2015高考数学二轮复习学案：专题8 解析几何 - 图文

专题8 解析几何

一、填空题

例题1. 设圆C：x2?y2?4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A,B，则AB的最小值为 ．

答：4提示：方法一 取特殊的直线AB：横截距与纵截距相等。方法二不妨设切点P（第一象限），?POA??,则?POB??2??,故AP?2tan?，BP?21tan?2故AB=AP+BP?4

2例题2. 过直线 l:y?3x上一点P作圆C:?x?3???y?1??2 的两条切线，若两切线关于

则点 P 到圆心 C 的距离为 ． 直线 l 对称，答：10提示：由圆的平面几何知识可得CP?l

例题3. 已知⊙A：x?y?1，⊙B: (x?3)?(y?4)?4，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若PE?PD，则P到坐标原点距离的最小值为 ．答：

222211 511 5提示：利用切线长公式求出点P的轨迹为直线3x?4y?11?0，故P到坐标原点距离的最小值为

x2y21例题4. 已知F是椭圆C:2?2?1 (a?b?0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆x2?y2?b2相

ab4切于点Q，且PQ?QF，则椭圆C的离心率为 ． 答：??5222提示：设左焦点E，连接PE，由圆的切线可得OQ?PF，而OQ∥PF，故PE?PF,?b?(2a?b)?4c，35。 3?e?x2y2a222（备用题）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点F(?c,0)(c?0)，作圆：x?y?的切线，切点为E，

ab4延长FE交双曲线右支于点P，若OE?1(OF?OP)，则双曲线的离心率为 ． 2e?10 2x2y2??1的左，右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1，若?ABF2的内切圆的周长为?,A,B两点的例题5. 椭圆

2516坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y2?y1|= .

答：

511提示：利用S?BAF2?r(BA?BF2?AF2)?F2F1y2?y1 3221 则2例题6. 已知正方形ABCD的坐标分别是(?1,0),(0,1),(1,0)，动点M满足：kMB?kMD??(0,?1)，

MA?MC? ．

答：设点M的坐标为(x,y)，∵kMB?kMD22提示：

x21y?1y?11∴ 整理，得（x?0），?y2?1??，???．22xx2发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为A,C两点，所以MA?MC?22 （备用）如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与点F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况）椭

圆

xx2y2例题7. 椭圆?和双曲线?y2?1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点, 则?PF1F2的面积?1362为 答：2提示：先利用定义求PF1，PF2，再用余弦定理求得 cosP?21最后用面积公式

，322例题8. 设椭圆C:x2?y2?1(a?b?0)的上顶点为A，椭圆C上两点P,Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦

ab点F2，直线PQ的斜率为

3，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，?AF1B的外接圆为圆M． 若直线213x?4y?a2?0与圆M相交于E,F两点，且ME?MF?? 1a2，则椭圆方程为

42答：

?x2y2b2提示：由条件可知P???1??c,?a1612?31?b2? 因为k?，所以得：。 e??，Q???PQ??c,a?22???a?2c,b?3c，所以，A0,3c,F1??c,0?,B?3c,0?，从而M?c,0?。

a1半径为a，因为ME?MF?? a2，所以?EMF?120?，可得：M到直线距离为

2222从而，求出c?2，所以椭圆方程为：x?y?1；

??1612x2y2例题9. 以椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F(?c,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则

ab该椭圆的离心率的取值范围是 ．

b2?c 答：(,1)提示：焦准距

2c

2

2y2PF22x例题10. 已知F1,F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，abPF1则双曲线的离心率的取值范围为 .

