概率六习题

第六章 参数估计

一、 填空题

1．设总体X~U[??,?](??0),x1,x2,2. 设总体X~B(N,p),,xn为样本，则?的一个矩估计为__________.

p为未知参数，X1,X2,2,Xn是来自总体X的一个样本，则参

数p的矩估计量是 ；p的最大似然估计量是 。

2．从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，测得如下数据（单位：小时）： 1050 1100 1130 1040 1250 1300 1200 1080

设电子元件的寿命服从指数分布，试对这批元件的平均寿命的矩估计为 。

3．设总体X~U(0,?)，现从该总体抽取容量为10的样本，样本值为 0.5 1.3 0.6 1.7 2.2 1.2 0.8 1.5 2.0 1.6 则参数?的矩估计为 。

4． 设X1,X2,2

,Xn为来自总体N?,?2的一个样本，?,?2都是未知参数，则?的

??矩估计量是 ；

?的最大似然估计量是 。 2?n5. 设X1,,Xn为来自U(?,1)(??0)的一个样本，X?1?Xi,则未知参数?的

ni?1矩估计量是 .

6. 设X1,,Xn为来自U(0,?)(??0)的一个样本，X?1n?X,则未知参数?ii?1n的矩估计量是 ，最大似然估计是 .

7. 设总体X的密度函数为f(x;?)?知参数，X1,8．设X1,x1exp(?)，???x???，其中??0为未2??Xn为取自总体X的样本，则 ?的矩估计量为___ ___。 Xn是来自总体分布为p(x;?)??x??1,0?x?1,??0的一组样本，则其一

个充分统计量为____________。

9. 设总体X的密度函数为p(x;?)?2?2(??x),0?x??,??0,x1,x2,,xn为其

样本，则?的矩估计为 .

10. 随机地取7只活塞环，测得它们的直径（以mm计）

74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 则总体均值的矩估计值为 ，方差的矩估计值为 。

11. 设总体X~f(x)=

其中，c>0为已知，>1, 为未知参数，是总体的

一个样本，则参数的极大似然估计量为 ；参数的矩估计量为 。

12. 设总体X~f(X)=

其中>0, 为未知参数，是总体的一个样本，

则参数的矩估计量为 。

13. 设总体X~p{X=x}=

一个样本，则参数p的矩估计量为 。

14. 设总体X~f(x)= =

,p为未知参数，是总体的

; 其中>0, 为未知参数，是总体的一个样本，

则参数的矩估计量为 。

15. 设

是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，则的最大似然估计为 ，矩估

计量为 。

16．设X1,X2,,Xn为来自总体U??,??1?(??0)的一个样本，?是未知参数，则

?的矩估计量是 。

?x?x?e2?,x?017．设总体X的密度函数为 p(x)???,

?0,x?0,?则?的最大似然估计量是 。 ??0为未知参数，X1,X2,,Xn是来自总体X的一个样本，

18．设总体的密度函数为

2?e?(x??),x??,p(x)??

x??,?0,??0为未知参数，X1,X2,,Xn是来自总体X的一个样本，则?的矩估计是 。

19．设X1,X2,,Xn为来自总体N?,??2?的一个样本，c??Xi?1nn?1i?1?Xi?为?2的无

2偏估计，则常数c? 。

20．设X1,??c?Xi?X为?的无,Xn为来自N(?,?)的一个样本，欲使?2i?1偏估计，则常数c= .

21．设总体为X~P(?)，则总体分布的费希尔信息量I(?)? 。

22．设总体为X~Exp??1??，则总体分布的费希尔信息量I(?)? 。 ???223．设总体分布为P?X?x??(x?1)??1???x?2,x?2,3,,0???1,则总体分

布的费希尔信息量I(?)? 。

24．设未知参数?的后验分布贝塔分布Be(x?1,n?x?1),则?的贝叶斯估计为 . 25．设X1,X2,,Xn是来自几何分布的样本，总体的分布列为

P(X?k?)??(1??)k,k?0,1,2,,

?的先验分布为U(0,1)，则?的后验分布为 ；若4次观测值为4，3，1，

6，则?的贝叶斯估计为 。

26．设X1,X2,,Xn是来自总体p?x???2x?2,0?x??的一个样本。

（1） 若?的先验分布为均匀分布U(0,1)，则?的后验分布为 ； （2） 若?的先验分布为均匀分布?(?)?3?,220???1,则?的后验分布为 。

27．由来自正态总体X~N(?,0.9)，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值

X?5，则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为 。

28. 设总体X的方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得均值为5，则X的期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。

29．在一批货物中随机抽取80件，发现11件不合格品，则这批货物的不合格品率置信度为0.90的置信区间为 。

30．设从总体X~N??,??和Y~N??,??中分别抽取容量为n1212221?10,n2?15的

独立样本，计算得x?82,sx?56.5,y?76,sy?52.4。

22（1）若已知?1?64,?2?49,则?1??2的置信度为0.95的置信区间为 。 222（2）若?1??2??未知，则?1??2的置信度为0.95的置信区间为 。

22二、选择题

1. 设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则下列结论中正确的是（ ）.

