计算方法试题与答案1

一、 选择题(本题5个小题,每题2分,共10分)

1．若r 1.000000有4个有效数字，则s πr2 3.141593具有( )位有效数字

B. 3 C. 5 D.7 A. 1

2．已知f(0) y0,f(1) y1,f(2) y2, 现已得f(x)的Lagrange插值多项式为x2 2x 3，则f(x)的Newton插值多项式为( )

A. x2 2x B. x2 2x 1 C. x2 2x 2 D. x2 2x 3

3．设 23 A 25 ，则A的用 范数定义的条件数Cond (A)=( )

A. 4 B. 14 C. 42 D. 56

4．用Euler折线法解初值问题 y x y，取步长h 0.1，算得y(0.2) ( )

y(0) 1

B. 1.10 C. A. 1 .00 1.21 D. 1.22

5．在某实验过程中对(x, y)的三次观测结果为：(-1, 1)、(0, 2)和(1, 9)，则y关于x的拟合直线为 ()

A. y x 1 B. y 3x 1 C. y 4x 4 D. y 3x 4

二、 填空题(本题5个小题,每小题3分，共15分)

1．x0 1i 1，则插值基函数l1(x)。 0，x1 1，x2 2， l1(xi) 0i 1

2．函数f1(x) 1，f2(x) 2x b在区间[0, 1]正交，则b = 。

3．用梯形公式计算积分，取4位有效数字，

4．A= 10.xdx 。 11 , 则A经过LU分解后，L矩阵中l21= 。 23

115．设f (x0) f(x0 h) f(x0 h)] O(h)2，用F1(h) [f(x0 h) f(x0 h)]作为f (x0)的2h2h

h2 近似值，其误差为O(h)，则以代替h对F1(h)进行一次外推加速后得到F2(h) ，若以F2(h)作为f(x0)的2

p近似值，其误差记为O(h)，则p

三、 计算题(本题12分)

数值积分公式形如：

数精度尽可能高。

h0f(x)dx h[f(0) f(h)] ah2[f (0) f (h)]，确定求积公式中的系数a使其代2

四、 计算题(本题12分)

给定线性方程组 3 32 ，b Ax b，其中A 。用迭代公式 12 1

x(k 1) x(k) a(b Ax(k))，k

0,1,2,

求解Ax b，其中a为实数。求(1)a的取值范围使上述迭代收敛; (2) a取何值时可使上述迭代收敛最快。

五、 计算题(本题12分)

设有解方程3-3x 2sinx

(1)证明 x02 0在[0,1]内的根为x*，若采用如下迭代公式xn 1 1 sinxn 3* 6 (2)取x0 0，要迭代多少次能保证误差xk x 10？ R均有limxn x*(x*为方程的根)；n

(3)此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

六、 计算题(本题13分)

求满足条件S(0)=0，S´(0)=0，S(1)=2，S(2)=0，S´(2)=0的三次样条插值函数S x .

七、 证明计算题(本题13分)

设n n 实矩阵A有n个线性无关的特征向量x1,x2,,xn，相应特征值 1, 2,, n满足 1 2 n，任取n维非零向量v和u0，且u0在x1方向的坐标a1 0，vTx1 0，试证：由迭代公式vTukuk Auk 1， k T(k 1,2,)产生的序列{ k}收敛于 1。 vuk 1

八、 计算题(本题13分)

y f(x,y)给定求解常微分方程初值问题 的线性多步公式y(x) y0 0

称为吉尔(Gear)方法，二步的吉尔方法可设为：yn 2

阶精度，并推导其局部截断误差主项。

j 0kjyn j h kfn k，其中：fn k f(xn k,yn k)， 0yn 1yn 1 h 2fn 2，试确定系数 0 1, 2，使它具有二

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