第十一次习题课讨论题参考解答 - 470105047

习题6.1第三大题（3），271页：

首先易知级数S?x???x3e?nx在R上是处处收敛的，事实上，可以求出

2?n?1?x3,x?0?2S?x???ex?1。 ?0,x?0?接下来验证级数在R上是一致收敛的：令

fn?x??x3e?nx2，它为奇函数，

fn??x???3x2-2nx4?e?nx233?3??2fnmax?fn()???e

2n?2n?由于它为奇函数，所以

3?3??2fn(x)???e，?x?R，?n?1

?2n?3232而级数

?n?1?3?3??2??e是收敛的，由优级数判别法可知原级数在R上一致收敛。 ?2n?32

第十一次习题课讨论题参考解答 6月11日和12日

本次习题课讨论函数项级数

?un?1?n(x)，x?I，I为实轴上的某个区间。假设级数在I上处

处收敛。我们关心三个问题： 问题1：连续性问题，limt?x?un?1?n(t)?(?)?limun(t)；

n?1t?x????????问题2：逐项积分问题： ???un(t)?dt?(?)??un(t)dt；

n?1a?a?n?1bb????????(x)。 问题3：逐项求导问题：??un(x)??(?)?unn?1?n?1?当所考虑的级数在I上一致收敛时，上述三个等式均成立。

讨论题涉及以下几个方面的内容

一． 函数级数收敛域 二． 一致收敛性 三． 幂级数的半径

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四． 五． 一．

逐项求导与求积分 级数求和 函数级数收敛域

?n（n?x）题1. 考虑级数?关于x的收敛范围。（课本习题第6章总复习题1（1），第291n?xnn?1页）

n（n?x）?n?x?解：（后面的答案对应的题目应该是?）级数的一般项可写作u(x)??x?。nnxn?n?n?1?n由此可见，级数收敛当且仅当|n?x|?nx，对充分大的n。显然，当x?0时，不等式不成立。故当x?0时级数发散。考虑x?0情形。 当0?x?1时，n?x?n?n。可见此时级数也发散。

当x?1时，我们将x写作x?1??，??0。不等式|n?x|?nx成立，当且仅当

xn?1???n?n? 或 1??1???n?。显然后一不等式当n充分大时成立。 nn（n?x）因此级数?收敛，当且仅当x?1。解答完毕。 n?xnn?11?x?题2. 求级数???的收敛域.

n2x?1?n?1?tn解:由于级数?的收敛半径r?1。 并且在右端点处r?1发散，左端点处r??1收敛.

n?1n??ntn因此级数?的收敛域为t?[?1,1).

n?1n??x?lnn??1,我们就得到级数??求解不等式?1?。 ?的收敛域为x??1或x??132x?1n?1?n?x解答完毕。 题3. 考虑级数第291页）

解：记?n:?nn?1，则?n?0且?n?0，当n???时。由此得ln(1??n)??(n?1?nn?1)x关于x?0的收敛范围。（课本习题第6章总复习题1（4），

lnn。 n 2

由于1?limln(1??n)n????n??limx1nlnnn????n，故根据比较判别法极限形式知，级数

??n?1?xn收敛，

?lnn?当且仅当级数???收敛。而后一个级数收敛，当且仅当x?1（Cauchy积分判别）。

n?1?n?因此级数二．

xn收敛，当且仅当x?1。解答完毕。 (n?1)?n?1?一致收敛性

?n（-1）题1. 讨论级数?在区间I?[0,??)上的一致收敛性。

n?1n?x解：对任意x?I，级数都是Leibniz型级数，故级数在I上处处收敛。分别记S(x) 和Sn(x)为级数的和函数以及部分和，则根据Leibniz定理得

(?1)n11，?x?[0,??)。 S(x)?Sn(x)????n?1?xn?1k?n?1n?x??n（?1）由此可知级数?在区间[0,??)上一致收敛。解答完毕。

n?xn?1??题2. 证明级数

?nen?1???nx在区间I?(0,??)上非一致收敛。

证明：反证。假设

?nx在区间I上一致收敛。则根据Cauchy一致收敛准可知，对于 ne?n?1n?p???0，?N?N??0，使得

取??1，p?1，则应有0?ne?1k?n?1?ke?kx??，?n?N，?p?1，?x?0。

?nx?1，?n?N，?x?0。

再取x?1，则应有0?ne?1，?n?N。但这不可能成立。矛盾。证毕。 n?n?1。题3. 设函数un(x)在区间I?[a,b]上连续，设级数

???un?1???n(x)在(a,b)上处处收敛，

但两级数

?un?1n上非一致收(a)和?un(b)中至少有一个发散。证明级数?un(x)在(a,b）n?1n?1敛。（注：这课本质上是课本习题第6章总复习题4，第291-292页。回忆课本习题2.1题

