|x|dx??01exdx??x102e?x??2??2dx ?1?1?x2e ?x?0故 F(x)??1x?e,?2 ?1?12e?x??x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为 ?f(x)=?100?2,x?100, ?x?0,x?100.求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率; (2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3) F(x). 【解】 (1) P(X?150)??150100100x2dx?13. p?[P(X?150)]3?(2813)3?27 (2) pC112242?33(3)?9 (3) 当x<100时F(x)=0 x当x≥100时F(x)????f(t)dt x ??100??f(t)dt??100f(t)dt ??x100100100t2dt?1?x ?100故 F(x)???1?,x?100 ?x?0,x?017.在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设 这质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正 13 比例,试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a],密度函数为 ?1f(x)???,0?x?a ?a?0,其他故当x<0时F(x)=0 当 0 ≤ x≤ a时 F(x)??xxx1??f(t)dt??0f(t)dt??0adt?xa 当x>a时,F(x)=1 即分布函数 ??0,x?0F(x)???x,0?x?a ?a??1,x?a18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测, 求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X~U[2,5],即 ?f(x)??1?,2?x?5 ?3?0,其他P(X?3)??51233dx?3 故所求概率为 p?C222123203(3)3?C33(3)?27 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分 布E(15).某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E(15),即其密度函数为 ?xf(x)??1?e?5,x?0 ?5?0,x?0该顾客未等到服务而离开的概率为 P(X?10)???1?x105e5dx?e?2 Y~b(5,e?2),即其分布律为 P(Y?k)?Ck?225(e)k(1?e?)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?2)5?0.5167 20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通 拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞 少,所需时间X服从N(50,42). (1) 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? (2) 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些? 【解】(1) 若走第一条路,X~N(40,102),则 P(X?60)?P??x?40?10?60?40?10????(2)?0.97727 若走第二条路,X~N(50,42),则 P(X?60)?P??X?5060?50??4?4????(2.5)?0.9938++ 故走第二条路乘上火车的把握大些. (2) 若X~N(40,102),则 P(X?45)?P??X?4045?40??10?10????(0.5)?0.6915若X~N(50,42),则 P(X?45)?P??X?50?4?45?50?4????(?1.25) ?1??(1.25)?0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N(3,22), (1) 求P{2 解 】 ( 1 ) P(2?X?5)?P??2?3X?35?3??2?2?2?? ??(1)????1??1???2????(1)?1????2?? ?0.8413?1?0.6915?0.532814 P(?4?X?10)?P???4?3?2?X?310?3?2?2?? F(x)=??A?Be?xt,x?0,(???0,x?0.0), (1) 求常数A,B; (2) 求P{X≤2},P{X>3}; ????7??7??2???????2???0.9996 (3) 求分布密度f(x). ?limF(x)?1P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)【解】(1)由? ?x????A?1??xlim?0?F(x)?得? xlim?0?F(x)?B??1 (2) P(X?2)?F(2)?1?e?2? ?P??X?32?3??X?3?2?3??2?2???P??2?2?? ?1????P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3? ??1?2????????5?2??????1??2???1????5??2?? ?0.6915?1?0.9938?0.6977(3) f(x)?F?(x)????e??x,x?0P(X?3)?P(X?3?0,x?0 2?3-32)?1??(0)?0.5 25.设随机变量X的概率密度为 (2) c=3 ?0?x?1,22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062 ),规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. f(x)=?x,?2?x,1?x?2, ?【 解 】 ?0,其他.求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x). P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.05【解】当x<0时F(x)=0 ?0.06?0.12?0.06? ?当 0 ≤ x<1 F(x)?x)dt?0x?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]???f(t???f(t)dt??0f(t)dt ?0.0456 ?x 23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,σ2), ?0tdt?x22 若要求P{120<X≤200}≥0.8,允许σ最大不超过多少? 【 解 】 当1≤x<2时F(x)??x??f(t)dt P(120?X?200)?P??120?160???X?160??200?160?????? 0??f(t)dt??10f(t)dt??x1f(t)dt ??1tdt??x01(2?t)dt????40???????40???2???40?? ??????????1?0.8 ?1x22?2x?2?32故 x2????402?2x?11.29?31.25 24.设随机变量X分布函数为 当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1 故 时 15 ??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2 ?2??x?2x?1,1?x?2?2?1,x?226.设随机变量X的密度函数为 (1) f(x)=ae??|x| ,λ>0; ??bx,0?x?1,(2) f(x)=?1x,1?x?2, ?2?0,其他.试确定常数a,b,并求其分布函数F(x). 【 解 】(1) 由 ????f(x)dx?11???ae??|x|dx?2a??e??xd2a??0x?? 故 a? ?2 即 密 度 函 数 ?f(x)?????x?e,x?0?2? ???2e?xx?0当 x ≤0F(x)??xx???f(x)dx??e?xdx?1e?x??22 当 x>0 F(x)??x??f(x)dx??0??x??2edx??x???x02edx ?1?1e??x2 故其分布函数 ?1?1e??x,xF(x)????2?0 ?1??2e?x,x?0(2) 1???12??f(x)dx??bxdx??1b01x2dx?2?12 得 b=1 即X的密度函数为 ??x,0?x?1f(x)???1x2,1?x?2 ???0,其他当x≤0时F(x)=0 当 0 时 F(x)??x)dx??0x??x??f(x??f(x)d0f(x)dx ??x0dx?x2x2 当1 ≤ x<2 时 x01x知 F(x)??1??f(x)dx????0dx??0xdx??1x2dx ?312?x 当x≥2时F(x)=1 故其分布函数为 为 ??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2 ?3??1,1?x?2?2x时 ?1,x?227.求标准正态分布的上?分位点, (1) 时 ?=0.01,求z?; (2) ?=0.003,求z?,z?/2. 【解】(1) P(X?z?)?0.01 即 1??(z?)?0.01 即 ?(z?)?0.09 故 z??2.33 由 (2) 由P(X?z?)?0.003得 1??(z?)?0.003 16 即 ?(z?)?0.997 z??2.75 P(Y??1)?1?P(Y?1)?30.