内蒙古包头市2017届高三下学期第一次模拟考试数学理试题 含答案 精品

内蒙古包头市2017届高三下学期第一次模拟考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数12z ,z 在复平面内的对应点关于原点对称，1z 2i =-，则 12z z =（ ）

A ．5-

B ．34i -+

C ．3-

D ．54i -+

2. 已知集合{}()(){}3,2,1,|120,Z A B x x x x =---=-+≤∈，则A B =（ ）

A ．{}1-

B ．{}2,1--

C ．{}3,2,1,0---

D ．{}3,2,1,0,1---

3. 设向量()(),1,2,1a n b ==，且222a b a b -=+，则n = （ ）

A ．12-

B ．2-

C ．2

D ．12

4. 一个圆经过椭圆2

214

x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为（ ）

A ． 2232524x y ??-+= ???

B ．2

2325416x y ??++= ??

? C. 22325416x y ??-+= ??? D ．2232544x y ??-+= ???

5. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2,1AB BC

==，则质点落在以CD 为直径的半圆内的概率是 （ ） A ．8π B ．6π C.4π D ．2

π 6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12π，則它的表面积是（ ）

A ．1816π+

B ．2016π+ C. 2216π+ D ．2416π+

7. 若将函数2cos 2y x =的图象向右平移

12π个单位长度，则平移后图象的一个对称中心为（ ）

A ．5

,06π?? ??? B ．7,06π?? ??? C.,03π??- ??? D ．,06π?? ???

8. 如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为17,14，则输出的a = （ ）

A ．4

B ．3 C. 2 D ．1

9. 设0,

,0,22ππαβ????∈∈ ? ?????，且sin cos cos 1sin αβαβ=-，则（ ） A ．22π

αβ+= B ．22παβ-= C. 22π

αβ+= D ．22π

αβ-=

10. ()52x x y -+的展开式中，43

x y 的系数为（ ） A ．8 B ．9 C. 10 D ．12

11. 已知抛物线2

:2C y px =与点()N 2,2-，过C 的焦点且斜率为2的直线与C 交于,A B 两点，若N N A B ⊥，则P =（ ）

A ．2-

B ．2 C. 4- D ．4

12. 若函数()()()()212f x x x x ax b =-+++的图象关于直线0x =对称，则()f x 的最小值为（ ）

A ．254-

B ．74 C.94- D ．414

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+，则B = ．

14. 已知直线,a b ，平面α，满足a α⊥，且b α，有下列四个命题: ①对任意直线c α?，有c a ⊥；②存在直线c α?，使c b ⊥且c a ⊥；③对满足a β?的任意平面β，有βα⊥；④存在平面βα⊥，使b β⊥.其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号)

15. 已知0,,a x y <满足约束条件()133x x y y a x ?≥?-≤??≤-?

，若2z x y =+的最大值为8，则

a = ．

16. 已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，若对任意实数x 有()()'f x f x >，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <的解集为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23N n n S a n n +=-∈.

（1）求123,,a a a 的值；

（2）是否存在常数λ，使得数列{}n a λ+为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式n a ；若不存在，请说明理由.

18. 如图所示是某企业2010年至2016年污水净化量（单位: 吨）的折线图.

注: 年份代码1-7分别对应年份2010-2016.

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立y 关于t 的回归方程，预测2017年该企业污水净化量；

（3）请用数据说明回归方程预报的效果.

附注: 参考数据:()(

)()277i i

i i i 1i 1954, 3.74,4

y t t y y y y ===--=≈-=∑∑；

参考公式：相关系数i i

()()n

t y y r t --=∑，回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小； 二乘法估汁公式分别为i i i 12i

i 1

()(),()n

n t t y y b a y bt t t ==--==--∑∑； 反映回归效果的公式为：2

i i 2i 12

i

i 1()R =1()n

n y y y y ==--

-∑∑，其中2R 越接近于1，表示回归的效果越好. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AC AB =.

（1）证明:1AB B C ⊥ ；

（2）若1190,60,CAB CBB AB BC ∠=∠==,求二面角111A A B C --的正弦值.

20. 已知椭圆2

2:14

x C y += 与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，点,M N 为椭圆C 上相异的两点，其中点M 在第一象限，且直线AM 与直线BN 的斜率互为相反数.

（1）证明: 直线MN 的斜率为定值；

（2）求四边形AMBN 面积的取值范围.

21. 已知函数()()2ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠.

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()12e 1f x f x -≥-，试求a 的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为5cos (65sin x y ααα=??=-+?

为参数), 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C 的极坐标方程；

（2）直线l 的极坐标方程为0θα=，其中0α

满足0tan 2

l α=与C 交于,A B 两点，求AB 的值.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()1,2f x x x A =+-

为不等式()12f x x <+的解集. （1）求A ；

（2）当a A ∈时，试比较()2log 1a -与()2log 1a +的大小.

内蒙古包头市2017届高三下学期第一次模拟考试数学（理）

试题参考答案

一、选择题

1-5: BDACC 6-10: AADBC 11-12：DC

二、填空题 13. 4

π 14. ①②③④ 15. 3- 16.{}|0x x >( 或()0,+∞)

三、解答题

17. 解：(1) 当1n =时，由11231S a =-?，得13a =；当2n =时，由22232S a =-?，可得29a =；当3n =时，由33233S a =-?，得321a =.

(2) 令()()()2213a a a λλλ+=++，即()()()2

9321λλλ+=++，解得3λ=.由23n n S a n =-及

()11231n n S a n ++=-+，两式相减，得123n n a a +=+.由以上结论得

()()1323323n n n a a a ++=++=+，所以数列{}3n a +是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在3λ=，使得数列{}3n a +为等比数列，所以

()()()11332,321N n n n n a a a n -++=+?=-∈.

18. 解： (1) 由折线图中的数据和附注中的参考数据得，

()()2277i i i i 1i 14,28,18t t t

y y ===-=-=∑∑,

所以0.9354r ==≈.因为y 与t

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