2PF2?PF1+a?答：(1,3]提示：2=?PF1?4a?8a，故PF1?2a?c?a

PF1PF1PF12x2y2例题11. 已知双曲线??1（?为锐角）的右焦点F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF为半22cos?sin?径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于PF，则?= 答：

?提示：先利用双曲线的第二定义求出离心率，在求? 6x2y2（备用题）已知椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两

ab点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若?PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于 答：3提示：利用FM?33PF可得

x2y2例题12. 设椭圆C:2?2?1(a?b?0)恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值

ab答：5?2提示：令a?m,b?n，消元可得：椭圆的中心到准线的距离=f(m)，再求之

22x2y2例题13.如果P为椭圆??1的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A,B两点，若Q在直线l上,且满足

259|AP||QB|?|AQ||PB|，则点Q总在定直线 上．

答：x??2525提示：取特殊的左准线，并取特殊点（-,0）验证之

44x2y2y22例题14. 已知椭圆 C1:2?2?1（a?b?0）与双曲线 C2:x??1有公共的焦点，C2的一条渐近线

ab4与以C1 的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1 恰好将线段AB三等分，则b2=__________________.

答：

1 提示：直线AB为y?2x代入椭圆求弦长MN=a，再用a2?b2?5可得122b?32（备用）例题15下图展示了一个由区间（0，k）（其k为一正实数)到实数集R上的映射过程：区间（0，k）

中的实数m对应线段AB上的点M，如图1;将线段AB围成一个离心率为3的椭圆，使两端点A、B恰好重合2于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在X轴上，已知此时点A的坐标为（0，1)，如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆

弧ADM的长度.图3中直线AM与直线y= ?2交于点N(n,—2)，则与实数m对应的实数就是n，记作f(m)=n,

现给出下列命题：①.称；⑤f(m)=

；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④.的图象关于点(，0)对

时AM过椭圆右焦点.

其中所有的真命题是_______ (写出所有真命题的序号）③、④、⑤

二、解答题

例15．平面直角坐标系xoy中，直线x?y?1?0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6

（1）求圆O的方程；

（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；

（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于ｘ轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于ｘ轴于点 （ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

1解：⑴因为O点到直线x?y?1?0的距离为， ………………………2分

2 所以圆O的半径为(12)2?(62)?2， 2故圆O的方程为x2?y2?2． ………………4分

xy⑵设直线的方程为??1(a?0,b?0)，即bx?ay?ab?0，

abab111由直线与圆O相切，得?2，即2?2?， ……………6分

ab2a2?b211?2)≥8， 2ab当且仅当a?b?2时取等号，此时直线的方程为x?y?2?0．………10分 DE2?a2?b2?2(a2?b2)(⑶设M(x1,y1)，P(x2,y2)，则N(x1,?y1)，x12?y12?2，x22?y22?2，

xy?x2y1xy?x2y1,0)，m?12直线MP与x轴交点(12，

y2?y1y2?y1xy?x2y1xy?x2y1,0)，n?12直线NP与x轴交点(12， …………………14分

y2?y1y2?y1x1y2?x2y1x1y2?x2y1x12y22?x22y12(2?y12)y22?(2?y22)y12mn????2，

y2?y1y2?y1y22?y12y22?y12故mn为定值2． …………………16分

例16．（本题满分16分）已知圆O：x?y?1，点P在直线l:2x?y?3?0上，过点P作圆O的两条切线，A,B为两切点，

(1) 求切线长PA的最小值，并求此时点P的坐标；

(2) 点M为直线y?x与直线的交点，若在平面内存在定点N(不同于点M)，满足：对于圆 O上任意一点Q，

都有

22QN为一常数，求所有满足条件的点N的坐标。 QM2222222（3）求PA?PB的最小值；

解：（1）设点P(x0,y0)PA?PO?1?x0?y0?1?x0?(2x0?3)?1?5x0?12x0?8 =5(x0?)2?6524663，故当x0?，即P(,)时，PAmin? 55555（2）由题：??2x?y?3?022，M(1,1)设N(a,b)，Q(x1,y1)，满足x1?y1?1

?y?xQN2(x1?a)2?(y1?b)2则???(??0) QM2(x1?1)2?(y1?1)2整理得：2(a??)x1?2(b??)y1?(a?b?1?3?)?0，对任意的点Q都成立，可得

