2012固体物理复习题及答案（修改版）

固体物理卷（A）

第一部分：名词解释（每小题5分，共40分）

1.原胞：在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。

2.晶面指数：一个晶面得取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定，如果这三个点处在不同的晶轴上，则通过有晶格常量a1,a2,a3表示这些点的坐标就能标定它们所决定的晶面，它们具有相同比率的最小整数称为晶面指数

3.布拉格定律：假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种类似镜子的镜面反射中，其反射角等于入射角。当来自平行原子平面的反射发生相长干涉时，就得出衍射束。考虑间距为d的平行晶面，入射辐射线位于纸面平面内。相邻平行晶面反射的射线行程差是2dsinx，式中从镜面开始量度。当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生了相长干涉。 这就是布拉格定律。布拉格定律用公式表达为：2dsinx=n*λ(d为平行原子平面的间距，λ为入射波波长，x为入射光与晶面之夹角) ，布拉格定律的成立条件是波长小于等于2d。 布拉格定律是晶格周期性的直接结果。

4.简述三维空间的晶系种类及其所包括的晶格类型

三斜1， 单斜2， 正交 4， 四角 2， 立方3， 三角1， 六角1。

5.布里渊区：在固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。

6.惰性气体晶体：惰性气体所形成的晶体是最简单的晶体，其晶态原子的电子分布非常接近于自由态原子的电子分布，在晶体中，这些惰性气体原子尽可能紧密地堆积在一起。惰性气体原子具有闭合电子壳层，电荷分布是对称的。 7.德拜模型：德拜模型是德拜提出的计算固体热容的原子振动模型。1912年，德拜改进了爱因斯坦模型，考虑热容应是原子的各种频率振动贡献的总和，得到了同实验结果符合得很好的固体热容公式。德拜模型把原子排列成晶体点阵的固体看作是一个连续弹性媒质，原子间的作用力遵从胡克定律，组成固体的 n个原子在三维空间中集体振动的效果相当于3n个不同频率的独立线性振子的集合。

8.费米能等于费米子系统在趋于绝对零度时的化学势；但是在半导体物理和电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴化学势的代名词。费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。费米能级在半导体物理中是个很重要的物理参数，只要知道了他的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。

9.内聚能：所谓晶体的内聚能，是指在绝对零度下将晶体分解为相距无限远的、静止的中性自由原子所需要的能量。

12.离子晶体：由正、负离子或正、负离子集团按一定比例组成的晶体称作离子晶体。离子晶体中正、负离子或离子集团在空间排列上具有交替相间的结构特征，离子间的相互作用以库仑静电作用为主导。

13.金属晶体：晶格结点上排列金属原子-离子时所构成的晶体。金属中的原子-离子按金属键结合，因此金属晶体通常具有很高的导电性和导热性、很好的可塑性和机械强度，对光的反射系数大，呈现金属光泽，在酸中可替代氢形成正离子等特性

14.氢键晶体的定义：在一定条件下一个氢原子同时与两个原子相结合的力。氢键晶体以氢键结合的晶体，结合力主要依靠氢原子与电负性很大而原子半径较小的两个原子结合成X—H…Y形式。氢键晶体的结合能一般比较低、氢键具有饱和性。

16.霍尔效应：固体材料中的载流子在外加磁场中运动时，因为受到洛仑兹力的作用而使轨迹发生偏移，并在材料两侧产生电荷积累，形成垂直于电流方向的电场，最终使载流子受到的洛仑兹力与电场斥力相平衡，从而在两侧建立起一个稳定的电势差即霍尔电压。正交电场和电流强度与磁场强度的乘积之比就是霍尔系数。平行电场和电流强度之比就是电阻率。大量的研究揭示：参加材料导电过程的不仅有带负电的电子，还有带正电的空穴。

17．能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。

18.爱因斯坦模型把晶体中的N个原子视为N个频率相同的各自独立的三维谐振子,完全不考虑使这些原子在平衡位置附近振动,并使它们结合成晶体的原子间相互作用.正是因为忽略了这种由于原子间相互作用而造成的晶体中原子振动的相干性,导致了爱因斯坦模型晶体热容计算结果与实验结果间的系统误差.

18. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么? [解答]

万尼尔函数可表示为

1W?(Rn, r)????(k, r?Rn)Nk.

紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体. 在这类晶体中的电子有两大特点: (1) 电子被束缚在原子附近的几率大, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近, 即当r?Rn时, 电子波函数

at(r?Rn)相近. (2) 它远离原子的几率很小, 即r偏离Rn较??(k, r?Rn)与孤立原子波函数??2大时, ??(k, r?Rn)很小. 考虑到r偏离Rn较大时,

at??(r?Rn)来描述??(k, r?Rn)是很合适的. 取

2at??(r?Rn)也很小, 所以用

at(r?Rn). ??(k, r?Rn)=?(k)??将上式代入万尼尔函数求和中, 再利用万尼尔函数的正交性, 可得

at(r?Rn). W?(Rn, r)???也就是说, 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似是由紧束缚电子的性质来决定的.

19. 紧束缚模型电子的能量是正值还是负值? [解答]

紧束缚模型电子在原子附近的几率大, 远离原子的几率很小, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近. 因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近. 孤立原子中电子的能量是一负值, 所以紧束缚模型电子的能量是负值. s态电子能量(5.60)表达式

Es(k)?Esat?Cs?Js?eik?Rnn即是例证.

atEs其中孤立原子中电子的能量是主项,

是一负值, ?Cs和?Js是小量, 也是负值.

20.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?

[解答]

由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.

价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式

0kF?(3n?2)1/3

可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越

大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能E正比与费密能EF, 而费密能又正比与电子浓度n2/30:

?2E?3n?22m0F??2/3,

303?2E?EF?3n?2510m??2/3.

所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.

21.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗?

[解答]

电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为EF1和EF2, 且EF1>EF2, 接触平衡后电势分别为V1和V2. 则两金属接触后, 金属1中能量高于EF1?eV1的

2

中. 由于V1大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.

22、解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？

[解答]

晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.

23、在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?

[解答]

在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.

24、如何理解库仑力是原子结合的动力?

[解答]

晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力.

25、晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?

[解答]

自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.

原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.

在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.

26、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答]

为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.

简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N.

27、长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? [解答]

长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.

28、为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?

[解答]

电导?是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径

kF?(3n?2)1/3.

可见电子浓度n越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.

第二部分：计算（每小题10分，共60分）

1.

晶面指数若考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是惯用立方晶胞，若采用初基轴，这些面得指数是多少？

1(x?y)21(y?z) 2初级矢量：a1?a2?a3?1(z?x)。 2答案：（100）面垂直于x轴，相对于初基轴的指数是（101）。（001）相对于初基轴的指数是（011），

2.布里渊区，矩形晶格，一个二维金属在简单矩形原胞a= 2 ?和b=4 ?内含有一个单价原子，（a）绘出第一布里渊区，并以cm?1为单位标示其大小。（b）计算自由电

子费米球的半径，单位为cm?1。（c）在（a）中给出的第一布里渊区上绘制自由电子费米球。假设在布里渊区边界上有个小缝隙，另作一示意图，就第一和第二能带示出周期能区图式中自由电子能带的前几个周期。

解： a:

C．

3. 如下图所示，这是由原子排列在正方格子上而构成的一假想的二维晶体，

（1）标出一个原胞；

（2）定义倒格子点阵解释它同布拉格反射的关系；

（3）画出倒格子点阵和第一布里渊区，该区与布拉格反射的关系如何；

（4）叙述并解释布洛赫定理，即在点阵的势场中运动的电子具有行波波函数，该定理必须采用什么边界条件？

解：

（1） 原胞如下图所示，四个角顶上都有原子占据，但属于原胞的仅有一个原子，

若设方格长度为a，则原胞基矢为：a1?a(i?j) a2?a(i?j)

a2 a1 a

?2?,i?j（2）设ai（i?1,2）为正格子的基矢，则由关系式ai?bj??

