函数与极限资料二：极限的四则运算

函数与极限资料二 2011-10-21

分类讨论求极限

例 已知数列?an?、?bn?都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p?q，且p?1，q?1，设cn?an?bn，Sn为数列?Cn?的前n项和，求limSn.

n??S?1na1pn?1b1qn?1解： Sn? ?p?1q?1????Sna1?q?1?pn?1?b1?p?1?qn?1. ?n?1n?1Sn?1a1?q?1?p?1?b1?p?1?q?1????????分两种情况讨论； （1）当p?1时，∵ p?q?0，故0?q?1， p∴limSn n??Sn?1???qn?1?1???n?p?a1?q?1???1?pn???b1?p?1???pn?pn??????????? lim?n?1?????q?1?1??pn?1?a1?q?1????????1??bp?1?n?1n?1???pn?1?1?p???????p????p?a1?q?1??1?0??b1?p?1??0 a1?q?1??1?0??b1?p?1??0a1?q?1??p a1?q?1??p?（2）当p?1时，∵ 0?q?p?1， ∴ limSn

n??Sn?1a1?q?1?pn?1?b1?p?1?qn?1 ?limn??a?q?1?pn?1?1?b?p?1?qn?1?111????????? 1 / 13

a1?q?1???0?1??b1?p?1???0?1? a1?q?1??0?1??b1?p?1??0?1?函数与极限资料二

??a1?q?1??b1?p?1??1. ?a1?q?1??b1?p?1? 2011-10-21

说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．

自变量趋向无穷时函数的极限

例 求下列极限：

x4?5x2?1（1）lim x??1?x2?2x4?x3x2??（2）lim? ??x???2x2?12x?1??分析：第（1）题中，当x?? 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂，再应用极限的运算法则． ?”型，变形?x3x2第（2）题中，当x??时，分式2与都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”2x?12x?1型，变形的一般方法是先通分，变成“?0”型或“”型，再求极限． 0?511??x4?5x2?1x2x4 解：（1）lim?limx??1?x2?2x4x??11??242xx51lim1?lim2?lim41?0?01x??x??xx??x????. 112lim4?lim2?lim20?0?2x??xx??xx???x3x2?x3(2x?1)?x2(2x2?1)?（2）lim? ??lim2?x???2x2?1x??2x?1?(2x?1)(2x?1)??limx?x ?limx??(2x2?1)(2x?1)x??11(2?2)(2?)xx1lim(1?)1?01x??x???

11lim(2?2)lim(2?)(2?0)(2?0)4x??xx??x321?1x 2 / 13

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?说明：“”型的式子求极限类似于数列极限的求法．

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无穷减无穷型极限求解

例 求极限：

（1）lim(1?x?x?1?x?x)

x???22（2）lim(1?x?x?1?x?x)

x???22分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限． 解：（1）原式?lim2x1?x?x?1?x?x 22x??? ?lim?2x21?x?x?1?x?x22x????lim?211??1?x2x11??1x2xx?????1. （2）原式?lim2x1?x?x?1?x?x2?1. 22x??? ?limx???11??1?x2x明：当11??1x2xx?0说时，x?x2?2． ，因此

2x1?x?x?1?x?x22?211??1?x2x11??1x2x利用运算法则求极限

例 计算下列极限： （1）lim?473n?2??1??????； 222n??n2?1n?1n?1n?1???111n?11?. ??????1?n?n??39273?? （2）lim?? 3 / 13

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1n?3n?1?2 解： （1）原式?lim n??n2?113?3n2?nn?3. ?lim?limn??2?n2?1?n??22?22n1??1??1????3???3??1?1?????3?nn （2）原式?limn?????? 1??1??lim?1????n??4???3??11???1?0?. ?4??4 说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式?lim （2）原式 143n?2?lim???lim n??n2?1n??n2?1n??n2?111111111n?113 ?lim?lim?lim???lim??1???????0??nn??3n??9n??27n??133927??41?????3?用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限 p?1?1??1???n?*例 设p?N，求limn??1n?1． ?1?分析：把?1???n?p?1用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．

?1?解：??1???n?p?1?1?C1p?11122p?11p?1 ?Cp()???C?1p?1()nnn 4 / 13

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?1??1??n???1np?1 2011-10-21

?112123p?11p?C1?C?()C???Cp?1p?1p?1p?1()

nnn?1??1??n??lim?n??1np?1?1?C1p?1?p?1

或：逆用等比数列求和公式： p??1??1?2?1??原式?lim?1??1????1??????1??? n???n?????n??n???1??1???1?p?1 ????p?1个?1?说明：要注意p是与n无关的正整数，?1???n?p?1不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等． 零乘无穷型转化为无穷除无穷型 例 求lim(n?1?n)n. n??分析：当n??时，所求极限相当于0??型，需要设法化为我们熟悉的解： lim(n?1?n)n n???型． ??lim?lim(n?1?n)(n?1?n)nn??(n?1?n) nn??n?1?n11?lim?.n??211??1n 说明：对于这种含有根号的0??型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为

?n，即为型，也可以将分子、分母同除以n

?n?1?n 5 / 13

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