设X~N(0,1). (1) 求Y=eX的概率密度; (2) 求Y=2X2+1的概率密度; (3) 求Y=|X|的概率密度. 【解】(1) 当y≤0时,FY(y)当 y>0 2 3查表得 由P(X?z?/2)?0.0015得 1??(z?/2)?0.0015 ?P(Y?y)?0 时 x?lny即 ?(z?/2)?0.9985 FY(?z?/2?2.96 , y)P(fX(x)dx ?Y )?y查表得 28.设随机变量X的分布律为 X Pk 故 ?????2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X的分布律. 2 fY(y)?【解】Y可取的值为0,1,4,9 dFY(y)111?ln2y/2?fx(lny)?e,y?0 dyyy2π1P(Y?0)?P(X?0)?5P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为 Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 (2)P(Y?2X2?1?1)?1 117??61530 当y≤1时FY(y)当 ?P(Y?y)?0 y>1 时 FY(y)?P(Y?y)?P(2X2?1?y) ?y?1?2y?1??P?X??P??X????22??? 故 y?1?? 2??29.设P{X=k}=( 12??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx )k, k=1,2,?,令 ?1,当X取偶数时 Y????1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律. 【 解 】 d1fY(y)?FY(y)?dy4 ?2??y?1?y?1???fX??2???fX???2???y?1?????????1221?(y?1)/4e,y?1 y?12πP(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)?? (3) P(Y?0)?1 当y≤0时FY(y)当y>0时FY(y) 111?()2?()4???()2k??222 111?()/(1?)?443?P(Y?y)?0 ?P(|X|?y)?P(?y?X?y) 17 y ???yfX(x)dx 故 fdY(y)?dyFY(y)?fX(y)?fX(?y) ?22πe?y2/2,y?0 31.设随机变量X~U(0,1),试求: (1) Y=eX的分布函数及密度函数; (2) Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】(1) P(0?X?1)?1 故 P(1?Y?eX?e?) 1当 y?1时FY(y)?P(Y?y)?0 当1 FY(y)?P(eX?y)?P(X?lny) ??lny0dx?lny 当y≥e时 FY(y)?P(eX?y)?1 即分布函数 ?F?0,y?1Y(y)??lny,1?y?e ??1,y?e故Y的密度函数为 ?f?11?y?eY(y)??y, ??0,其他(2) 由P(0 P(Z?0)?1 当z≤0时,FZ(z)?P(Z?z)?0 当 z>0 时 , FZ(?z)?P( ?Z ?P(lnX??z)?P(X?e?z/22) ??1?z/2e?z/2dx?1?e 即分布函数 F?0,z?0Z(z)?? ?1-e-z/2,z?0故Z的密度函数为 ?1?zf???2e/2,z?0Z(z) ??0,z?032.设随机变量X的密度函数为 ?f(x)=?2x?π2,0?x?π, ??0,其他.试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1 当y≤0时,FY(y)?P(Y?y)?0 当0 ?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π) ??arcsiny2x0π2dx??π2xπ?arcsinyπ2dx ?1π(arcsiny)2?1-122π2(π-arcsiny) ?2πarcsiny 当y≥1时,FY(y)?1 故Y的密度函数为 ?21f(y)???,0?y?1Y?π1?y2 ???0,其他33.设随机变量zX的分布函数如下:?P Xz?F(x)??1?1?x2,x?(1), ??(2),x?(3).18 试填上(1),(2),(3)项. 【解】由limx??F(x)?1知②填1。 x???limF(x)?1,所以F(x)是一个分布函数。 但是F(x)在x=0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F(x) 由右连续性为0。 x?x0limF(x)?F(x0)?1知x0?0,故① +是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C) 37.设在区间[a,b]上,随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在[a,b]外, f(x)=0,则区间 [a,b]等于( ) 从而③亦为0。即 (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [?π/2,0]; (D) [0, ?1,x?0? F(x)??1?x2?x?0?1,34.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X的分布律. 3π]. 2【解】在[0,函数。 π/2π]上sinx≥0,且?sinxdx?1.故f(x)是密度 021【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。(i=1,2),P(Ai)=.且A1与A2相 6互独立。再设C={每次抛掷出现6点}。则 在[0,π]上在[??π0sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。 P(C)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2) 111111???? 66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。 36 π,0]上sinx?0,故f(x)不是密度函数。 233π时,sinx<0,f(x)也不是密在[0,π]上,当π?x?22度函数。 故选(A)。 38.设随机变量X~N(0,σ2),问:当σ取何值时,X落入区间(1,3)的概率最大? 【 解 】 因 为 ?35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数,设数字序列中要包含n个数字,则 X~b(n,0.1) X~N(0,?2),P(1?X?3)?P( 1??X??3?) 0nP(X?1)?1?P(X?0)?1?C0n(0.1)(0.9)?0.9 31??()??()令g(?) ??n即 (0.9)?0.1 利用微积分中求极值的方法,有 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 g?(?)?(?3?311??)?()??() 22??? ??0,?1?F(x)=?x?,2??1,??x?0,10?x?, 21x?.2???3?212??得 1?9/2?21e?2?2?21?1/2?2e2?2?1/2??8/2?e[1?3e]?02令 则F(x)是( )随机变量的分布函数. (A) 连续型; (B)离散型; (C) 非连续亦非离散型. 【解】因为F(x)在(?∞,+∞)上单调不减右连续,且 ?02?42,则 ?0?ln3ln3 又 g??(?0)?0 x???limF(x)?0 故 ?0?2为极大值点且惟一。 ln319 故当??2ln3时X落入区间(1,3)的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(λ), 每个顾客购买某种物品的概率为p,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立,求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律. P(X?m)?e???m【解】m!,m?0,1,2,? 设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数X=m的条件下,Y~b(m,p),即 P(Y?k|X?m)?Ckk)m?kmp(1?p,k?0,1,?,m由全概率公式有 ?P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m) m?k ???e???m?Ckpkm(1?p)m?km?km!??e????mm?km?kk!(m?k)!pk(1?p)???e??(?p)k[?(1?p)]m?kk! m?k(m?k)!?(?p)k???(1?pk!ee)?(?p)kk!e??p,k?0,1,2,?此题说明:进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布,购买这种物品的人数仍服从泊松分布,但参数改变为λp. 40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明:Y=1?e?2X在区间(0, 1)上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为 fx)???2e?2x,x?0X( ?0,x?0由于P(X>0)=1,故0<1?e?2X<1,即P(0 0 时 , F?2xY(?y)?P( ?Y ?P(X??12ln(1?y)) ???12ln(1?y)x02e?2dx?y即Y的密度函数为 f??1,0?y?1Y(y)? ?0,其他即Y~U(0,1) 41.