中考数学圆的综合练习试题

圆综解题技巧

中考解读：

圆的综合是中考数学必考题，一般在第24或25题，分值5分 圆综一般有两小题

Ⅰ.第一小题占2分，一般需要证明切线或角的关系和线段关系

一般需要导角证明，求证相切的关系其实是导90°角，求证平行关系其实也是通过导角的关系来判定平行，这类问题通常都要用到圆的常见辅助线来解决； Ⅱ. 第二小题占3分，一般考查求线段的长度

主要应用圆的基本性质，同时结合相似、勾股定理以及锐角三角函数等知识。这一问是考生容易丢分的，是此题的难点，需要掌握核心方法和技巧。 2012-2016年北京中考圆综合知识点考查对比 第一问 第二问 2012 切线的证明 求线段长 2013 证角等 求线段长 2014 证线段等 求线段长 2015 证明等边 求线段长 2016 证明平行 求面积

解决圆综问题常用到的定理： （1）弧、弦、圆心角定理

弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

（2）圆周角定理

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）垂径定理

1

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（4）切线定理

切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

（5）切线长定理

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（6）圆的内接四边形：

圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补． 推论：圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角。

要想熟练解决几何问题，一定要形成一种做辅助线和解题的条件反射，看到题中的某个条件、某个图形或是某种问法脑海中就会即刻呈现出可能的辅助线。这种条件反射像是饿了想吃饭，渴了想喝水一样。

（1）见到条件给出圆周角或者圆心角的度数或等量关系→找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角。

（2）见到直径→找直径所对的圆周角

（3）见到切线尤其是要证明相切关系→连过切点的半径

（4）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。

（5）圆心是直径的中点，考虑中位线

（6）同圆的半径相同，连接两条半径，考虑等腰三角形的性质，圆内的等腰三角形，计算线段长，考虑垂径定理

（7）角平分线，平行，等腰→知二得一

还有很多要形成条件反射的内容，例如出现平行线要怎么办等等，平时要多注意积累

像这些需要形成条件反射的辅助线，我们称之为必连线，即使题中可能用不到，在做题过程中也要先连起来。

圆综的解题步骤：

第一问一般需要证明切线或角的关系和线段关系 它们有一个共同的特点：通过导角来证明。

证切线→导直角；证角的关系等→导角；证线段相等→一般导等腰（有时需要全等）；证线段平行→导角。

第二问一般需要求边，一种是求边的比例，另一种是求边的长度 ※求边的比例大多数情况会用相似三角形来解决 ※求边的长度则分3个步骤：

（1）把所求的边放到直角三角形中，利用勾股定理或者三角函数解决 （2）把所求的边放到合适的三角形中，利用相似三角形来解决

利用勾股定理，相似三角形或者锐角三角函数时，通常需要设未知数，然后列方程求解 （3）若发现（1）和（2）行不通，则可以考虑等量代换或者求线段的和差，再回到（1）或（2）解决

圆中有非常多的直角三角形，所以相似一般是直角三角形的相似，包括：平行相似，错位相似，射影相似，共角相似，八字相似等

典题讲解：

1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：∠BDF=∠F； （2）如果CF＝1，sinA＝

AD3，求⊙O的半径． 5OEBCF

（2014北京丰台一模）

解题思路：

1：遇到相切：连半径得垂直； 2：遇到直径：联想所对圆周角为90°； 3：三角函数：直角三角形、相似；

解：（1）证明：连接OE，[来#%源:中国教育^&出版网@] ∵AC与圆O相切，

∴OE⊥AC，[来源:*&^中 …………………1分 ∵BC⊥AC， ∴OE∥BC， ∴∠1=∠F

又∵OE=OD，∴∠1=∠2 ∴∠BDF=∠F； ……………2分（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x， 又∵CF=1，∴BF=3x+1，[ww~w.zzs%#t@ep.^com] 由（1）得：∠BDF=∠F ，∴BD=BF， ∴BD=3x+1， ∴OE=OB=

， …………………3分

AO=AB﹣OB=5x﹣

=

，

∵sinA=，∴=，即=，………………4分

解得：x=， 则O的半径为=． ……………5分

AD2O1EBCF

（1）求证：AE 是⊙O 的切线；

（2）若 AB=AD，AC= 22，tan∠ADC＝3，求 CD的长．

6： 如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F． （1）求证：∠ABC=2∠CAF； （2）若AC=210，sin?CAF?

10，求BE的长． 10

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