第十章 曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

1．计算下列对弧长的曲线积分： (1) ?Cxsinyds，其中C

?x?3t为??y?t，(0≤t≤1)；

?x?acost?y?asint2(x(2) ??C?y)ds2，其中C为圆周?，(0≤t≤2π)；

(3) ?C(4) ?Cyds2，其中C

?x?a(t?sint)为摆线?的第一拱(0≤t≤2π)；

y?a(1?cost)?yds，其中

C为抛物线y2=2x上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧；

(5) ?(x?C(6) ?C(7) ?C2y)ds2，其中C为以O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)为顶点的三角形的边界； ，其中C为圆周x2+y2=ax(a>0)；

?x?tcost?为圆锥螺线?y?tsint?z?t?222x?ydszds，其中C从t =0到t =1的一段；

(8) ?C解

xds2，其中C

??x?y?z?4为圆周???z?3

：

(1)

10答

xsinyds??C? 1 03tsint3?1dt?310?tsintdt?310(?tcost 022 1?? 1 0costdt)

2(x(2) ??C2?310(si?n1c；o s1)223?y)ds??2?0a2(?asint)?(acost)dt?2?a222；

2?0(3) ?Cyds?2?2?0a(1?cost)?352(a?acost)?(asint)dt?16?25615a3asin35t2dt

?32?asin?d??0；

320(4) ?C(5)

Cyds??20y21?ydy?213(1?y)22?13(55?1)；

可以分割为三条直线OA:y?0(0?x?1)，

OB:x?0(0?y?，1)

BA:y?1?x(0?x?1)

?C(x?y)ds=??OA(x?y)ds+?OB(x?y)ds1+?AB(x?y)ds

?10xdx??10yd?y?(0?x1?)x2

dx?2?1；

(6) C为圆周

aa?x?cost???2222

x+y=ax(a>0)；化为参数方程??y?asint??22?0，(0≤t≤2π)，

?Cx?yds?22?a(1?cost)22?a2dt?a22?2?0cost2dt?a2??0cost2dt?2a2；

(7) ?C?zds??10t(cost?tsint)?(sint?tcost)?1dt13322

?10t2?tdt?2(2?t)2210?13(33?22)；

(8)

?x?cos??C可以表示为参数方程?y?sin?;???0,2???z?3?

?Cxds?2?2?0cos?2sin??cos?d???22．

所属章节：第十章第一节 难度：一级

?x?acost2．已知半圆形状铁丝??y?asint(0≤t≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐

标，求此铁丝的质量 解答：m??Cyds???0asint(asint)?(acost)dt?2a222

所属章节：第十章第一节 难度：一级

?x?acost?3．已知螺旋线?y?asint?z?bt?(b>0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，

试求t从0到2π一段弧的质量 解答：m??C(x?y?z)ds?222?2?0(a?bt)a?bdt?22222a?b(2πa?22283πb)32

所属章节：第十章第一节 难度：二级

?x?a(t?sint)4．求摆线?的第一拱(0≤t≤2π)关于

y?a(1?cost)?Ox轴的转动惯量(设其上各点

的密度与该点到x轴的距离成正比，比例系数为k)

I解答：

??Ckyds?k?332?0(1?cost)1024353a(1?cost)?asintdt?422222ka3?2?07(1?cost)2dt

?64ka?2?0sin7t2dt?ka

所属章节：第十章第一节

难度：二级

5．计算下列对坐标的曲线积分： (1) ?Cydx?xdy，其中C

?x?acostπ,(0?t?)为圆弧?4?y?asint，依参数t增加方向绕行；

(2) ?(2a?C(3) ?C(4) ??Cxdyy)dx?(a?y)dy，其中C为摆线??x?a(t?sint)?y?a(1?cost)自原点起的第一拱；

，其中C为x+y=5上由点A(0，5)到点B(5，0)的一直线段； ，其中C为圆周(x?a)2?y?a(a?0)及

22xydxx轴所围成的在第一象限内

的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)

??解答：(1) ?Cydx?xdy??40??asintd(acost)?acostd?asint????a2?40cos2tdt?a22

(2) ?(2aC??y)dx?(a?y)dy

2?2?0[(2a?a?acost)d(at?asint)?(a?a?acost)d(a(1?cost))??axdy?