221????2?a???0???1?111???a?a?1解得 ，或（舍）即点N(,)满足题意。 b???0???222??b?1?(a2?b2?1)?3???1??b?2?2(PO2?1)（3）PA?PB?PA?cos?APB?PA(2cos?APO?1)?(PO?1)(?1)

PO22222=PO2?3292292?,，令,而在PO??3t?PO?[,??)(t?)?1?t?[,??)上恒大于0，故22PO5tt55t?2910414463???3???1??所以(PA?PB)min??，当P(,)时取得 t5959454555x2y2例17．如图，正方形ABCD内接于椭圆2?2?1(a?b?0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的

ab顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限．

（I）若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2． ①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；

②求椭圆的标准方程．

（II）设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2?k是定值．

解：（Ⅰ）①依题意：A(2,2)，M(4,1)，E(0,?2)?AM?(2,?1),AE?(?2,?4) ?AM?AE?0?AM?AE

3分 5分

AE为Rt?ABE外接圆直径?直线AM与?ABE的外接圆相切；

?42?42?1x2y2?ab ②由?解得椭圆标准方程为??1．

205?16?1?1?a2b2 （Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，

10分

x2y2 则A(s,s)，M(s?2t,t)，代入椭圆方程2?2?1得

ab?? ???

1s?ts2s2??2?2?12s2(s?3t)b25t?s?aab2 ?e?1?2???224ta4t(s?2t)t?1???1?b2s2(s?3t)a2b2k?t?st?s??2e2?k?2为定值．

(s?2t)?s2t14分

15分 y B P F2 A x

x2y2例18．（本题满分16分）如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)，左、

ab右焦点分别为F1,F2，右顶点为A，上顶点为B, P为椭圆上在第一象限

内一点．

（1）若S?PF1F2?S?PAF2,求椭圆的离心率；

（2）若S?PF1F2?S?PAF2?S?PBF1，求直线PF1的斜率k；

（3）若S?PAF2、S?PF1F2、S?PBF1成等差数列，椭圆的离心率e??,1???，

F1 O 1?4?

求直线PF1的斜率k的取值范围.

解：（1）∵S?PF1F2=S?PAF2 ∴F1F2?F2A

1…………………………2′ 3（2）设PF1的直线方程为y?k(x?c)，∵S?PF1F2=S?PBF1

∵a-c=2c ∴e= ∴

1b?kc12kcPF1·?PF1·………4′∴b-kc=2kc ∴b=3kc

2222k?1k?122……7′ 3 ∵a=3c∴b=22c ∴k=(3)设S?PF1F2=t，则S?PAF2?ba?c ∵P在第一象限 ∴k? t……8′

2ccb?kcS?PBF1S?PF1F2?b?kca?cb?kck2?1?b?kc ∴S……9′ ∴2t=?·tt?·t ?PBF12kc2kc2kc2c2kck2?1b……11′

6c?abb111∴ ?。∴?e?1。又由已知?e?1，∴?e?1。……12′6c?ac5441?e2b2a2?c21?e22 ∴k?===

36c2?12ac?a236c2?12ac?a236e2?12e?1(6e?1)2m?121?()2136?m?2m?11352m?16（令m?6e?1，∴e?）……13′ ===(2??1) 2236mm36mm615111115 ∵?e?1，∴?m?5。∴?。∴0?k?。………16′ ?2。∴0?k2?2425m4∴4kc?ak?ck?b?kc ∴k(6c?a)?b ∴k?（备用）例19．如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xoy中，设圆C：

?x?1?2?y2?4a2?a?1?,A?1,0?,记点N的轨迹为曲线E.

