高三数学数列的概念与简单表示法2

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第1页共4页教案2 数列的概念与简单表示法（2）

一、课前检测

1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ，求通项n a ．

解：1）当n=1时，4S a 11==；

2）当2n ≥时，1)]-3(n 1)-[(n -3n][n S -S a 221-n n n ++==

=22n 31-2n 1)]-3(n -[3n ]1)-(n -[n 22+=+=+

4a 1=适合22n a n +=

所以，通项)N 2(n 2n a n *∈+=

2.数列2、5、22、…，则25是该数列的( B )

A ．第6项

B ．第7项

C ．第10项

D ．第11

项

解析：原数列可写成2、5、8，….

∵25＝20，∴20＝2＋(n －1)×3，∴n ＝7.

二、知识梳理

1．数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

解读：

2．求数列的通项公式的方法（未完，待续）

方法3——归纳、猜想、证明法：有的数列求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。

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方法4——递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

解读：

3．数列与函数的关系：

研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.

1）判定数列{a n }的单调性考查的是a n ＋1与a n 的大小关系.

2）待定系数法：

解读：1）比差法或比商法。

2）使用待定系数法的一般步骤是：①确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；3）解方程（组），使问题得到解决。

三、典型例题分析

题型1 归纳（从特殊到一般）、猜想、证明的思想方法——科学研究的思维方法

例1 已知数列{}a n 中()a a a a n N n n n 1111==

+∈+且求数列的通项公式。解法1：由a a a n n n +=+11得a a a 234121314===，，…… 猜想：a n n =1 再由数学归纳法进行证明：

①n a ==111时等式成立

第1页共4页 ②假设n k =时等式成立，即a k k =

1 那么n k a a a k k

k k k k =+==+=+++11111111 即n k =+1时等式也成立

综合①②对任意n N ∈都有a n n =1成立。

解法2：∵a a a n n n ++=

11 ∴11111a a a a n n n n +=+=+ {}()设则∴是以为首项，为公差的等差数列则∴b a b b b b a b n n

a b n

n n

n n n n n n ==+=

==+-===+111111111111 变式训练1 已知数列{n a }中1a =1，n n a n n a 11+=+(1)写出数列的前5项；

(2)猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明你的猜想。答案：（1）略；（2）n 1a n =，证明略。

小结与拓展：有的数列用一般方法不易求出通项公式，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。“归纳——猜想——证明”的思想方法是通过观察、尝试、探索规律，从而对命题的结论予以猜测，然后再用数学归纳法证明。归纳猜想是探

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索发现真理的重要手段。题型2 周期数列

例2 数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ＝1,2，…)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则求A 2019。

解：可求出a 1＝3，a 2＝23，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝23，a 6＝－1

，…，数

列{a n }每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2019＝668×3＋1且a 1×a 2×a 3＝－1，则

A 2019＝(a 1×a 2×a 3)…(a 2019×a 2019×a 2019)×a 2019 ＝(a 1×a 2×a 3)668a 1＝3.

变式训练1 在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 1000＝( D )

A ．5

B ．－5

C ．1

D ．－1 解：由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a 1000＝－1. 小结与拓展：1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）。

题型3 数列与函数、方程的融合——单调性等例3 已知函数)(x f ＝2x －2－x ，数列{a n }满足)(log 2

n a f ＝－2n ，求数列

{a n }通项公式．解：n

a f n a n a n 222)(log

2log 2log 2

-=-=-n a a n

n 21

-=-

得n

n a

-+=12变式训练3 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝na

(n ＋1)b ，其中a 、b 均