(3) ?C(4)

C?50xd(5?x)??252

?y?a(a?0)在

22分成两部分在C1:(x?a)2是

从

原

x轴的上部逆时针方向，

(2a,0)C2点指

x2向

2，

π2a3则

蜒?xydx?C?C1xydx? ?C2xydx??02aa?(x?a)dx??2a0x?0dx??所属章节：第十章第二节 难度：一级

6．计算?OA(x?y)dx?xydy22，其中O为坐标原点，点A的坐标为(1，1)：

(1) OA为直线段y=x； (2) OA为抛物线段y=x2； (3) OA为y=0，x=1的折线段 解答：(1)?(2)?OAOA(x?y)dx?xydy?2222?10xdx?213；

；

(x?y)dx?xydy??108??x2?x4?dx?x3d(x2)????151010(3) 设点B的坐标为(1，0)，则OA分为两段

?OA(x?y)dx?xydy?22?OB??BA??xdx?2?ydy?56．

所属章节：第十章第二节

难度：一级

7．计算?AB2xydx?xdy2，其中点A、B的坐标分别为A(0，0)，B(1，1)：

(1) AB为直线段y=x； (2) AB为抛物线段y=x2； (3) AB为y=0，x=1的折线段 解答：(1) ?2xydx?AB (2) ?2xydx?AB ?2xydx?ABxdy?xdy?22??101(2xdx?xdx)?1；

220[2xdx?xd(x)]?1；

322 (3) 设点C的坐标为(1，0)，则AB分为两段

xdy?2?AC??CB??100dx??1dy?1．

01所属章节：第十章第二节 难度：一级

8．计算下列曲线积分： (1) ?(y2L?z)dx?2yzdy?xdy22，其中L

?x?t?依参数增加方向绕行的曲线段?y?t2?3?z?t(0

≤t≤1)； (2) ?xdx?L解答：(1)?Lydy?(x?y?1)dz22，L为从点A(1，1，1)到点B(2，3，4)的一直线段；

2(y?z)dx?2yzdy?xdz??10(t?t?4t?3t)dt?4664135；

(2)此时L

?x?t?1?写作参数方程?y?2t?1 (0?t?1)

?z?3t?1?

?Lxdx?ydy?(x?y?1)dz??10(t?1?4t?2?9t?3)dt?13．

所属章节：第十章第二节 难度：一级

9．一力场由沿横轴正方向的常力F所构成。试求当一质量为m的质点沿圆周x2+y2=a2(a>0)按逆时针方向移过位于第一象限那一段圆弧时场力所作的功

?解答：?LFdx??20Fdacost??Fa．

所属章节：第十章第二节 难度：一级

10．设有力场的力，其大小与作用点到Oz轴的距离成反比(比例系数为k)，方向垂直且朝着Oz

?x?cost?轴，试求当一质点沿圆周?y?1?z?sint?从点(1，1，0)到点(0，1，1)

时力所作的功．

注：本题已改动，否则点不在圆周上． 解答:由题目可知F从点(1，1，0)

到点(0，1，1)时，y为常数，dy?0，此时力所作的功为：

0=kx?y22(xx?y22,yx?y22?x?cost?,0).当一质点沿圆周?y?1?z?sint??kLx?y22?xx?y22?dx??20kcost1?cost2dcost???kt1?t21dt??12kln(1?t)201?12kln2．

