2012届江苏无锡市江阴重点高中高三数学文模拟试题

2012届江阴市重点高中高考数学模拟试题

数学Ⅰ（必做部分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上.．．

1.z 2 mi,m R,若

1 z

对应点在第二象限,则m的取值范围为 ． 1 i

2

2.已知全集U R，集合A x Z x 5x 0，B xx 4 0则(CUA) B中最

大的元素是 ．

3．已知m (cos x,sin x)( 0),n (1,，若函数f(x) m n的最小正周期是2,

则

f(1) ．

4.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: ． i 1 x 4

While i<10 x x 2i i i 3 End While

Print “x ”x

5．已知函数f(x) 1 2x tanx，x (0,

2

)，则f(x)的单调减区间是．

6．在数轴上区间 3,6 内，任取三个点A,B,C，则它们的坐标满足不等式：

(xA xB)(xB xC) 0的概率为．

7．P为抛物线y2 4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为： ．

焦点F(1,0)PM PQ=PM PF 1,而PM PF的最小值是MF 所以答案为

1

, 是两个不同的平面，8、设m,n是两条不同的直线，有下列正确命题的序号是．

(1)若m∥ ,n∥ ,则m∥n， (2)若m ,m n则n//

(3)若m ，n 且m n，则 ；(4)若m ， // ，则m//

x

9. 定义在R上f(x)满足:f(x 2) f(x) 1，当x (0,2)时，f(x)=()，则

1

2

f(201 x y 2 0

10.过平面区域 y 2 0内一点P作圆O:x2 y2 1的两条切线，切点分别为A,B，

x y 2 0

记 APB ，则当 最小时cos ．

11.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为

1

(n 2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：n

111111111

, , ，则第n(n 3)行第3个数字是 ．

1222363412

12. 已知正方形ABCD的坐标分别是( 1,0),(0,1),(1,0)，(0, 1)，动点M满足：

1

kMB kMD 则MA MC

21a

13. “a ”是“对 正实数x，2x c”的充要条件，则实数c

8x

14.函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在 a,b D,使

f(x)在 a,b 上的值域为 b, a ,那么y f(x)叫做对称函数,现有f(x) k

是对称函数, 那么k的取值范围

是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

→

15．已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R，都有f (－x) = f (2＋x)成立，设向量a= ( sinx , 2 ) ，

1→→→

b= (2sinx , )，c= ( cos2x , 1 )，d=(1,2)，

2（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；

→→→→

（Ⅱ）当x∈[0,π]时，求不等式f (a·b)＞f (c·d)的解集.

16．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE EB,AD//EF，EF//BC，

BC 2AD 4，EF 3，AE BE 2，G是BC的中点．

(Ⅰ) 求证：AB//平面DEG； (Ⅱ) 求证：BD EG；

(Ⅲ)求多面体ADBEG的体积.

AD

F

BGC

x2

y2 1的两焦点为F1,F2，P为动点，若PF1 PF2 4． 17．已知双曲线2

（Ⅰ）求动点P的轨迹E方程； （Ⅱ）若A,0)，设直线l过点M，且与轨迹E交于R、Q两点，直1( 2,0),A2(2,0),M(1线A1R与A2Q交于点S．试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，

请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

18．如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天 花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆 环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为OB上一点（不包含端点O、B）， 同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3 的长度相等。设细绳的总长为y

（1）设∠CA1O = (rad)，将y表示成θ的函数关系式；

（2）请你设计 ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并

指明此时 BC应为多长。

19．已知，数列an

A2

有a

1

a,a2 p（常数p 0），对任意的正整数

n(an a1)

。 2

n,Sn a1 a2 an，并有Sn满足Sn

（1）求a的值；（2）试确定数列an是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）令pn

Sn 2Sn 1

，是否存在正整数M，使不等式

Sn 1Sn 2

p1 p2 pn 2n M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。

20．(本小题满分16分)

函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点(1,1)为函数f(x)的驻点，则称f(x)具有“1—1驻

点性”.

（1）设函数f(x)=-x+2x+alnx，其中a≠0。

①求证：函数f(x)不具有“1—1驻点性”；②求函数f(x)的单调区间

（2）已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1—1驻点性”，给定x1，x2 R，x1＜x2，设λ为实数，

x+λxx+λx且λ≠-1，α=β若|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，求λ的取值范围.

1+λ1+λ

数学Ⅱ（附加题）

一. [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题．．．．．．．．卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．

12 1．（矩阵与变换）求矩阵M= 的特征值及其对应的特征向量.

21

x 3cos

xoy2. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为 ，

y sin

其中 为参数.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

2 cos(

3

) 36.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.