?0,i?j

所确定的bi（i?1,2）为基矢的点阵，称为正格子的倒格子，

在倒格子空间，布拉格反射的条件为：反射波矢k与入射波矢k0相差一个或者倒格

矢nGh，即k?k0?nG0

（3）i与j是相互垂直的单位矢量，取单位矢量k垂直于i和j，则a1，a2和k构成的体积：??a1?(a2?k)?(ai?aj)?(ai?aj)?2a2 根据倒格式基矢的定义

2?(a2?k)2?? b1??2?(ai?aj)?(i?j)

?a2a2?(k?a1)2??b2??2?(ai?aj)?(i?j)

?a2a虽然这将是构成二维正方倒格子点阵，下图示出倒格子点阵和第一布里渊区，在布里渊区边界上将发生布拉格反射。

b2 i b1

(4)在点阵周期势场中运动的电子波函数是布洛赫波即：

?k(r)?eik?ruk(r) 式中函数uk(r)具有晶格平移对称性

uk(r)?uk(r?R)

式中R是晶格格矢，这是受晶格周期势场调制的平面波，此即布洛赫定理，布洛赫波的指数部分是平面波，描述了晶体中电子的共有化运动，而周期函数则描述了晶体中电子围绕原子核的运动，因而布洛赫波正是反映晶体中电子运动的特点。

4. 一束动能为1keV的电子通过一多晶金属箔产生衍射，这种金属具有立方晶体结构，原子间距为1 ?，求

（1）计算电子的波长；

（2）计算第一级衍射极大的布拉格角

p2h解（1）因为电子的波长??及?eV（V为电子加速电压），所以

2mph(2meV)12???12.25V12?12.251000?0.39（?）

（2）由布拉格反射条件2dsin??n?，对第一级衍射极大，n?1, 又知d?1 ?，所以 sin??

5. 分别到处一维，二维和三维金属中自由电子的能态密度。

解：

金属自由电子E?k关系为

?2k2 E(k)?

2m?2d?0.39?0.195，得 ??11.18? 2?1一维E?k是抛物线，二维等能线是圆，而三维等能面则是球。 （1） 一维情况。

E?E?dE电子数目相应于一维k轴在?k方向(2dk)范围内的状态如下图，计

入电子自旋，一维金属长度为L，

E dE dk dk k

g(E)dE?2?L?2dk 2?1?m由自由电子色散关系，dk??(2mE)2dE

?代入得

??2L2mL2m2?22?(2mE)?(2)E?E2 g(E)?2????1111

（2） 二维情况。

E?E?dE电子数目相应于如图1.1.55二维k平面上半径k，宽度为dk的圆环内的状态数目，设二维金属面积为S

k dk

g(E)dE?2?S(2?)2?2?k?dk

由自由电子色散关系

?2?2 dE? ?2kdk??2?kdk2m2?m代入得 g(E)?2S2m?Sm???常数 (2?)2?2??2（3） 三维情况

E?E?dE电子数目相应于如图1.1.56三维k平面上半径k，宽度为dk的球壳内的状态数目，考虑电子自旋，对体积为V三维金属

g(E)dE?2?V?4?k2?dk 3(2?)

kz dkk ky kx

由色散关系，

?mdk??(2mE)2dE

?1与色散关系一起代入上式

?V2mEmV2m222g(E)dE?2??4???(2mE)??()E?E2 3222?(2?)?2??1311

6． 在金属的自由电子模型中，假定传导电子可近似的看作是自由电子气，其中最重要的参数是电子密度n及两次碰撞之间的时间?，试导出金属电导率的

ne2?表达式：??，估计铜中电子的弛豫时间?，铜的电阻率1.7?10-6??cm，

m铜的原子密度为8.5?1022cm?3。

解：对于自由电子，动量p和波矢k的关系为：p??k

dpdk ??dtdt在外力F作用下的运动方程为：F?即由于外力作用，所有电子的k值在平行于力F的方向上由所增加。但是，电子又通过碰撞回复到他们原来的状态而平衡态，如果碰撞的弛豫时间为?，则波矢k的平衡位移?k为：?k???F

相应地，速度变化为：?v??Pm????k?F mm若外加电场为?，则作用在每个电子上的力为：F??e?

ne2????? 由此引起的电流密度为：j??ne?v?mne2?由此得电导率?为：??

m对于铜，若认为每个原子贡献一个导电电子，因此，n?8.5?1022cm?3

m?m?14??2.5?10（s）. 22nene?由此得铜电子弛豫时间：??