设随机变量X的密度函数为 ??13,0?x?1,?f(x)=??2,3?x?6, ?9?0,其他.??若k使得P{X≥k}=2/3,求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P(X≥k)= 23知P(X 13 若k<0,P(X ?103dx?k13?3 当k=1时P(X 13 1若1≤k≤3时P(X 3 ?1103dx??k= 239dx?29k?13?13 若k>6,则P(X 故只有当1≤k≤3时满足P(X≥k)=23. 42.设随机变量X的分布函数为 ??0,x??1,F(x)=??0.4,?1?x?1,0.8,1?x?3, ???1,x?3.求X 的 概 率 分 布 . (1991研考) 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系,可知X的 概率分布为 X y?(?1 ?Pe1 13 y20 )) P 0.4 0.4 0.2 P(A)?0.3,P(B|A)?0.8P(AB)?P(A)P(B|A)?0.3?0.8?0.24P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94 43.设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一 次的概率为19/27,求A在一次试验中出现的概率. 【解】令X为三次独立试验中A出现的次数,若设P(A)=p,则 X~b(3,p) 由P(X≥1)= 令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数,则X~6(n,0.94), 故 198知P(X=0)=(1?p)3= 2727??P(X?n)?(0.94)nn?2 ??P(X?n?2)?C2(0.06)2n(0.94)??P(X?n?2)?1?P(X?n?1)?P(X?n)故p= 1 344.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少? 【解】 ?1?n(0.94)n?10.06?(0.94)n 47.某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态 24?X?7296?72?0.023?P(X?96)?P??1??() 4??P(X2?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)? ?????52445.若随机变量X~N(2,σ2),且P{2 )?0.977 故 ?(P{X<0}= . ?【解】24?2,即σ=12 查表知 2?2X?24?2?0.3?P(2?X?4)?P(??) 从而X~N(72,122) ???故 22??()??(0)??()?0.5 ???60?72X?7284?72?P(60?X?84)?P???2? 故 ?()?0.8 121212???因 此 ?1?,1?x?6 f(x)??5??0,其他分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩,则X~N(72,σ2) P(X?0)?P(X?2??0?2? )??(?2?) ??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.682 2?1??()?0.2 48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下, 某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252)).试求: (1) 该电子元件损坏的概率α; (2) 该电子元件损坏时,电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V},A2={电压在200~240V}, A3={电压超过240V},B={元件损坏}。 由X~N(220,252)知 ?46.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂;以概率0.3 需进一步调试,经调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求 (1) 全部能出厂的概率α; (2) 其中恰好有两台不能出厂的概率β; (3)其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试},B={仪器能出厂},则 P(A1)?P(X?200) A={能直接出厂},AB={经调试后能出厂} 由题意知B= A∪AB,且 21 ?X?220200?220??P??? 25?25???(?0.8)?1??(0.8)?0.212?124?,e?y?e fY(y)??2y?0,其他?50.设随机变量X的密度函数为 P(A2)?P(200?X?240) ?200?220X?220240?220??P?????e?x,x?0,fX(x)=? ?0,x?0.求 随 机 变 量 Y=eX 的 密 度 函 数 fY(y). ?252525? ??(0.8)??(?0.8)?0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212由全概率公式有 ?3?P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.0642 i?1由贝叶斯公式有 ??P(A)P(B|A2)2|B)?P(A2P(B)?0.009 49.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量Y=e2X 的概率密度fY(y). 【解】 f?1,1?x?2X(x)?? ?0,其他因为P(1 FY(y)?P(Y?y)?P(e2X?y) ?P(1?X?12lny) ?1 ??2lny1dx?12lny?1 当y≥e4时,FY(y)?P(Y?y)?1 即 ?0,y?e2?F(y)???1Y2lny?1,e2?y?e4 ???1,y?e4故 (1995研考) 【解】P(Y≥1)=1 当y≤1时,FY(y)?P(Y?y)?0 当 y>1时 , FXY(?y)?P(?Y ??lny 10e?xdx?1?y ?y>1即 F?1?1,Y(y)??y ??0,y?1?故 f?1y2,y>1Y(y)?? ??0,y?151.设随机变量X的密度函数为 fX(x)= 1π(1?x2), 求Y=1? 3x的密度函数fY(y). 【 解 】 FY(y)?P(Y?y)?P(1?3X?y)?P(X?(1?y)3) ???11?(1?y)3π(1 ?x2)dx?πarctgx(1?y)3 ?1?π3π??2?arctg(1?y)???故 )?3(1?y)2fY(yπ1?(1?y)6 22 54. 设随机变量X服从正态分N(μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22),且P{|X-μ(2006研考) 1|<1}>P{|Y- 52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从 参数为λt的泊松分布. (1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布; (2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运 行8小时的概率Q.(1993研考) 【解】(1) 当t<0时,FT(t)μ2|<1},试比较σ1与σ2的大小. 解: 依题意 X??1?1?N(0,1), ?P(T?t)?0 当t≥0时,事件{T>t}与{N(t)=0}等价,有 Y??2FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t 即 ?2?N(0,1),则 ?1?e??t,t?0 FT(t)??t?0?0,2 ) P{X??1?1}?P{X??1?1Y??2?1?11}, 即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 ( P{Y??2?1}?P{?2??2}. 因为P{X??1?1}?P{Y??2?1},即 e?16??8?Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)??8??e eX??1Y??11153.设随机变量X的绝对值不大于1,P{X=?1}=1/8,P{X=1}=1/4.在事P{?}?P{?}, 件{?1 所以有 ?1?1?2?21?1?1?2,即 ?1??2. 115X?1)?1??? 848x?1当?1 2由题知P(?1?此时F(x) 习题三 1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示 三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: 1 2 3 ?P(X?x) 0 X ?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X ?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1)?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?1)?P(X??1)?x?15151???(x?1)?288168当x=?1时,F(x)故X的分布函数 Y 1 0 3 0 11132111C1????C????3/83322282220 10 1111??? 