二．[必做题] 每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．

3. 如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA，AB⊥AC，1 AB AC 1M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足A1 A1B1. （Ⅰ）当 取何值时，直线PN与平面ABC所成的角 最大？

（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，试确定点P的位置.

4. 已知数列 an 满足：a1 3,an 3

*

an 1

B1

C1

M C

(n 2).

N

（Ⅰ）求证： n N, mn N,使an 4mn 3； （Ⅱ）求a2010的末位数字.

数学Ⅰ（必做部分）参考答案

1.( 1,1) 2. 3 3.－1 4. 28 5.(

,) 42

6.(xA xB)(xB xC) 0的实质是点B在点A,C之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为

1 3

7. 焦点F(1,0)PM PQ=PM PF 1,而PM PF的最小值是MF 所以答案1

8. (3) (4) 9.2

10当P离圆O最远时 最小，此时点P坐标为： 4, 2 记 APO ，则

cos 1 2s2i n，计算得cos =

92

11. ， 10n (n 1) (n 2)

1 ， 整理，2k12.设点M的坐标为(x,y)，∵kMB MD

（x 0），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为A,C两点，所以

MA MC c2c21

13. 若c 0,则a 0,不符合题意，若c 0,则a ,于是 c 1，亦可转化为

888

二次函数a 2x cx恒成立展开讨论。

14.由于f(x)k在 ,2 上是减函数，所以2

k ak b

关于x的方程

9

k x在 ,2 上有两个不同实根。通过换元结合图象可得k 2,

4

(－x)＋(2＋x)

15．解；（1）设f(x)图象上的两点为A(－x,y1）、B(2＋x, y2），因为

2 f (－x) = f (2＋x)，所以y1= y2

由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称， ∴x≥1时，f(x)是增函数 ；x≤1时，f(x)是减函数。

1→→

（2）∵a·b=（sinx，2）·（2sinx, =2sin2x＋1≥1，

2

→→c·d=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，

→→→→∵f(x)在是[1，+∞）上为增函数，∴f (a·b)＞f (c·d) f(2sin2x＋1)＞ f(cos2x＋2)

2sin2x＋1＞cos2x＋2 1－cos2x＋1＞cos2x＋2

3

,k∈z cos2x＜0 2kπ＋＜2x＜2kπ＋22

3 3

, k∈z ∵0≤x≤π ∴＜x＜ kπ＋＜x＜kπ＋4444

3 →→→→

综上所述，不等式f (a·b)＞f (c·d)的解集是：{ x|＜x＜ } 。

44

16．解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC，∴AD//BC.

又∵BC 2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG，

∴四边形ADGB是平行四边形，∴ AB//DG.

∵AB 平面DEG，DG 平面DEG，∴AB//平面DEG. (Ⅱ)证明：∵EF 平面AEB，AE 平面AEB，∴EF AE，

又AE EB,EB EF E，EB,EF 平面BCFE，∴AE 平面BCFE. 过D作DH//AE交EF于H，则DH 平面BCFE. ∵EG 平面BCFE， ∴DH EG.

∵AD//EF,DH//AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH AD 2，

,EH ∴EH BG 2，又EH//BG

∴BH EG，

B，E∴四边形BGHE为正方形，

又BH DH H,BH 平面BHD，DH 平面BHD,∴EG⊥平面BHD. ∵BD 平面BHD, ∴BD EG.

(Ⅲ) ∵EF 平面AEB，AD//EF，∴EF 平面AEB，

由（2）知四边形BGHE为正方形，∴BE BC.