所属章节：第十章第二节 难度：三级

11．把对坐标的曲线积分?CP(x,y)dx?Q(x,y)dy化成对弧长的曲线积分，其中C

为：

(1) 在xOy平面内沿直线y=x从点(0，0)到点(1，1)； (2) 在xOy平面内沿抛物线y=x2从点(0，0)到点(1，1)； 解答：(1)?P(x,y)dx?Q(x,y)dyC??CF?nds，

n为y=x的单位法向量，

所属章节：第十章第六节 难度：二级

27．利用斯托

克

2斯

ey?zz公式计算曲线

22积

2分

??(Lx?ex2y2z)?2dxy?()y?dL，其中

?y?z?R(yezd为正向圆周?z)x?0?解答：

??(eLx?xyz)dx?(e?yz)dy?(e?yz)dz?222y2z2??22?2?:?y?z?R?x?0(y?z)dydz?2xyzdxdz?2xyzdxdy222222

?Dxy:y?z?R2??(y?z)dydz?2222?R22．

所属章节：第十章第六节 难度：二级

28．求向量场A穿出所给曲面的通量： (1) A=x3i+y3j+z3k，S为x2+y2+z2=a2；

(2) A=2xi+y2j+z2k，S为柱面x2+y2=a2，z=0，z=h所围立体的全表面 解答：(1)

?????(3x?3y?3z)dxdydz??222?2?0d???0d??3rsin?dr?0a4125πa5；

(2)

?????(2?2y?2z)dxdydz???2?0d?a?0dr?(2?2rsin??2z)rdr?2πh(1?h)a0h2．

所属章节：第十章第七节 难度：二级

29．求下列向量场的散度div A：

(1) A=x3i+y3j+z3k在点(1，0，–1)处的散度； (2) A=x2yi+xyzj–yz2k在点(1，–1，1)处的散度； (3) A=x2yzi+xy2zj+xyz2k在任一点的散度； (4) A=x2yz3(xzi–y2j+2x2yk)在任一点的散度 解答：(1) (2) (3) (4)

divAMdivAM?(3x?3y?3z)?1；

222M?6；

?(3xy?xz?2yz)MdivA?2xyz?2xyz?2xyz?6xyz2422342；

22222divA?3xyz?3xyz?6xyz?3xyz(z?yz?2xy)．

所属章节：第十章第七节

难度：二级

30．求向量场A= –yi+xj+Ck(C为常数)沿下列闭曲线C的环量Γ： (1) C：圆周x2+y2=R2，z=0的正向； (2) C：圆周(x–2)2+y2=R2，z=0的正向

ij??yxk??zC?nds???x?y解答：(1)

?=??S??S2dxdy?2?R2,其中S圆周x2+y2=R2，z=0

的平面；

ij??yxk??zC?nds?222

??2dxdy?2?R, 其中S圆周(x–2)+y=R，z=0的

2S (2)

?=??S??x?y平面．

所属章节：第十章第七节 难度：二级

31．求下列向量场A的旋度rot A： (1) A=y2i+z2j+x2k； (2) A=x2i+y2j+z2k； (3) A=xcoszi+ylnxj–z2k； (4) A=3xz2i–yzj+(x+2z)k

ij??yzk??zz22k??zx2解答：(1)

rot A???xy2??2(zi?xj?yk)；

ij??yyi2(2)

rot A???xx2?0 ；

j??yylnxk??z?z2(3)

rot A???xxcosz??xsinzj?yxk；

ij??y2k??zx?2z?yi?(6xz?1)k(4)

rot A???x3xz．

?yz所属章节：第十章第七节 难度：二级

32．设r=xi+yj+zk，r=|r|，f(r)为可微函数，试求： (1) div[f(r)r]； (2) rot[f(r)r] 解答： (1)div[f(r)r]?f?(r)rx?f(r)?2f?(r)ry?f(r)?2f?(r)r2z?f(r)?rf?(r)?3f(r)；

ij??yf(r)yk??zf(r)z?0(2)

rot[f(r)r]???xf(r)x．

所属章节：第十章第七节 难度：二级

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