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6作比较。做比较后可看出，函数项级数与含参数的广义积分有许多相似概念和结论。） 证明：为确定起见。设假设

?un?1??n上一(b)发散。我们来证明级数?un(x)不可能在(a,b）n?1??致收敛。反证。假设

?un?1??n上一致收敛。则根据Cauchy一致收敛准则知，对(x)在(a,b）???0，?N?N??0，使得

n?pk?n?1?uk(x)??，?n?N，?p?1，?x?(a,b)。

?于上式中，令x?b，并利用函数un(x)在区间I?[a,b]上的连续性知

n?pk?n?1?uk(b)??，?n?N，?p?1。这表明级数?un(b)收敛。矛盾。证毕。

n?1??

三.幂级数的收敛半径 题1. 设幂级数?11(x?a)n在点x1??2条件收敛,则该幂级数在点x2?的收

2n?0ln(n?2)?敛情况是(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)不能确定。

解：案答为（C）。理由：首先不难确定题目中的两个幂级数的收敛半径均为1.由假设幂级数?1(x?a)n在点x1??2条件收敛，可知点x1??2位于它的收敛区间的端点，

n?0ln(n?2)?即 |?2?a|?1。于是|1/2?a|?|?2?a?5/2|?5/2?|2?a|?3/2?1。因此幂级数

?n?0(n?2)?12(x?a)n在点x2?1处发散。解答完毕。 2(x?a)n题2.级数?在x?2收敛，试讨论实参数a的取值范围。

nn?1?解: 显然幂级数的收敛半径R?1，且收敛域为 a?1?x?a?1。

由于级数在x?2收敛，则有 a?1?2?a?1，因此应有1?a?3。解答完毕。 题3. 假设级数

???an?1n(x?1)在x??1处条件收敛，判断级数?an的收敛性：

nn?1（A） 绝对收敛，（B）条件收敛 ，（C）发散 ，（D）不定。

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解:答案为[A]，即级数绝对收敛。理由如下：由假设级数

?an?1?n在x??1处条件收(x?1)n敛可知，x??1位于收敛区间的端点。因此幂级数的收敛半径为2，其收敛区间为

(?1, 3)?(1?2, 1?2)。点x?2位于收敛开区间的内部。因此幂级数在点x?2绝对收敛，

此即级数

?an?1?n绝对收敛。解答完毕。

??题4.记幂级数

?n?1(an?1)x的收敛半径为r，并假设幂级数

n?n?1anxn的收敛半径为1，问

以下哪个结论正确？(A)r?1；(B)r?1；(C)r?1。 解：结论(C)正确。 我们来证明r?1。因为幂级数

??ax和?xnnn?1n?1??n的收敛半径均为1.根

据幂级数的四则运算可知，它们的和

?n?1(an?1)xn的收敛半径至少是1，即r?1。半径大

11an??1，an?1?，于1是可能的。 例：则

n!n!?axnn?1?n的收敛半径为1，而

??(an?1?n?1)xn的收敛半径r???。另一个极端例子: 取 an??1，则解答完毕。

?(an?1n?1)xn的收敛半径r???。

anxn题5. 已知?anx的收敛域为[?8, 8]，则?的收敛半径r为

n?1n?2n(n?1)??n??（A）r?8. （B）r?8. （C）r?8. （D）不确定.

解：答案为[C]。这是因为 limn???n|an|?limn???n|an/n(n?1)|。

另解：也可以根据定理（幂级数的收敛半径关于求导和求积分具有不变性）来证明。记

??anxnanxnn2，则?anx?xS''(x)。由定理知幂级数S(x)??和S''(x)S(x)??n(n?1)n(n?1)n?1n?2n?2?从而和

?axnn?1?n?x2S''(x)的收敛半径相同。解答完毕。

四．逐项求导与求积分，级数求和 题1.证明Riemann-Zeta函数?(x)??nn?1??1x在区间I?(1,??)连续，并且具有各阶连续的导

数。(课本第6章总复习题7，第293页)

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