⑴证明曲线E是椭圆，并写出当a?2时该椭圆的标准方程； ⑵设直线过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线的对称点为点

Q，

?13?e??,?22??，求点Q的纵坐标的取值范围. 若椭圆E的离心率

解：（1）连结NA, 由题意知，直线m是线段MA的中垂线， ∴NA=NM, 而圆C的半径为2a ……………………2分 ∴NC+NA=NC+NM=CM=2a(常数)

∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数2a，

所以，点N的轨迹是以定点C, A为焦点，长轴长为2a的椭圆 ………4分

x2y2??1a?2c?13当时，由于，所以所求椭圆E的方程为4 …6分 x2y2?2?122(0,a?1) ?aa?1（2）椭圆E的方程为，其上顶点B

2y?a?1(x?1)，………8分记点A(1,0)关于直线的对称点Q(x0,y0) 所以，直线的方程为

1?y0????x0?1a2?1??13?4a2?1113?y0?a2?1(x0?1?1)e??,?y0?????22?，得2a2a22， 则有?2，解得：；由4a2?11111331y0??4?t??t?u?[,]22422a?1,aaau??t?ta44164， ∴，令，因为 则，∴，∴

所以，点Q的纵坐标的取值范围是3?y0?2

（备用）例20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2?y2?1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x?m．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为b（b?0，b为常数）的椭圆为D．

（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；

（2）当b?1时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；

（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断OM?OL是否为定值？并证明你的结论．

解：（1）圆心C(m,0)(?1?m?1) ，则⊙C的半径为r?1?m2 ．

x2y2??1． 从而⊙C的方程为(x?m)?y?1?m． 椭圆D的标准方程为2b?1b2222x2（2）当b?1时，椭圆D的方程为?y2?1．

2

x12x1222设椭圆D上任意一点S(x1,y1)，则?y1?1，y1?1?．

22x121因为SC?(x1?m)?y?(x1?m)?1??(x1?2m)2?1?m2≥1?m2?r2，所以SC≥r．

2222212从而椭圆D上的任意一点都不在在⊙C的内部． （3）OM?OL?b2?1为定值． 证明如下：

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则由题意，得N（x1，－y1），x1?x2，y1??y2． 从而直线PQ的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0． 令y＝0，得xM?令y＝0，得xL?x1y2?x2y1．又直线QN的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0．

y2?y1x2y1?x1y2．

y2?y122x12y12x2y2因为点P，Q在椭圆D上，所以2??1，2??1，

b?1b2b?1b2b2?12b2?1222从而x?b?1?2y1，x2?b?1?2y2，所以

bb212b2?122b2?1222(b?1?2y1)y2?(b?1?2y2)y12(b2?1)(y2?y12)bbxM?xL???b2?1 ． 2222y2?y1y2?y12所以OM?OL?xM?xL?b2?1?定值．

x22y2

（备用）例21．（2012南京市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆9＋9＝1的右顶点，点→→D(1，0)，点P，B在椭圆上，BP＝DA．

（1）求直线BD的方程；

（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；

（3）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．

说明：本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查运算求解与推理论证能力

专题8 解析几何

一、填空题

例题1. 设圆C：x2?y2?4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A,B，则AB的最小值为 ． 例题2. 过直线 l:y?3x上一点P作圆C:?x?3???y?1??2 的两条切线，若两切线关于

22则点 P 到圆心 C 的距离为 ． 直线 l 对称，例题3. 已知⊙A：x?y?1，⊙B: (x?3)?(y?4)?4，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若PE?PD，则P到坐标原点距离的最小值为 ．

2222x2y21例题4. 已知F是椭圆C:2?2?1 (a?b?0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆x2?y2?b2相

ab4切于点Q，且PQ?QF，则椭圆C的离心率为 ．

??x2y2a222（备用题）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点F(?c,0)(c?0)，作圆：x?y?的切线，切点为E，

ab4延长FE交双曲线右支于点P，若OE?1(OF?OP)，则双曲线的离心率为 ． 2x2y2??1的左，右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1，若?ABF2的内切圆的周长为?,A,B两点的例题5. 椭圆

2516坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y2?y1|= .

