具体与抽象相结合这一教学原则的见解(祁国柱)

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具体与抽象相结合这一教学原则的见解

姓名:祁国柱 学号:2008121296

【摘要】： 高度的抽象性是数学区别于其它科学最显著特点之一，在数学教学中需要得

到足够的重视。本文从数学作为科学所具有的高度抽象性入手，分析了它给实际教学带来的影响——它既容易造成数学“难教、难学”的局面，又对学生抽象思维的形成、发展起着重要作用，可以说是一支“双刃剑”。本文通过自己在平时教学实践中的体会，提出了在数学教学过程中应该通过抽象概念形象化、抽象符号具体化、抽象问题情境化、抽象方法直观化等手段来适度降低其抽象程度。另一方面在实际的教学实践中，降低知识的抽象性和学生抽象思维的培养并不是对立的，笔者试图探寻在教学中将抽象化与具体化相结合的线索和思路，提出了在抽象化和具体化之间保持张力的方法，既要降低数学知识的抽象程度又不能忽视对学生抽象思维的培养。

【关键词】：数学教学原则 抽象性 抽象思维

一. 数学教学原则

1一般教学原则概述：

我国学者王策三先生在其著作《教学论稿》中提出了八条教学原则：①关于思想性与科学性相统一原则；②关于理论联系实际原则；③关于学生主导作用与学生主动性统一原则；④关于系统性原则；⑤关于直观性原则；⑥关于巩固性原则；⑦关于量力性原则；⑧关于因材施教原则。

南京师范大学教育系所编的《教育学》则提出四条一般性的教学原则：①全面发展的方向性原则；②教师主导和学生自觉性、积极性相结合的原则；③知识结构和学生认知结构相统一的原则；④因材施教的原则。

前苏联教育家赞可夫提出了四条一般教学原则：①高难度、高速度进行教学的

原则；②理论知识起主导作用的原则；③使学生理解学习过程的原则；④使所有学生都得到一般发展的原则。

美国教育家布鲁纳提出四条一般教学原则：①动机原则(学习的心理倾向)；②结构原则(便于学生掌握知识结构)；③程序原则(教学有合理的程序)；④反馈原则(恰当地处理学习反馈问题)。

在以上所介绍的几种教学原则体系中，赞可夫的教学原则体系在我国教育理论界曾产生过较大的影响。王策三先生提出的原则体系显然受到了前苏联教学原则体系的很大影响，在实践中通过不断的完善和充实，受到了普遍的认可，而且在我国的影响也是深远的。南京师范大学教育系提出的原则体系，到目前为止，是我国学者提出的教学原则体系中包含条文最少的体系，但其内容却十分丰富，因此也受到普遍的肯定。布鲁纳的教学原则体系比较充分地考虑了动机、兴趣、好奇心等非认知因素在教学中的作用，同时还强调了学生的评价能力以及直觉思维，因此，布鲁纳的教学原则体系反映了当代哲学和科学技术的发展，具有鲜明的时代特征，在我国已被越来越多的教育工作者所了解和接受。

2.数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制订的指导数学教学工作的一般原理，它是数学教学经验的概括总结．它来自数学教学实践，反过来又指导数学教学实践．贯彻正确的数学教学原则，有利于提高教学质量，实现教学目的．因此，研究数学教学原则是数学教育学的重要内容之一．

3.中学数学教学原则:数学教学原则应根据中学数学教学目的和数学学科特点，以及中学生学

习数学心理特点来确定．目前，在中学数学教学中，主要应遵循如下基本原则：抽象

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与具体相结合原则；严谨性与量力性相结合原则；理论与实际相结合原则；巩固与发展相结合原则；