∴VADBEG VD AEB VD BEC

17．解法一：

（Ⅰ）由题意知：F1 PF2 4，∴动点P(x,y)必在以1(F，又∵PF

11448

S ABE AD S BCE AE ， 33333

F1,F2为焦点，

长轴长为4的椭圆，∴a 2，又∵c b2 a2 c2 1．

x2

∴椭圆C的方程为2 y2 1．

4

（Ⅱ）由题意，可设直线l为：x my 1．

y AR① 取m 0,得R ，直线的方程是,Q1,1

交点为S1. 直线A2Q的方程是y 若R ，由对称性可知交点为S24,. 1,,Q

若点S在同一条直线上，则直线只能为 :x 4．

②以下证明对于任意的m,直线A1R与直线A2Q的交点S均在直线 :x 4上．

x22

y 12

事实上，由 4，得 my 1 4y2 4,即m2 4y2 2my 3 0，

x my 1

2m 3

记R x1,y1 ,Q x2,y2 ，则y1 y2 2． ,y1y2 2

m 4m 4yy16y1

,得y0 . 设A1R与 交于点S0(4,y0),由0

4 2x1 2x1 2

设A2Q与 交于点S0 (4,y0 ),由

y0 y0

2y2y0 y2

. ,得y0

x2 24 2x2 2

6y12y2

x1 2x2 2

6y1 my2 1 2y2 my1 3

x1 2x2 2

4my1y2 6 y1 y2

x1 2x2 2

12m 12m

2

2

0， x1 2x2 2∴y0 y0 ，即S0与S0 重合，

这说明，当m变化时，点S恒在定直线 :x 4上．

解法二：

（Ⅰ）同解法一．

直线A2Q的A1R的方程是y （Ⅱ）取m 0,得R ，直线,Q1,

交点为S1. 方程是y 11 83

取m 1,得R , ,Q 0, 1 ，直线A1R的方程是y x ,直线A2Q的方程是

63 55

1

y x 1,交点为S2 4,1 .∴若交点S在同一条直线上，则直线只能为 :x 4．

2

以下证明对于任意的m,直线A1R与直线A2Q的交点S均在直线 :x 4上．

x22

y 12

事实上，由 4，得 my 1 4y2 4,即m2 4y2 2my 3 0，

x my 1

2m 3

记R x1,y1 ,Q x2,y2 ，则y1 y2 2． ,y1y2 2

m 4m 4

y1y

A1R的方程是y x 2 ,A2Q的方程是y 2 x 2 ,

x1 2x2 2yy2

消去y,得1 x 2 x 2 …………………………………… ①

x1 2x2 2

以下用分析法证明x 4时，①式恒成立。

6y12y2

, 要证明①式恒成立，只需证明

x1 2x2 2

即证3y1 my2 1 y2 my1 3 ,即证2my1y2 3 y1 y2 .……………… ②

6m 6m

0,∴②式恒成立． 22

m 4m 4

这说明，当m变化时，点S恒在定直线 :x 4上．

x22

y 122

解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由 4，得 my 1 4y 即4,

x my 1

∵2my1y2 3 y1 y2

m

2

4 y2 2my 3 0．

记R x1,y1 ,Q x2,y2 ，则y1 y2

2m 3

． ,yy 12

m2 4m2 4

A1R的方程是y

y1y

x 2 ,A2Q的方程是y 2 x 2 , x1 2x2 2

y1

y x 2 , x1 2yy2 由 得1 x 2 x 2 ,

x 2x 212 y y2 x 2 ,

x2 2 即

y x 2 y1 x2 2 y my1 3 y1 my2 1 2my1y2 3y2 y1

2 x 2 21 2 2

3y2 y1y2x1 2 y1x2 2y2my1 3 y1my2 12m 2

3 2m

3 y y112

m2 4m 4 4 ． 2m 3 2 y1 y1

m 4

这说明，当m变化时，点S恒在定直线 :x 4上．

18. （Ⅰ）解：在Rt△COA1中，

CA1

2

，CO 2tan ， ………2分 cos

2

y 3CA1 CB 3 2 2tan =

cos

2(3 sin )

2（0 ）……7分

cos 4

A2

cos2 (3 sin )( sin )3sin 1

2（Ⅱ）y 2， 22

cos cos

/

1

………………12分 3

11

当sin 时，y 0；sin 时，y 0，

33

令y 0，则sin ∵y sin 在[0,

4

上是增函数

∴当角 满足sin 分

12

时，y最小，最小为42 2；此时BC 2 m …1632

19解：（1）由已知，得s1 （2）由a1 0得Sn

1 (a a)

a1 a， ∴a 0 2

nan(n 1)an 1

,则Sn 1 ， 22

∴2(Sn 1 Sn) (n 1)an 1 nan，即2an 1 (n 1)an 1 nan，

于是有(n 1)an 1 nan，并且有nan 2 (n 1)an 1，

∴nan 2 (n 1)an 1 (n 1)an 1 nan,即n(an 2 an 1) n(an 1 an)， 而n是正整数，则对任意n N都有an 2 an 1 an 1 an， ∴数列 an 是等差数列，其通项公式是an (n 1)p。

(n 2)(n 1)p(n 1)np

n(n 1)p22 （3）∵Sn pn 2

2nn 222

222222

) 2n ∴p1 p2 p3 pn 2n (2 ) (2 ) (2

1324nn 2

22

； 2 1

n 1n 2

由n是正整数可得p1 p2 pn 2n 3，故存在最小的正整数M=3，使不等式

p1 p2 pn 2n M恒成立。

20．解：（Ⅰ）①f (x)=-1+

1a

∵f (1)=-1+1+a≠0， xx

∴函数f(x)不具有“1—1驻点性”.…………………………………………2分 11-(x-2+a+

24x+a

②由f (x)=

xx

11

(ⅰ)当a+＜0,即a＜-时，f (x)＜0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数；

44(ⅱ)当

a+

1

=0,即4

a=-1

时，显然f (x)≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函4

1

时，由4

12

数；………………………………4分

1

(ⅲ)当a+＞0，即

4a＞-

f (x)=0

得x=

a+…………………………………………6分 411当-＜a＜0时，-421x ( a+-2

11a+＞0∴x (0, a+-42

1

a+时，f (x)＜0; 4

1

a+, +∞)时，f (x)＜0; 4

a+,+∞)时，4

11a+, a+4211

a+)时，f (x)＞0; x ( a+42

1

当a＞0时，-21a+＜0 ∴x (0, a+421

a+)时，f (x)＞0; x ( a+42

f (x)＜0;

