修改过的近世代数

近世代数模拟试题二

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。

33???? ????e,ae,a,aaa,eA、 B、 C、 D、

2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设?1、?2、（1324），则A、?21?3是三个置换，其中?1=（12）（23）（13），?2=（24）（14），

?3=

?3=（ ）

22 B、?1?2 C、? D、?2?1

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。

6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。

a,a,?,an7、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----01使得a0?a1????an?

n4?0。

8、对任何x?A均成立x?a?x，则称a为---------。 a是代数系统(A,0)的元素，9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E中的运算，（E，?）是一个代数系统，问（E，?）是不是群，为什么？

3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。 2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶

2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）

A、（N,?） B、（Z,?） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),?)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）

A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果

f是

A与A间的一一映射，a是A的一个元，则

f?1?f?a???----------。

3、区间[1，2]上的运算a?b?{mina,b}的单位元是-------。 4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。 9、设群G

中元素a的阶为m，如果a?e，那么m与n存在整除关系为--------。

n

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？ 3、设有置换??(1345)(1245)，??(234)(456)?S6。

?11．求??和??；

?12．确定置换??和??的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题一 参考答案

一、单项选择题。

1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、??1,?1?,?1,0?,?1,1??2,?1?,?2,0?,?2,1??；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：把?和?写成不相杂轮换的乘积：

??(1653)(247)(8) ??(123)(48)(57)(6)

可知?为奇置换，?为偶置换。 ?和?可以写成如下对换的乘积：

??(13)(15)(16)(24)(27) ??(13)(12)(48)(57)

B?12(A?A?)C?12(A?A?)2、解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，

而C是反对称矩阵，且A?B?C。若令有A?B1?C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B?B1?C1?C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B?B1，C?C1，所以，表示法唯一。 3、答：（

Mm，

?m）不是群，因为

Mm中有两个不同的单位元素0和m。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、对于G中任意元x，y，由于

2?1个x，从x?e可得x?x）。

(xy)?e2，所以

xy?(xy)?1?y?1x?1?yx（对每

2、证明在F里

ab?1?ba??1ab(a,b?R,b?0)?

有意义，作F

?a??Q??所有?(a,b?R,b?0)b??的子集

Q显然是R的一个商域 证毕。

近世代数模拟试题二 参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：（E，?）不是群，因为（E，?）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17

由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明 设e是群的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

若x?∈G也是a*x＝b的解，则x?＝e*x?＝(a－1*a)*x?＝a－1*(a*x?)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，

a称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。 当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题三 参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、9、

mn；6、相等；7、商群；8、特征；

；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，?等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

3、解： 1．

???(1243)(56)，

???(16524)?1；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定?是R的一个理想而?不是零理想，那么a?0??，由理想的定

义a?1a?1??，因而R的任意元b?b?1??

这就是说?=R，证毕。

2、证 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。

《近世代数》模拟试卷（二）

一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A且x?B?。 （ ）

2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。 （ ）

4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ ） 6、群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1Hg?H。 （ ） 7、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。 （ ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ ） 9、F(x)中满足条件p(?)?0的多项式叫做元?在域F上的极小多项式。 （ ） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?p?同构的子域，这里Z是整

数环，?p?是由素数p生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、设A1,A2,?,An和D都是非空集合，而f是A1?A2???An到D的一个映射，那么（ ）

①集合A1,A2,?,An,D中两两都不相同； ②A1,A2,?,An的次序不能调换；

③A1?A2???An中不同的元对应的象必不相同； ④一个元?a1,a2,?,an?的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z上，a?b?a?bab； ②在有理数集Q上，a?b?ab；

③在正实数集R?上，a?b?alnb；④在集合?n?Zn?0?上，a?b?a?b。 3、设?是整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（ ）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）

①0和?x； ②1和0； ③k和x?2k； ④?k和?(x?2k)。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ ）

①bc?1a?1； ②c?1a?1； ③a?1bc?1； ④b?1ca。

6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果6，那么G的阶G?（ ）

①6； ②24； ③10； ④12。 7、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）

①f的同态核是G1的不变子群； ②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群； ④G1的不变子群的象是G2的不变子群。 8、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（ ） ①若a是零元，则b是零元； ②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。 9、下列正确的命题是（ ）

①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ） ①?E:I???E:I??I:F?； ②?F:E???I:F??E:I?； ③?I:F???E:F??F:I?； ④?E:F???E:I??I:F?。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）

1、设集合A???1,0,1?；B??1,2?，则有B?A? 。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f?1?f?a??? 。

3、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么

Ai?Aj?

。

4、设群G中元素a的阶为m，如果an?e，那么m与n存在整除关系为 。 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。 6、给出一个5-循环置换??(31425)，那么??1? 。

7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 。

8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R当I是 。

9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果 。 10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备

的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分） 1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。

4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d?d'。

5、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,?,an使得

a0?a1????an?nI是一个域当且仅

?0。

五、计算题（共15分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换

?1?1???1?22334??1?,?2???14???22344??1?,?3???23???21334??1?,?4???24???21344??3??

组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及?1?1,?2?1,?3?1,?4?1和G的所有子群。

2、设Z6???0?,?1?,?2?,?3?,?4?,?5??是模6的剩余类环，且f(x),g(x)?Z6?x?。如果计算f(x)?g(x)、f(x)?g(x)和f(x)??3?x??5?x??2?、g(x)??4?x??5?x??3?，

32f(x)g(x)以及它们的次数。

六、证明题（每小题10分，共40分）

1、设a和b是一个群G的两个元且ab?ba，又设a的阶a?m，b的阶b?n，并且(m,n)?1，证明：ab的阶ab?mn。

2、设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，将R的所有这样的变换构成一个集合G??f(a,b)?a,b?R,a?0?，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。

3、设I1和I2为环R的两个理想，试证I1?I2和I1?I2??a?ba?I1,b?I2?都是R的理想。

4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。

近世代数试卷参考解答

一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

× × √ √ × √ √ √ × ×

二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④ 三、填空题

1、??1,?1?,?1,0?,?1,1??2,?1?,?2,0?,?2,1??。 2、a。 3、?。 4、mn。 5、变换群。 6、?13524?。 7、?xiayi,xi,yi?R。 8、一个最大理想。 9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。 10、E的每一个元都是F上的一个代数元。 四、改错题

1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。

结合律与交换律

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

消去律成立

3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。

S=I或S=R

4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d=d′。

一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子

5、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,?,an使得

a0?a1????an?n?0。

不都等于零的元

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