4.抽象与具体相结合原则

这一原则是数学教学中抽象思维与生动具体对象统一规律的反映．也就是说，在

数学教学中既要促使学生通过各种感官去具体感知数学的具体模型，形成鲜明的表象，又要引导学生在感知材料的基础上进行抽象思维，形成正确的概念、判断和推理．

这一原则，既来自数学内部，又符合学生认知过程．它和数学的高度抽象性互为表里，是辩证的统一．我们知道，数学以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象，表现为思考事物纯粹的数量，广泛使用抽象符号，使得数学与其他学科相比，抽象程度较高．但是，数学理论不是空中楼阁，数学的抽象总是相对于具体原型而存在的．正如恩格斯指出的“自然界对一切想象的数量都提供了原型”．数学的抽象使它具有高度的概括性，也使得数学理论能推广到更为广泛的具体对象之中

二.对数学抽象性含义的理解

1.数学的抽象性

抽象，或称抽象过程，就是在思想中不考虑事物所有其它方面的特性，而把事

物某一方面的特性分离出来。数学，它以现实世界的空间形式和量的关系作为研究对象。所以，它的研究对象本来是十分具体的。数学具有十分抽象的形式，这就是数学的抽象性。数学的抽象性还表现为它的高度概括性。概括 ，就是把从部分对象抽象出来的某一属性推广到同类对象中去的思维过程。抽象和概括是互相联系、不可分离的。数学的抽象性还有再抽象的特点 ，即需要逐级抽象而形成一个逐次提高的抽象过程。这也是由空间形式和数量关系这一属性的特点所决定的。经常反复地进行再抽象。例如，由数而式，再到函数，再得出集合和各种代数基本结构的概念。在再抽象的过程中，允许有一定的跳跃性。比如从一般单项式直接得出一般多项式的概念。数学抽象性的又一个特点是大量使用抽象符号。抽象符号的使用，既强化了数学的精确化，也提高了数学的抽象性。综上所述，数学的抽象性具有一系列的特点。因此，在中学数学教学过程中必须充分注意这些特点，以使学生能逐步适应这些特点的要求 。

2抽象性是数学的基本特点

所谓数学的抽象性，是指为了在比较纯粹的状态下研究客观世界的空间形式和

数量关系，不得不把客观对象的所有其他特征抛开不管，而只抽象出它的空间形式和数量关系进行研究。因此，数学是以客观世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象，具有十分抽象的形式。一般来说，数学的抽象性至少表现在以下几个方面。

1）．数学的表现形式是高度抽象的。

数学内容的抽象性决定了其表现形式也是高度抽象的，所以，数学思维必须将思想材料概括为抽象的形式化的内容。例如，圆是我们在日常生活中常见的图形，用数学的语言抽象出圆的定义为：在平面上，到定点的距离等于定长的点的集合，如果一个圆的圆心是点O，那么用符号语言可以将这个圆表示为：⊙O，这种表示也是很抽象的。

2）．数学的方法是高度抽象的。

这不仅表现在数学使用了大量抽象的数学符号，还表现在它的思维方法

上。数学思维以深入细致的观察为基础，以分析、综合、归纳、概括、类比等为 手段，充分运用逻辑推理的方法去进行思维。例如，反证法、数学归纳法、极限的方法、微积分的方法等，都充满了抽象性，因此，数学的思维以抽象思维为主。这一点和别的自然科学学科有一定的区别，如物理学、化学等学科，它们以观察、实验为主要思维手段；又如语文、外语、音乐等学科，它们以形象思维为主要手段。

3）．数学的抽象性是逐层递进。

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数学每一次向更高层次的抽象必须在前一次抽象材料的基础上进行。例如，由数到式，由式到函数，又由函数到关系等，都是一个层层递进的抽象过程。

4）．数学的抽象可以达到人们感知所不能达到的领域。

例如，小学时我们学习十位数以内的加法，可以用扳手指头的方法去做，但学到多位数加法时，却不能用扳手指头的方法去做了，必须用一定的抽象思维去思考。一维空间我们可以通过火车在铁轨上行驶的情景去感知，二维、三维空间我们也还可以从我们的生活找到实际模型去感知，但四维、五维……以至n维空间，我们便很难感知到了，单凭直观是不行的，只能抽象地在头脑中思考。

3.数学抽象与具体的相对性:

不管数学如何的抽象，但它必须以具体的客观现实作为基础。任何抽象的数学概念和命题，以至抽象的数学思想和方法，都有具体生动的现实模型和实际背景。例如，从原始人分配猎物、计数等具体活动中，人们抽象出对应的数学概念和思想；从研究天体运动、航海活动中，人们引进了对数概念；从生活常见的实物，如桌面、窗户等抽象出矩形等概念，所以，具体性是数学抽象性的基础。另一方面，抽象性又要以具体性为归宿，因为从哲学认识论的意义上说，实践是检验真理的唯一标准，数学理论的正确性也应由实践去检验。

从研究数学的目的来看，数学必须为解决社会活动中的理论性和实践性问题而服务。例如，函数概念、方程问题等，都是从解决具体的现实问题的实践中产生的，将它们再运用到实际中，便又可以解决许多不同的具体问题，最终以广泛的具体性为归宿。

所以，数学中的具体与抽象是相对的，互相区别又互相联系，而且在一定的条件下又可互相转化，是辩证的统一。由感性的具体到抽象，又由抽象的思维到具体，这是人们认识具体数学事实的基本的认识规律。正因为这样，具体与抽象相结合的原则，是教学过程与人的认识规律的共同性与特殊性规律所决定的，在数学教学中具有特殊的指导性意义。数学的抽象性必须以具体作基础,

4.中学生抽象思维的局限性及其对教学的影响

当前，中学生的抽象能力普遍较弱，表现在过分地依赖具体材料，一方面对具体素材的依赖性；不能有效地从具体素材中过渡到抽象的数学内容中去；另一方面中学生抽象能力弱，不能灵活地将抽象的数学理论应用到具体的问题当中；并且对抽象结论的理解和掌握往往有片面性、局限性，难以理解抽象结论之间的关系，这充分说明了青少年对数学的抽象性需要一个适应过程。而在教师方面，又往往容易忽视设置较好的现实问题情景，或运用直观的教学手段，将问题逐渐过渡到抽象的数学内容中去，造成数学“难教、难学”的局面。这一教学矛盾的产生，主要原因就在于没有妥善处理好具体与抽象的关系。为了更有效地提高教学效果，教师在教学中应遵循从具体到抽象，再由抽象回到具体的教学模式进行教学。

三. 如何贯彻具体与抽象相结合的原则

数学教学中，贯彻具体与抽象相结合的原则，应从学生的感知出发，以客观事实为基础，从具体到抽象，逐步形成抽象的数学概念，上升为理论，进行判断和推理，再由抽象到具体，应用理论去指导实践。首先要着重培养学生的抽象思维能力．所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象、运用概念、判断、推理等进行思维的能力．按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象和理论型抽象思维．在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解决问题．其次要培养学生观察能力和提高抽象、概括能力．在教学中，可通过实物教具，利用数形结合，以形代数等手段．针对数学学科高度抽象性的学科特点,在实际的数学教学过程中可以利用以下四种方法适度降低知识

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的抽象程度,在教学过程中贯彻具体与抽象相结合的原则.

1. 抽象概念形象化

数学概念具有抽象性与具体性。这是因为数学概念代表了一类事物的本质属性，决定了它的抽象性，已远远脱离具体现实，且抽象程度越高距离现实越远。但是不管它如何抽象，高层次的抽象又总是以低层次的事物为具体内容的。也就是低抽象度的概念是高抽象度概念的具体模型。例如，数字是抽象字母的具体模型，而字母又是抽象函数的具体模型。并且数学概念始终是数学命题、数学推理的基础成分，它必然落实到具体的数、式、形之中。

例如，讲对数函数有关性质时，可先画出图象，观察图象抽象出有关性质就是一例．

2.抽象符号具体化

数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统

化，它可以在学生的生活背景中找到实体模型．现实的背景常常为数学知识的发生提供情景和源泉，这使得同一个知识对象可以有多样化的载体予以呈现．另一方面，数学知识的形成过程有时可以在教师的引导下，通过学生的自主活动来体验和把握．数学的抽象性还表现为广泛且有系统地使用数学符号。数学符号使字词、词义、符号三位一体，这是其他学科无法比拟的。例：“极限”——数例{an}的极限为A，用“ N”

a A 语言描述。其词义就是：“ 0 N使n>N时，总有n”。例：“垂直”