82228 ?P(X?x)?P(X??1)?1 8 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: 0 X 1 2 3 x??1?0,?51?F(x)??(x?1)?,-1?x<1 8?16x?1??1, Y 23 0 0 0 C2?C23C31323?C22C4?4?735C7351 0 C1?C1?C22113132232232C4?C6?C?C35C4?C12?C27735C4?7352 P(0黑,2红,2白)= C13?C22?C12C623?C20 23C4?35C4?C247735212?C2/C7?35 3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 ?F(x,y)=?ππ?sinxsiny,0?x?2,0?y?2 ??0,其他.求二维随机变量(X,Y)在长方形域 ??0?x?πππ??4,6?y?3??内的概率. 【解】如图P{0?X?π4,π6?Y?π3}公式(3.2) F(π4,π3)?F(ππππ4,6)?F(0,3)?F(0,6) ?sinππππππ4?sin3?sin4?sin6?sin0?sin3?sin0?sin6?2 4(3?1). 题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(X,Y)的分布密度 ?(3x?4y)f(x,y)= ??Ae,x?0,y?0,?0,其他. 求:(1) 常数A; (2) 随机变量(X,Y)的分布函数; (3) P{0≤X<1,0≤Y<2}. 【 解 】( 1) 由 ?????f(x,y)dxdy??????x?4y)?????0?0Ae-(3dxdy?A12?1 得 A=12 (2) 由定义,有 F(x,y)??y???x??f(u,v)dudv ?yy?(3u?4v)dudv?(1?e?3x????0?012e??)(1?e?4y)y?0,x?0,??0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2} ?P{0?X?1,0?Y?2}??1?(3x?4y)0?2012edxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499. 5.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4, ?0,其他.(1) 确定常数k; (2) 求P{X<1,Y<3}; (3) 求P{X<1.5}; (4) 求P{X+Y≤4}. 【解】(1) 由性质有 ??????2????f(x,y)dxdy??0?42k(6?x?y)dydx?8k?1, 故 R?18 (2) P{X?1,Y?3}??13?????f(x,y)dydx ??1310?28k(6?x?y)dydx?38 (3) P{X?1.5}?y)dxdy如图ax,y)dxdy x???f(x,1.5??f(D1 ??1.5dx?41028(6?x?y)dy?2732. (4) P{X?Y?4}?xdy如图bX???f(x,y)dY?4??f(x,y)dxdy D224 24?x ??dx?1028(6?x?y)dy?23. 题5图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为 ?5e?5yf,y?0,Y(y)=??0,其他. 求:(1) X与Y的联合分布密度;(2) P{Y≤X}. 题6图 【解】(1) 因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为 ?f?1,0?x?0.2,X(x)?? ?0.2?0,其他.而 ?5e?5yf(y)??,y?0,Y?0,其他. 所以 f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y) ?1????5e?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0, ?0.2???0,?0,其他.(2) P(Y?X)?y)dxdy如图y??f(x,?x??25e?5ydxdy D ??0.2dx?x25e-5ydy??0.2(?5e?5x000?5)dx =e-1?0.3679.7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)=??(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,?0,其他. 求(X,Y)的联合分布密度. 【 解 】 ?2F(x,y)?8e?(4x?2y)f(x,y)?,x?0,y?0,?x?y?? ?0,其他.8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x, ?0,其他.求边缘概率密度. ??【解】 fX(x)????f(x,y)dy =????x)dy204.8y(2?x????2.4x(2?x),0?x?1, ?0,?0,其他. fY(y)??????f(x,y)dx ?1=???y4.8y(2?x)dx??2.4y(3?4y?y2),0?y?1,???0,?0,其他. 题8图 题9图 25 9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=??e?y,0?x?y,?0,其他. 求边缘概率密度. 【解】 fX(x)??????f(x,y)dy =? ????y?x ??xedy??e,x?0, ???0,?0,其他.f??Y(y)????f(x,y)dx y?y =????edx????ye?x0,y?0,?0,?0,其他. 题10图 10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=??cx2y,x2?y?1, ?0,其他.(1) 试确定常数c; (2) 求边缘概率密度. ????【解】(1) ??????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy D =?114-1dx?x2cx2ydy?21c?1. 得c?214. (2) fX(x)??????f(x,y)dy ?????121x2ydy??21x2(1?x4x2),?1?x?1, ?4??8?0,??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx ?????y21x2ydx???75?yy2,0?y?1, ?4??0,?2?0, 其他.11.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=??1,y?x,0?x?1,?0,其他. 求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y). 题11图 ??【解】 fX(x)????f(x,y)dy x ??????x1dy?2x,0?x?1, ??0,其他.?1???y1dx?1?y,?1?y?0,fY(y)??????f(x,y)dx?????11dx?1?y,0?y?1,?y?其他?0,.?所以 fx)?f(x,y)??1,|y|?x?1,Y|X(y|f(x)???2x X?0,其他. ??11?y, y?x?1,fy)?f(x,y)??1X|Y(x|f)??,?y?x?1, Y(y?1?y??0,其他.?12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中 最小的号码为X,最大的号码为Y. 26 (1) 求X与Y的联合概率分布; (2) X与Y是否相互独立? 【解】(1) X与Y的联合分布律如下表 1??e?y/2,fY(y)=?2??0,(1)求X和Y的联合概率密度; 5 y?0, 其他.X 1 Y 3 4 P{X?xi} (2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率. 6112233 10???C310C310C3105550 【解】(1) 因 ?1,0?x?1, fX(x)???0,其他;?2 31122 10??C310C310550 y?1?2?e,y?1, fY(y)???2?0,其他.?3 0 111 ? 102C5106 10 故 1P{Y?yi} 10 (2) 3 10?1?y/2?ef(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,因 0?x?1,y?0,其他. P{X?1}?P{Y?3}?故X与Y不独立 6161????P{X?1,Y?3}, 101010010 题14图 (2) 方程a213.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 ?2Xa?Y?0有实根的条件是 ??(2X)2?4Y?0 故 X2≥Y, 从而方程有实根的概率为: (1)求关于X和关于Y的边缘分布; (2) X与Y是否相互独立? 【解】(1)X和Y的边缘分布如下表 0.4 0.8 Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy P{X?xi} (2) 因 P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立. 14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为 1?y/2edy002?1?2?[?(1)??