1

综上所述：当a≤-时，函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)；

4

11当-＜a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为(0, a+-42

1函数f(x)的单调递增区间为( a+-2

1a+42

1

a+和( a+42a+； 4

a+,+∞)， 4

1

当a＞0时,函数f(x)的单调递增区间为(0, a+2

函

数

f(x)

的

单

调

递

减

区

a+)， 4间

为

(

a+

12

+

a+4

,

+∞)；…………………………………………9分

（Ⅱ）由题设得：g (x)=3bx2+6x+c,∵g(x)具有“1—1驻点性”∴g(1) 1且g (1) 0

b+3+c+2=1 b=-1即 解得 ∴g (x)=-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0，故g(x)在定义域R上单调递减. 3b+6+c=0 c=-3

①当λ≥0时，有α=

x+λxx+λxx+λxx+λx≥=x1，α=＜=x2，即α [x1,x2),同理1+λ1+λ1+λ1+λ

β (x1,x2] ………11分

由g(x)的单调性可知：g(α)，g(β) [ g(x2),g(x1)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x1)-g(x2)|与题设|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|不符.

x+λxx+λxx+λxx+λx②当-1＜λ＜0时，α=＜=x1，β=＞

1+λ1+λ1+λ1+λ=x2……………………………………13分

即α＜x1＜x2＜β∴g(β)＜g(x2)＜g(x1)＜g(α)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，符合题设

x+λxx+λxx+λxx+λx③当λ＜-1时，α=＞=x2, β=＜1，即β＜x1＜x2＜α

1+λ1+λ1+λ1+λ∴g(α)＜g(x2)＜g(x1)＜g(β)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|也符合题

设……… ……………………15分

由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠-1…… ……………………………………16分

数学Ⅱ（附加题）参考答案

1．解：矩阵M的特征多项式为f( )

1

2 2

( 1)( 1) 4= 2 2 3. 令f( ) 0,得矩阵M的特征值为－1和3 .

当 1时，联立

-2x 2y 0

,解得x y 0

2x 2y 0

1

所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为 .

1

当 3时，联立

2x 2y 0

,解得x y

2x 2y 0

所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为 .

2．解：直线l的普通方程为：x y 3 0，设椭圆C上的点到直线l距离为d.

1 1

sin( ) 6

|cos sin 3| d

22

∴当sin( ) 1时，dmax 26，当sin( ) 1时，dmin .

44

3．解：（1）以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A xyz，则

11

( ,, 1)，

22

平

面

ABC

的

一

个

法

向

量

为

n (0,0,1)

则

sin cos PN,n

11 5

2 4

2

（*）

于是问题转化为二次函数求最值，而 [0,时，

2

],当 最大时，sin 最大，所以当

1

2

(sin )max

25

. 5

（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，即可得到平面ABC的一个法向量为

1

n AA1 (0,0,1)，设平面PMN的一个法向量为m (x,y,z)，MP ( , 1,).

2

2 111

y x( )x y z 0 0 322

由 得 ，解得 .

1 z 2(1 )x m MP 0 x y z 0

23

令x 3,得m (3,2 1,2(1 ))这样m和n就表示出来了，于是由

2(1 )9 (2 1) 4(1 )

2

2

cos m,n

2

2

，解得

,故点P在B1A1的延长线上，且A1P

4．解：⑴当n 1时，a1 3.

假设当n k时，ak 4mk 3,mk N

121. 2

a4m 34m 3

则当n k 1时，ak 1 3k 3k (4 1)k

4mk 30

C4 ( 1)0 mk 344mk 30C4)4mk 3 mk 34 ( 1

4mk 21

C4 ( 1)1 mk 34

…

4mk 21

C4)4mk 2 mk 34 ( 1

4T 1 4(T 1) 3

4m 24m 14m 24m 20011*

其中T C4mk 34k ( 1) C4mk 34k ( 1) … C4mkk 3 ( 1)k N.

所以 mk 1 T 1 N,使 ak 1 4mk 1 3所以当n k+1时，结论也成立, 所以 n N*, mn N,使an 4mn 3； （2）an 1 3

an

34mn 3 (81)mn 27，故a2010的末位数字是7.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uqmm.html