例题6. 已知正方形ABCD的坐标分别是(?1,0),(0,1),(1,0)，动点M满足：kMB?kMD??(0,?1)，

1 则2MA?MC? ．

（备用）如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与点F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况）

xx2y2?y2?1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点, 则?PF1F2的面积例题7. 椭圆?和双曲线?1362为

22xy例题8. 设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的上顶点为A，椭圆C上两点P,Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦ab2

点F2，直线PQ的斜率为

3，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，?AF1B的外接圆为圆M． 若直线213x?4y?a2?0与圆M相交于E,F两点，且ME?MF?? 1a2，则椭圆方程为

42x2y2例题9. 以椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F(?c,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则

ab该椭圆的离心率的取值范围是 ．

2y2PF2例题10. 已知F1,F2分别是双曲线x2?2?1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若2的最小值为8a，

abPF1则双曲线的离心率的取值范围为 .

x2y2例题11. 已知双曲线??1（?为锐角）的右焦点F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF为半22cos?sin?径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于PF，则?=

x2y2（备用题）已知椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两

ab点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若?PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于

x2y2例题12. 设椭圆C:2?2?1(a?b?0)恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值

abx2y2例题13.如果P为椭圆??1的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A,B两点，若Q在直线l上,且满足

259|AP||QB|?|AQ||PB|，则点Q总在定直线 上．

x2y2y22例题14. 已知椭圆 C1:2?2?1（a?b?0）与双曲线 C2:x??1有公共的焦点，C2的一条渐近线

ab4与以C1 的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1 恰好将线段AB三等分，则b2=__________________.

（备用）例题15下图展示了一个由区间（0，k）（其k为一正实数)到实数集R上的映射过程：区间（0，k）

中的实数m对应线段AB上的点M，如图1;将线段AB围成一个离心率为3的椭圆，使两端点A、B恰好重合2于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在X轴上，已知此时点A的坐标为（0，1)，如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线AM与直线y= ?2交于点N(n,—2)，则与实数m对应的实数就是n，记作f(m)=n,

现给出下列命题：①.称；⑤f(m)=

；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④.的图象关于点(，0)对

时AM过椭圆右焦点.

其中所有的真命题是_______ (写出所有真命题的序号）

二、解答题

例15．平面直角坐标系xoy中，直线x?y?1?0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6

（1）求圆O的方程；

（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；

（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于ｘ轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于ｘ轴于点 （ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

例16．已知圆O：x?y?1，点P在直线l:2x?y?3?0上，过点P作圆O的两条切线，A,B为两切点， ⑴求切线长PA的最小值，并求此时点P的坐标；

⑵点M为直线y?x与直线的交点，若在平面内存在定点N(不同于点M)，满足：对于圆 O上任意一点Q，都有

22QN为一常数，求所有满足条件的点N的坐标。 QM⑶求PA?PB的最小值；

x2y2例17．如图，正方形ABCD内接于椭圆2?2?1(a?b?0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的

ab顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限．

（I）若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2． ①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程．

（II）设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2?k是定值．

x2y2例18．如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)，左、右焦点分别为F1,F2，

ab右顶点为A，上顶点为B, P为椭圆上在第一象限内一点．

（1）若S?PF1F2?S?PAF2,求椭圆的离心率；

（2）若S?PF1F2?S?PAF2?S?PBF1，求直线PF1的斜率k；

（3）若S?PAF2、S?PF1F2、S?PBF1成等差数列，椭圆的离心率e??,1?，

??求直线PF1的斜率k的取值范围.

（备用）例19．如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点

F1 O y B F2 P A x

1?4?M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段

CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xoy中，设圆C：

?x?1?2?y2?4a2?a?1?,A?1,0?,记点N的轨迹为曲线E.

⑴证明曲线E是椭圆，并写出当a?2时该椭圆的标准方程；

?13?e??,?22??，求点⑵设直线过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线的对称点为点Q，若椭圆E的离心率Q的纵坐标的取值范围.

（备用）例20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2?y2?1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x?m．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为b（b?0，b为常数）的椭圆为D．

（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；

（2）当b?1时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；

（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断OM?OL是否为定值？并证明你的结论．

x22y2（备用）例21．（2012南京市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆9＋9＝1的右顶点，点→→D(1，0)，点P，B在椭圆上，BP＝DA．

（1）求直线BD的方程；

（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；

（3）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．

说明：本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查运算求解与推理论证能力

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