(0)] ?0.1445.??dx?1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为 ?1000?,x?1000,f(x)=?x2 ?其他.?0,27 16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202) 求Z=X/Y的概率密度. 【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时,FZ(z)X?z} Y分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202), 从而 ?0 P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?18(2) 当0 1000z)(如图a) FZ(z)???106x2y2dxdy????yz106103dy?322dx y?xz10xyz?? =???103106?z1032?3?dz?yzyy?2 ? 题15图 (3) 当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b) F106Z(z)???x2y2dxdy????zy106103dy10y?x?3x2y2dx z =????103106?1103??y2?zy3??dy?1?2z 即 ??1?12z,z?1,?f?zZ(z)??,0?z?1, ?2?其他?0,.?故 ??12z2,z?1,?f(z)???1Z,0?z?1, ?2?其他?0,.? P{X3?180}?P{X4?180} ?[1?P{X1?180}]?[1?P{X2?180}]?[1?P{X3?180}]?[1? ?[1?P{X??180?160??41?180}]4???1????20???? ?[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…, P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 iP{Z=i}= ?p(k)q(i?k),i=0,1,2,…. k?0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数, 所以 {Z?i}?{X?Y?i} ?{X?0,Y?i}?{X?1,Y?i?1}???{X?i,Y?0} 于是 iP{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立k?0?iP{X?k}?P{Y?i?k} k?0i ??p(k)q(i?k) k?018.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分 布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布. 28 【证明】方法一:X+Y可能取值为0,1,2,…,2n. kP{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i} i?0 k??P(X?i)?P{Y?k?i}i?0k???n?in?i?n?k?in?k?i?0??i??pq??k?i??pqik???i?0?n???i??n? ??k?i??pkq2n?k???2n??pkq2n?k?k?方法二:设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为p),则 X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布. 19.设随机变量(X,Y)的分布律为 0 1 2 3 Y X 4 5 0 0 0.01 0.03 0.05 1 0.07 0.09 2 0.01 0.02 0.04 0.05 3 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0}; (2) 求V=max(X,Y)的分布律; (3) 求U=min(X,Y)的分布律; (4) 求W=X+Y的分布律. 【解】(1)P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2}P{Y?2} ?P{X?2,Y?2}?0.05?5P{X?i,Y?2}0.25?12, i?0 P{Y?3|X?0}?P{Y?3,X?0}P{X?0} ?P{X?0,Y?3}0.01?3?P{X?0,Y?j}0.03?13; j?0( 2 ) P{V?i}?P{max(X,Y)?i}?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y i?1i??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i}, k?0k?0i?0,1,2,3,4,5 所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 (3) P{U?i}?P{min(X,Y)?i} ?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}35??P{X?i,Y?k}?P{X?k,Y?i} k?ik??i?1i?0,1,2,3, 于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程,有 W=X+0 1 2 3 4 5 6 7 8 Y P 0 0.00.00.10.10.20.10.10.02 6 3 9 4 9 2 5 20.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布. (1) 求P{Y>0|Y>X}; (2) 设M=max{X,Y},求P{M>0}. 29 e2【解】区域D的面积为 的联合密度函数为 S0??11dx?lnxxe21?2.(X,Y) 题20图 【解】因(X,Y)的联合概率密度为 1?12?,1?x?e,0?y?,f(x,y)??2x ??0,其他.(X,Y)关于X的边缘密度函数为 ?1222?2,x?y?R, f(x,y)??πR?其他.?0,P{Y?0,Y?X}(1)P{Y?0|Y?X}? P{Y?X}1?1/x1dy?,1?x?e2,??0 fX(x)??22x?其他.?0,所以 1fX(2)?. 422.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联 合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. ?y?0y?x??f(x,y)d???f(x,y)d?π X x1 x2 P{Y=yj}=pj Y y1 y2 y3 1/8 1/8 1/6 P{X=xi}=pi y?x (2) 1?π/40πR2rdr ?5πR1?π4/4d??0πR2rdr3/83??; 1/24d??R1 【解】因P{Y?yj}?Pj??P{X?xi,Y?yj}, i?12故 P{M?0}?P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0} P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x2,Y?y1}, ?1?P{X?0,Y?0}?1???f(x,y)d??1?x?0y?013?. 44从而P{X而 X ?x1,Y?y1}?与 Y 111??. 6824独 立 , 故 21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少? P{X?xi}?P{Y?yj}?P{X?xi,Y?yi}, 从 而 P{X?x1}?11?P{X?x,Y?y}?. 624111/?. 即:P{X?x1}?2464又 题21图 P{X?x1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x1,Y?y2}?P{X?即 111???P{X?x1,Y?y3}, 424830 从而P{X?x1,Y?y3}?理 1. 12P{?2?Cp(1?p)mnmn?m同 1?Y }2e??n??,n?m?n,n?0,1,2,?. n!y,3P{X?x2,Y?y2}? 8又 24.设随机变量X和Y独立,其中X的概率分布为X~?2??1?0.30.7??,???P{Y?y}?1jj?13而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). , 故 【解】设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为 111P{Y?y3}?1???. 6233. 同理P{X?x2}?4从而 G(u)?P{X?Y?u}?0.3P{X?Y?u|X?1}?0.7P{X? ?0.3P{Y?u?1|X?1}?0.7P{Y?u?2|X?2} 11由于1X和Y独立,可见 P{X?x2,Y?y3}?P{Y?y3}?P{X?x1,Y?y3}???. 3124G(u)?0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2} 故 ?0.3F(u?1)?0.7F(u?2). 由此,得U的概率密度为 g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2) X Y y1 1 241 81 6y2 y3 P{X?xi}?Pi 11 81231 8411 32 x1 x2 14341 ?0.3f(u?1)?0.7f(u?2). 25. 25. 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀 分布,求P{max{X,Y}≤1}. 