7.考虑每格点具有一个质量为m的原子的二维平方晶格，仅计及最近；邻原子之间的相互作用，力度常数为?，设声子色散关系曲线是：

?q?4??qa?sin()? ?m?2?求：在长波极限下，求声子态密度D（?），即单位频率间隔d?中的点阵振动的模式数，

解：(1)在长波极限下，q?0，有

??4??qa??sin()??m?2??maq，（1）

式中??q，是弹性色散关系，设二维晶格的面积为S，则声子态密度D（?）为：

D（?）d??S(2?)22?qdq，即D（?）?Sdq， q2?d?由式（1）q???m即

?ad??dq?m?a

?故模式密度 D（?）SdqSq?2?d?2???m??a1?m??aSm? 22?a?8. 铜是单价金属，其密度为8000kg/m3，原子量为64. 试计算绝对温度时电子的费米能；

解：铜是面心立方晶体，设晶格常数为a,一个晶胞中有4个铜原子，故铜密度

4?64N03??a，N0是阿伏伽德罗常数，则晶格常数a

?4?64?10a???N0??-3??10??3.76?10m=3.76 ? ??13设铜晶体体积为V，包含有N个铜原子，每一个铜原子贡献一个电子，则共有NV43个传导电子，设费米球半径为kF,有2???k?N， F3（2?）3N??即kF??3?2??(3?2n)3

V??N?4?N,对于面心立方晶体n????

V?a3?V13123131电子浓度n?N?(12?)?故kF??3?2??

V?a?绝对零度下的费米能级

?2kFEF??1.042?10?18J?6.5eV

2m29.若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量， （1）费米能和费米温度 （2）费米球半径

（3）在室温及低温时电子的平均自由程

银的密度=10.5g/cm3,原子量=107.87，电阻率=1.61?10?6??cm（在295K），和电阻率=0.038?10?6??cm（在20K）.

10.5?6.022?1023?5.86?1022/cm3 107.87解：银的电子浓度=

（1）费米能EF和费米温度TF

?2EF?(3?2n)3?8.747?10?19J?5.46eV

2m2TF?EF5.464??6.34?10K kB8.617?10?5（2）费米球半径kF

1313?3??3?kF?2???n??2???5.86?1022??1.2?108(cm?1)

?8???8???k1.05?10?34?1.2?1088??1.38?10(cm/s) （3）费米速度vF?-34m9.1?10ne2?1m（4）金属自由电子论 ???，则???2

?m?ne1在295K，???1m??3.77?10?14(s) ?621.61?10ne???F??1.38?108?3.77?10?14?5.2?10?6(cm)= 520? 同理20K下

??1.596?10?12(s)

????F??1.38?108?1.596?10?12?2.2?10?4(cm)=2.2?104? 10.六角空间晶格。六角空间晶格的初基平移矢量可以取为：

?1?a1??32a/2??x?a2????1?32a/2??x?a2y a2?????????y a?3?cz

?（a）证明原胞的体积为(3/2)a2c （b）证明倒格子得初基平移矢量为：

??121b1???2?/32a??x??2?/a?y

??1?b2???2?/32a??x??2?/a?y ????b3??2?/c?z

因此，正格子就是它本身的倒格子，但轴经过了转动。 （c）描述并绘出六角空间晶格的第一布里渊区。 解（a）

13a21a1?a2?a3??3a201a0211a0?3a2c 220c?(b)

???a2?a34?1b1?2???3a2a1?a2?a33ac20x1a20yz2?10?(a3cx?y)

??同理可以得到b2，b3

c.六位向量在倒易空间如下图如实线所示，虚线是实线的中垂线，它们组成的六边形就是第一布里渊区。

11. 液He3。He3原子具有自旋的

1，是费米子。在绝对零度附近He3的密度为20.081gcm?3，试计算费米能级EF和费米温度TF.

解：一个He3质量是5.01?10-24g，EF?3.76?10?19J

第11题的答案是我自己算的，如果存在数据错误，请大家谅解（常海涛） 在以上计算题中，会出现数据的计算错误，建议大家自己计算一次，另外，第2题不考

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