——“⊥”，etc。

学习了有关的、抽象的数学理论之后，应将它再运用到具体的实践中去，解决

具体的问题，解释具体的现象，这个过程对学生深刻掌握有关的数学理论知识，培养学生的能力有重要的实践意义。 例如，在学生学习了平行四边形的不稳定性后，再让学生用这一性质去解释：为什么伸缩门由许多个平行四边形组成？。 从具体到抽象，再从抽象到具体的过程，往往不是一次完成的，有时要经过循环往复才能完成。只有在教学中时时注意坚持具体与抽象相结合的原则，才能取得最佳的教学效果。

3.抽象问题情境化

通过运用生动、形象、具体直观的现实材料和教学语言来引入和阐明新的数学概念等内容。例如，通过温度的升降，货物的进出等实例引进具有相反意义的量，再进一步提出正数、负数的概念。又如，学生在刚学习立体几何时，常常难以想象图形在三维空间中的情景，这时教师可引导学生先观察活动的门板、讲义夹、粉笔盒等实物模型。只有当学生形成了一定的感性认识之后，才可能形成抽象的概念。值得注意的是，有人误以为看得见、摸得着的“现实材料”才是生动、形象、直观的，因而忽略了运用语言或形式的直观去引入数学新概念。其实，如果现实中难以找到具体的模型，还可以从学生已有的“数学现实”中去发掘，这些“数学现实”可能是低一层次的数学的抽象，但这些抽象在具有一定能力的学生看来却仍然是形象直观的。

教师创设适当的问题情境，激发学生的创造意愿，让他们去发现、去创新，以满

足这种欲望，从而不断地强化欲望动机．什么样的问题情境，最能诱发人的内在学习动机呢？当面临的问题对于学生来说是“跳一跳，摘得到”的状态时，最能引起学习的意向．例如，在讲直径上的圆周角是直角时，学生并没有感到这一研究的特别意义．而当教师引导他们①用三角板找圆的直径；②用三角板找圆心；③说一说从这个操作中可以看出什么规律时，学生就活跃起来了．他们感到原来没有画直径或失去了圆心的圆，用三角板就可以把圆心找回来——此事有意义；其次由于涉及的工具操作不复杂，学生们认为此事有可能完成．但由于“如何画”并不是显而易见的事情，因此还需要动脑思考．这样，很快就在班里出现了操作——观察——讨论——甚至争论的情况．

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4.抽象方法直观化

①数学概念的阐述，注意从实例引入。通过具体的实物进行直观演示，也可利用图像直观，语言直观形成直观形象。例如：线、面、体等概念。

②对于一般性的数学规律（如法则、公式等），注意从特例引入。

例如“勾股定理”的讲解：可先从三角形的边分别为3、4、5或5、12、13等出发→阐明三边关系→证明一般规律：a2+b2=c2

例如“同底数幂相乘”法则：先从：2×2=2，a×a=a，a×a=a

其中m、n分别为正整数、o、负整数、有理数、无理数→实数。

直观是从具体上升到抽象的辅助工具，特殊化是认识抽象结论的辅助手段，

即使高一级的抽象也往往依赖于较低一级的具体。数学的抽象性必须以具体的素材为基础，任何抽象数学概念、命题，包括数学思想和方法都有具体生动的现实原型。

例：“对应”——以原始人的分配、狩猎或数数的具体活动为原型。

例：“数式运算” ← “函数”←“映射”←“以复数为自变量的函数”←“泛

函”。抽象是相对的，以相对的具体作为基础。数学的抽象性不仅以具体性为基 础，而且还以广泛的具体性为归宿。 347347mnm+n，

四.如何在抽象化与具体化之间形成必要的张力

直观具体仅是手段，培养抽象思维的能力才是根本目的。如果不注意培养学生的抽象思维能力，那么就不可能学好数学；相反，若不依赖于具体、直观，则抽象思维能力也难以培养。但如果只停留在感性阶段，那么必然会影响思维能力的进一步发展。只有不断做好具体与抽象相结合，才能使数学学习不断向纵深发展，使认识不断提高和深化。