解:因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有 P{Y?yj}?pj 23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘 客在中途下车的概率为p(0 解 mnm?1?, 0?x?3, f(x)??3??0, x?0,x?3;?1?, 0?y?3, f(y)??3??0, y?0,y?3.因为X,Y相互独立,所以 】 n?m(1) P{Y?m|X?n}?Cp(1?p). (2) ,0?m?n,n?0,1,2,??1?, 0?x?3,0?y?3, f(x,y)??9??0, x?0,y?0,x?3,y?3. P{max{X,Y}?1}?1. 9P{X?n,Y?m}?P{X?n}?P{Y?m|X?n} 推得 26. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 31 Y ??1 0 1 X ??1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c P{X?Z}?P{Y?0}?0.1?b?0.2?0.1?0.1?0.2?0.4.习题四 1.设随机变量X的分布律为 X ??1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E(X),E(X2),E(2X+3). 【 解 】 (1) 其中a,b,c为常数,且X的数学期望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5,记Z=X+Y.求: (1) a,b,c的值; (2) Z的概率分布; (3) P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性质知, a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由E(X)11111E(X)?(?1)??0??1??2??; 82842(2) ??0.2,可得 ?a?c??0.1. 再 11115E(X2)?(?1)2??02??12??22??; 828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4 由 22.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P{X?0,Y?0}a?b?0.1P{Y?0X?0}???0.5P{X?0}a?b?0.5, 得 a?b?0.3. P 解以上关于a,b,c的三个方程得 a?0.2,b?0.1,c?0.1. (2) Z的可能取值为?2,?1,0,1,2, 142332415C5CCCCCCCCC901090109010901090?0.583?0.340?0.070?0.007?5100?055555C100C100C100C100C100C100故 E(X)?0.58?3?0 0.3?4?010.?0?702?0.?00?7?3P{Z??2}?P{X??1,Y??1}?0.2, ?0.501, 5P{Z??1}?P{X??1,Y?0}?P{X?0,Y??1}?0.1, D(X)??[xi?E(X)]2Pi i?0P{Z?0}?P{X??1,Y?1}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y??1}?0.3 , ?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340???(5?0.501?0.432.3.设随机变量X的分布律为 X P ??1 0 1 p1 p2 p3 且已知E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求P1,P2,P3. 【解】因P1又 P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?0.3, P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?0.1, 即Z的概率分布为 Z P ?2 ??1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) ?P2?P3?1……①, 32 E(X)?(?1)PPP1?0?2?1?3?P3?P1?0.1……②, 22E(X2)?(?1)2?P?0?P?1?P123?P1?P3?0.9(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)?E(Z)?4E(X) ?11?8?4?5?68. ……③ 由①②③联立解得P1?0.4,P,P2?0.13?0.5. 7.设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D (Y)=16,求E(3X??2Y),D(2X??3Y). 【 解 】 (1) 4.袋中有N只球,其中的白球数X为一随机变量,已知E(X)=n,问 从袋中任取1球为白球的概率是多少? 【解】记A={从袋中任取1球为白球},则 E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3. (2) P(A)全概率公式?P{A|X?k}?P{X?k} k?0ND(2X?3Y)?22D(X)?(?3)2DY?4?12?9?16?192. 8.设随机变量(X,Y)的概率密度为 k1??P{X?k}?Nk?0N1n??E(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为 N?kP{X?k}k?0Nf(x,y)=??k,0?x?1,0?y?x, 其他.?0,】 1x 【 试确定常数k,并求E(XY). 解 ????因 ??????f(x,y)dxdy??dx?kdy?001k?1,21故 ?x,0?x?1,?f(x)=?2?x,1?x?2, ?0,其他.?求E(X),D(X). 【 解 ??k=2 E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?0.200x. 9.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 】 E(X)?? ??xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx 011212?e?(y?5),?2x,0?x?1,fX(x)=? fY(y)=?0,其他;?0,?求E(XY). 【解】方法一:先求X与Y的均值 12E(X)??x?2xdx?, 03y?5,其他. 3?13??2x???x???x???1. 3?1?3?0?E(X)??故 2????xf(x)dx??xdx??x2(2?x)dx?0121327 61D(X)?E(X2)?[E(X)]2?. 6E(Y)????5ye?(y?5)dy令z?y?55?edz??0???z??0ze?zdz?5?1?66.设随机变量X,Y,Z相互独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学期望. (1) U=2X+3Y+1; (2) V=YZ??4X. 【 解 】 (1) 由X与Y的独立性,得 2E(XY)?E(X)?E(Y)??6?4. 3 方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故联合密度为 E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44. ?2xe?(y?5),0?x?1,y?5, f(x,y)?fX(x)?fY(y)??其他,?0,33 1?π?4?π22??11??2)?E(X)?[E(X)]?2???. ??(y?5)2?(y?5)D(X2?2k?E(XY)???xy?2xedxdy??2xdx??yedy??6?4. k4k??5005310.设随机变量X,Y的概率密度分别为 12.袋中有12个零件,其中9个合格品,3个废品.安装机器时,从袋 于是 2?2e?2x,x?0,?4e?4y,fX(x)=? fY(y)=?0,x?0;??0,求(1) E(X+Y);(2) E(2X??3Y2). 【 ????y?0, y?0.】 中一个一个地取出(取出后不放回),设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X,求E(X)和D(X). 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数,则X的 可能取值为0,1,2,3.为求其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知 -2x解 ?2x9?0.750, (X)??xfX(x)dx?x?2edx?[?xe]?edx??012??139?2xedx?.P{X?1}???0.204, ? ?021211????1329?4yyf(y)dyy?4edy?.P{X?2}????0.041, E(Y)? ???Y?04121110 3219P{X?3}?????0.005. ????211211109E(Y2)??y2fY(y)dy??y2?4e?4ydy?2?. ??0于是,得到X的概率分布表如下: 48X 0 1 2 3 113??. 从而(1)E(X?Y)?E(X)?E(Y)?P 0.750 0.204 0.041 0.005 244???2x??00 P{X?0}?(2) 由此可得 115E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)?2??3?? 28811.设随机变量X的概率密度为 E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301. ??cxe?kf(x)=???0,22x,x?0, x?0.22E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.41D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.413?(0.301)2?0.322.13.一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,概率密度 求(1) 系数c;(2) E(X);(3) D(X). 【解】(1) 由 ?????f(x)dx??cxe?kxdx?0??c?1得22k为 x?1?4?e,x?0,f(x)=? 4?x?0.?0,c?2k2. (2) ????E(X)????xf(x)d(x)??0x?2k2xe?kxdx x22为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值:100元和??200元 ?2k2???0x2e?k22πdx?. 2kx2?2k2xe?k22(3) E(X)??故 2????xf(x)d(x)??2??x01. k2 P{Y?100}?P{X?1}?? ??11?x/4edx?e?1/4 4P{Y??200}?P{X?1}?1?e?1/4. 故 E(Y)?100?e?1/4?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33 34 (元). 14.设X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,且有E(Xi)=μ,D(Xi) =σ,i=1,2,…,n,记 n11n2X??Xi,S,S2=(Xi?X)2. ?ni?1n?1i?12 从而 nn2?1?12E(s)?E?(?Xi?nX)??[E(?Xi2)?ni?1?n?1i?1?n?12 n21?[?E(Xi2)?nE(X)]n?1i?1?2(1) 验证E(X)=μ,D(X) = n; ? n212(2) 验证S2=(?Xi?nX); n?1i?1????1???n?(?2?u2)?n??u2????2.n?1??n??2 15.对随机变量X和Y,已知D(X)=2,D(Y)=3,Cov(X,Y)=??1, 计算:Cov(3X??2Y+1,X+4Y??3). (3) 验证E(S2)=σ2. 【 证 】 (1) 【 解】 n1n1Cov(3X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8D?1n?1E(X)?E??Xi??E(?Xi)??E(Xi)??nu?u. ni?1n ?ni?1?ni?1nn?3?2?10?(?1)?8?3??28 1?1n?1D(X)?D??Xi??2D(?Xi)Xi之间相互独立2?DXi ?nnni?1i?1?i?1?(因常数与任一随机变量独立,故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类 ?1?2?n??. n2n2似). 16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (2) 因 ?(Xi?1nni?X)??(X?X?2XXi)??X?nX?2X?Xi 22i2ii?1i?1i?1n2n2n?122?,x?y?1,f(x,y)=?π ?其他.?0,试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的. 【解】设D ?{(x,y)|x2?y2?1}. ????X?nX?2X?nX??Xi2?nX2ii?1i?1n21故S?(?Xi2?nX). n?1i?122n2 E(X)?????????xf(x,y)dxdy?1xdxdy ??πx2?y2?1 212π1=??rcos??rdrd??0. π00(3) 因 E(Xi)?u,D(Xi)??同理E(Y)=0. , 故 而 E(Xi2)?D(Xi)?(EXi)2??2?u2. 同 理 因 CovX(Y,?)?X,)故 ????????? xdyx[?Ex(?)]y?[EY()f]x(y,)E(X?)u,?D(n?2 112π12???2xydxdy?π?0?0rsin?cos?rdrd??0πx2?y?1, 由此得 E(X)?2?2n?u2. ?XY?0,故X与Y不相关. 35 下面 1?x2讨论独立性,当|x|≤1时, X Y ??1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 fX(x)?1?1?x212dy?1?x2. ππ??1 0 1 . 当|y|≤1时,fY(y)1?1?y2?1?y212dx?1?y2ππ验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的. 【解】联合分布表中含有零元素,X与Y显然不独立,由联合分布律 显然 f(x)?f(x,y). 易求得X,Y及XY的分布律,其分布律如下表 XY(y)?f故X和Y不是相互独立的. 17.设随机变量(X,Y)的分布律为 X ??1 0 1 P 3238 8 8 Y ??1 0 1 P 328 8 38 XY ??1 0 1 P 28 48 28 36 由期望定义易得E(X)=E(Y)=E(XY)=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的. 又 19.设(X,Y)的概率密度为 ?XY?Cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?13611?1818??1 2331P{X??1}?P{Y??1}????P{X??1,Y??1} 888从而X与Y不是相互独立的. 18.设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三 角形区域上服从均匀分布,求Cov(X,Y),ρXY. 【解】如图,SD= ππ?1?sin(x?y),0?x?,0?y?,f(x,y)=?222 ?其他.?0,求协方差Cov(X,Y)和相关系数ρXY. 解 ??12【 ,故(X,Y)的概率密度为 】 π/2E(X)?? ???????xf(x,y)dxdy??π200dx?π/201x?sin(x?y)dy?2E(X)??dx? 题18图 从而 2π201π2πx?sin(x?y)dy???2. 2822?2,(x,y)?D, f(x,y)??0,其他.?E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0D22111?xπ2πD(X)?E(X)?[E(X)]???2. 16222同理 1x?2dy? 312xdy? 62ππ2πE(Y)?,D(Y)???2. 4162又 π/2π/2E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0D1?xE(XY)??故 0dx?0πxysin(x?y)dxdy??1, 2从而 21?1?1D(X)?E(X2)?[E(X)]2?????. 6?3?18同理E(Y)?π?ππ?π?CovX(Y,?)EX(Y?)E(X?)EY(??)???1????244???2?π?4????22Cov(X,Y)(π?4)π?4??而 ?XY??2??2??2π?8π?32π?D(X)?D(Y)ππ??211?x1162E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??dx?2xydy?. 0012DD?11?所以 20.已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为??,试求Z1=X??2Y 14??1111Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?????123336和Z2=2X??Y的相关系数. . 从 【解】由已知知:D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 而 从而 11?,D(Y)?. 318 37 D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,品是次品的概率. 23.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件 次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后, D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4,求:(1)乙箱中次品件数Z的数学期望;(2)从乙箱中任取一件产 Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y) 【解】(1) Z的可能取值为0,1,2,3,Z的概率分布为 k?kC3?C33P{Z?k}?C36?2Cov(X,X)?4Cov(Y,X)?Cov(X,Y)?2Cov(Y,Y) ?2D(X)?5Cov(X,Y)?2D(Y)?2?1?5?1?2?4?5., k?0,1,2,3. 故 ?Cov(Z1,Z2)55Z1Z2?D(Z??13. 1)?D(Z2)13?42621.对于两个随机变量V,W,若E(V2 ),E(W2 )存在,证明: [E(VW)]2 ≤E(V2 )E(W2 ). 这一不等式称为柯西许瓦兹(Couchy??Schwarz)不等式. 