1. 在不同的阶段始终贯彻具体-抽象-具体原则

(1)在生活中发现数学，让数学生活化:在数学教学中，从学生的生活经验和已有生活背景

出发，联系生活讲数学，将抽象的数学概念、定理、公式、法则、规律等化解为一系列学生熟悉的有趣的丰富的生活中的事例，为学生提供大量的感性材料，让学生从初步的感知，逐步理解抽象的数学概念、定理和思想方法，同时让学生了解数学知识产生的背景、发展的过程，数学来源于生活，新教材更注重这一点，如“集合的概念”这节课，教材是从观察学生文具组成的实例引出集合的概念，捕捉学生身边的事例中的数学问题，结合所要学的新知，让学生感到亲切自然，易于接受，讲解“角的概念推广”，用“活络扳手旋紧螺母或旋松螺母”的实例，即活络扳手旋转角度问题，既提出大于360°的角的问题，又提出如何表示旋转方向不同的角的问题。教师在教学时，充分利用教材中的生活实例，要充分利用学生的认知规律和已有的生活经验，从学生的生活中提炼出数学素材，将它服务于教学新知，吸引学生参与研讨，能达到更良好的教学效果，教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值，以一些实际应用型的题目让学生巩固所学，增强其解决问题的能力，以二次函数的作图为例，二次函数的图像不是直线、线段，而是曲线，并且是不规则的曲线，有些同学把图像画成折线，不对称也

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不美观，于是教师引导学生重温作图的步骤、方法，回忆投掷铅球、篮球的路线，指导学生正确地画出抛物线的图像，数学生活化，教师在课堂上可采用：课题导人生活化，激发学生兴趣，例题生活化，学生易懂易学，练习生活化，做到学以致用，运用多种手段创设生活情境，采用语言直观、实物演示、游戏、多媒体教学、社区数学实践等手段，创设生活情境，沟通数学与生活的联系，让数学生活化。

(2)在生活中体验数学，让生活数学化:生活问题数学化，实际问题抽象化，侧重建模，数学建模和数学应用被证明是非常成功的，众所周知，数学有着广泛的应用，这是数学的基本特征之一，生产和科学技术的不断发展，为数学的应用提供了广阔的前景，数学的应用地位日益上升，数学建模正成为数学和科学工作者面临的重大课题，所谓数学模型，是针对或参照某种事物的特征或数量关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构，广义解释：凡一切数学概念、数学理论、各种数学公式、各种方程(代数方程、函数方程、微分方程、积分方程……)以及由公式系列构成的算法系统就可称之为数学模型，在数学教学中，把数学知识与生活、学习、活动有机地结合起来，通过收集资料、动手操作、合作讨论等活动，让学生真正感受到数学在生活中无处不在，获得探索数学的体验，提高利用数学解决实际问题的能力，让生活数学化，运用知识解决实际问题的能力，切实体会数学与生活的密切联系，从而激发学生热爱数学，建立学好数学的信心，加强数学应用意识，体现数学生活。

(3)学以致用，在生活中应用数学，让数学回归生活:众所周知，数学有着广泛的应用，这是数学的基本特征之一，生产和科学技术的不断发展，为数学的应用提供了广阔的前景，随着社会主义市场经济体制的逐步形成，股票、利息、保险、储蓄、分期付款等经济方面的问题，已逐渐成为人们的常识，在学习等差数列、等比数列时就可解决利息、保险、储蓄、分期付款等问题，讲排列、组合，讲35选7中500万大奖有多