【证】令 g(t)?E{[V?tW]2},t?R. 显然 0?g(t)?E[(V?tW)2]?E[V2?2tVW?t2W2] ?E[V2]?2t?E[VW]?t2?E[W2],?t?R. 可见此关于t的二次式非负,故其判别式Δ≤0, 即0???[2E(VW)]2?4E(W2)?E(V2) ?4{[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}. 故[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}. 22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布. 设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y). 【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间,由题设知设备首次发生 故障的等待时间X~E(λ),E(X)=1?=5. 依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1. 对于0≤y<2,当x≥0时,在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1??e??λx,所以 F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e??y/5. Z=k 0 1 2 3 Pk 1920 920 12020 因 此 , E(Z??12???)????90 02(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”,根据全概 率公式有 3P(A)??P{Z?k}?P{A|Z?k} k?0 ?120?0?919213120?6?20?6?20?6?4. 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ,1), 内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品.销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有如下关系 ?若X?10T=??1,,?20,若10?X?12, ???5,若X?12.问:平均直径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大? 【 解 】 E(T)??P{X?10}?20P{10?X?12}?5P{X?12} ??P{X?u?10?u}?20P{10?u?X?u?12?u}?5P{X???(10?u)?20[?(12?u)??(10?u)]?5[1??(12?u)]?25?(12?u)?21?(10?u)?5.故 dE(T)du?25?(12?u)?(?1)?21?(10?u)?(?1) 令 0(这里?得 38 25e?(12?u)2/2?21e?(10?u)2/2当t≥0时,利用卷积公式得 两边取对数有 fT(t)??故得 ????f1(x)?f2(t?x)dx??5e?5x?5e?5(t?x)dx?25te?5t0t 11ln25?(12?u)2?ln21?(10?u)2. 22解 得 ?25te?5t,t?0, f(t)??u?11?12ln2521?11?12ln1.19?10.9128(毫米) 由此可得,当u=10.9毫米时,平均利润最大. 25.设随机变量X的概率密度为 ?f(x)=?1?cosx,0?x?π,?22 ?0,其他.对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于π/3的次数,求Y2的数学期望. (2002研考) ?π?1,X?,【解】令 Y?3i??(i?1,2,3,4) ??0,X?π?3.4则Y??Yi~B(4,p).因为 i?1p?P{X?π3}?1?P{X?π3}及 P{X?ππ/313}??02cosx12dx?2, 所以E(Y11i)?2,D(Y4Y)?4?1i)?,E(2?2, D(Y)?4?12?12?1?E(Y2)?(EY)2, 从而E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1?22?5. 26.两台同样的自动记录仪,每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为 5的指数分布,首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t),数学期望E(T)及方差D(T). 【解】由题意知: f(t)???5e?5t,t?0,i?0,t?0. 因T1,T2独立,所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时,fT(t)=0; T?0,t?0.由于T1i ~E(5),故知E(Ti)= 5,D(T)=1i25(i=1,2) 因此,有E(T)=E(T21+T2)=5. 又因TT21,2独立,所以D(T)=D(T1+T2)=25. 27.设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2的正 态分布,求随机变量|X??Y|的方差. 【 解 】 设 Z=X??Y , 由 于 X~N???1?2??0,?????1?2??2???,Y~N?0,?????2????, ?且X和Y相互独立,故Z~N(0,1). 因 D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2 ?E(Z2)?[E(Z)]2, 而 E(Z2)?D(Z)?1,E(|Z|)????|z|1???2πez2/2dz ?2???z2/22π?0zedz?2π, 所以 D(|X?Y|)?1?2π. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0 相互独立,当出现一个不合格产品时,即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求E(X)和D(X). 【解】记q=1??p,X的概率分布为P{X=i}=qi??1p,i=1,2,…, 故 ?E(X)??iqi?1?p?p(?qi)??p?i?1i?1?q???1?q???p(1?q)2?1p. 又 39 E(X2)??i2qi?1p??(i2?i)qi?1p??iqi?1p i?1i?2i?1???于是 D(U)?D(X?Y)?1121???. 18183618 ?q2???11i?pq(?q)????pq???pp i?2?1?q?2pq11?q2?p???2?2.(1?q)3ppp?30.设随机变量U在区间[??2,2]上服从均匀分布,随机变量 X=???1,若U?1,??1,若U??1, Y=? 1,若U?1.1,若U??1,??试求(1)X和Y的联合概率分布;(2)D(X+Y). 所以 【解】 (1) 为求X和Y的联合概率分布,就要计算(X,Y)的4个可 能取值(??1,??1),(??1,1),(1,??1)及(1,1)的概率. P{x=??1,Y=??1}=P{U≤??1,U≤1} ?1dxdx1?P{U??1}????? ??4?244P{X=??1,Y=1}=P{U≤??1,U>1}=P{?}=0, ?12?p11?pD(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?2?2. pppP{X=1,Y=??1}=P{U>??1,U≤1} 题29图 29.设随机变量X和Y的联合分布在点(0,1),(1,0)及(1,1)为顶 点的三角形区域上服从均匀分布.(如图),试求随机变量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY)??E(X)·E(Y)]. 由条件知X和Y的联合密度为 ?P{?1?U?1}??dx1? ?144121P{X?1,Y?1}?P{U??1,U?1}?P{U?1}?. 故得X与Y的联合概率分布为 dx1?44?2,(x,y)?G, f(x,y)??0,t?0.?G?{(x,y)|0?x?1,0?y?1,x?y?1}. 从而 ?(?1,?1)(?1,1)(1,?1)(1,1)??. (X,Y)~?111??0?424?(2) 因 D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2, 而X+Y及(X+Y)2的概率分布相应为 ??202??0X?Y~?111?, (X?Y)2~?1因此 ????424??211131223E(X)??xfX(x)dx??2xdx?,E(X)??2xdx?, 0001122?0, 从而E(X?Y)?(?2)??2?14144D(X)?E(X2)?[E(X)]2???. 1129182?2, E[(X?Y)]?0??4?3122,D(Y)?. 同理可得 E(Y)?所218fX(x)??????f(x,y)dy??2dy?2x. 1?x14?. 1??2?以 5E(XY)???2xydxdy?2?xdx?ydy?, 01?x12G11D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2?2. 31.设随机变量X的概率密度为f(x)= (1) 求E(X)及D(X); 541Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)????, 12936 1?xe2,(??∞ 40
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