少不重复号的奖券。 2. 对抽象化或具体化方法的选择要贯穿授课的全过程

在教学的全过程中，教师可以运用生动形象、具体直观的数学材料来引入新课；在阐明新的数学概念时，应及时发挥教师的主导作用，引导学生抽象归纳出具有一般性的数学概念和结论来。在讲授公式定理时，应注重学生抽象逻辑思维能力的培养，因为具体、直观只是手段，而培养抽象思维能力才是我们的重要目标。抽象化或具体化方法要始终渗透教学的全过程中。

例如，利用“辘轳”、汽车驾驶室里的方向盘的转动、表盘上的指针的转动等现象，引入“旋转”的概念“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”，往往可以在直观感受的基础上，通过对这几个具体形象的事例的分析归纳之后，及时地引导学生抽象出“旋转”的概念，不仅使学生在认识上排除了非本质的特征因素的干扰，而且使认识得到了进一步深化，培养了学生的数学抽象能力。

五. 教学案例

我们把学习过的函数，如指数函数 y=ax(a>0，且 a≠ 1)，对数函数 y=logax(a>0，且 a≠ 1， x>0)，用抽象的函数符号和语言进行表述，并在此基础上对函数的图象、性质进行证明和研究，是掌握函数方法、函数思想极其有效的方法 .

(1)指数函数为背景抽象函数问题的讨论

例 1 设函数 y=f(x)定义在实数集 R上，当 x>0时， f(x)>1，且对任意实数 m， n都有 f(m+n)=f(m)· f(n).(1)证明 f(x)在 R上，恒有 f(x)>0.(2)证明 f(x)在 R上是增函数 . 证明 (1)f(x)在 R上，恒有 f(x)>0.设 n>0， m=0，则 f(x)>1，∴ f(0+n)=f(0)· f(n)，即 f(n)=f(0)· f(n).又 f(n)>1，∵ f(0)=1，设 x<0，则 -x>0，从而 f(-x)>0.∵ f(0)=f(x-x)=f(x)· f(-x)=1,∴ f(x)= 1 f(-x)>0.∴ 不论 x为任意实数，都有 f(x)>0.

证明 (2)f(x)在 R上是增函数,设 x1<x2，可表示成 x2=x1+t(t>0).由 t>0有 f(t)>1，

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∴ f(x2)=f(x1+t)=f(x1)· f(t)>f(x1)；∴ f(x)在 R上是增函数 .

(2) 以对数函数为背景

例 2设函数 y =f(x)(x∈ R，且 x≠ 0)，对任意实数 x1， x2满足 f(x1)+f(x2)=f(x1x2).

(1)求证 f(1)=f(-1)=0；(2)求证 y=f(x)是偶函数；

证明(1)： (1)f(1)=f(-1)=0,令 x1=x2=1，则 f(1)+f(1)=f(1× 1)，∴ f(1)=0. 令 x1=x2=-1，则 f(-1)+f(-1)=f(1)=0，∴ f(1)=0.

证明(2)： (2)y=f(x)是偶函数,令 x1=x2=x，则 2f (x)=f(x2)， 2f (-x)=f(x2)，∴ f(x)=f(- x)； ∴ f(x)是偶函数 .

(3)同时以指数函数和对数函数为背景

例 3已知函数 y=f(x)，则它的反函数的图象关于 y轴对称的函数为 _____.

解：取 y=f(x)=2x，它存在反函数 f-1(x)=log2x，它关于 y轴对称的函数为 f-1(-x)=log2(-x)

如图所示：

所求函数为： y=f-1(-x).

评注：学习具体函数时，应把它们升华成抽象函数 .研究抽象函数时，还应该找到它们的背景函数，把二者有机地结合起来，就可以更好地掌握和运用函数的有关知识 .这是我们学习函数时，应该掌握的一个学习方法 .

【参考文献】:1<中学数学教学概论> 曹才翰 北京师范大学出版社

2 <关于高中数学教学原则的研究>曹爱梅

3. <数学生活化,生活数学化>李远敬

4. <数学的高度抽象性与高中数学教学>辽宁师范大学陈欣

5. 斯宾塞《教育论》

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/upim.html