（A）X1是?的无偏估计量； （B）X1是?的极大似然估计量； （C）X1是?的一致（相合）估计量； （D）X1不是?的估计量.

2．设X1,X2,?,Xn是总体X的样本，EX??,DX??2，X是样本均值，S2是样本方差，则（ ）.

??2?2 （A）X~N??,?； （B）S与X独立；

n??(n?1)S2222~?(n?1)S （C）； （D）是的无偏估计量. ?2?22

3．设X1,X2,?,Xn是总体N(0,?)的样本，则（ ）可以作为?的无偏估计量.

1n21n2Xi； （A）?Xi； （B）?ni?1n?1i?11n1nXi. （C）?Xi； （D）?ni?1n?1i?1 4．设总体X服从区间[??,然估计为（ ）

（A）max{x1,?,xn}； （B）min{x1,?,xn} （C）max{|x1|,?,|xn|} （D）min{|x1|,?,|xn|}

?]上均匀分布(??0)，x1,?,xn为样本，则?的极大似

1n25. 设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立且同分布，X??Xi，S?

ni?11n(Xi?X)2，D(Xi)??2则S（ ）。 ?n?1i?1 A、是?的无偏估计

B、是?的最大似然估计

C、是?的一致估计（相合估计）

6. 设总体X的密度函数为：P(x,?)??e11??xD、与X相互独立

其中??0为未知参数，,x?0,其他为0，

1n(X1,X2,,Xn)是从总体X中抽取的样本，记X?n?Xi?1ni，则?的最大似然估计为（ ）

12（A） X （B）X （C）Sn?1n?(Xi?1i?X) （D）S22?2n?1n－1?(Xi?1ni?X)2

??0，则??是?的 ( ) ?是?的无偏估计，且Var?7. 设?2(A) 无偏估计量 (B) 有效估计量 (C) 有偏估计 (D) A和B同时成立

2（X1，X2，,Xn）?2已知，8. 设总体X服从正态分布N(?,?)，其中?为未知参数，

n为取自总体的样本，记X?1n?Xi?1i，则 （X－u59.0?n,X5?9.0u?n) 作为 ?的置信区间，

其置信度为 （ ）

（A）0.95 （B）0.90 （C）0.975 （D）0.05

三、计算题 1. 设

是总体的一个样本，各总体的密度函数为f(x)=

;其中>0，

，为未知参数，求未知参数的矩估计量。 2. 设

是总体的一个样本，求下述各总体的密度函数或分布律中未知

参数的最大似然估计。 （1） f(x)=

其中，c>0为已知，>1, 为未知参数。

（2） f(X)= 其中>0, 为未知参数。

（3） p{X=x}=,p为未知参数。

4. 设某厂生产的晶体管的寿命X~Exp??1?? ，其中??0未知。现随机地抽取???5只晶体管进行测试、测得它们的寿命(单位：小时)如下：

518 612 713 388 434

试求该厂晶体管的平均寿命的极大似然估计值。

5. 设总体X的概率密度为

?(??1)x? f(x)???00?x?1其他

其中未知参数???1，X1,X2,?Xn是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和极大似然估计法求?的估计量。

?6x?(??x)0?x??6. 设总体X的概率密度为：f(x)???3，设X1,X2,?Xn是取

?其他?0?的方差Var(??)。 自总体的简单随机样本。（1）求的?矩估计量；（2）?7. 设某种元件的使用寿命X的概率密度为

?2e?2(x??), f(x;?)???0,x?? x??其中??0为未知参数。由设x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值，求参数?的最大似然估计值。

8. 设总体X的概率密度为

???axa?1e??x f(x)???0?ax?0,(??0,a?0) x?0据来自总体X的简单随机样本(X1,X2,?,Xn)，求未知参数?的最大似然估计量。

9. 设总体X具有分布律： X 其中

1 2 3 ，试求的矩估计值

为未知参数。已知取得了样本值

和最大似然估计值。

10. 设某种电子器件的寿命（以小时计）T服从双参数的指数分布，企概率密度为

，

其中c,间依次为

为未知参数。自一批这种器件中随机地取n件寿命试验，设它们的失效时

。试求：（1）与C的最大似然估计； （2）与c的矩估计。

11.（1）设即X服从对数正态分布，验证

（2）设自（1）中的总体x中取一容量为n的样本，，求E(X)的最大似然估计。

此处设均值为未知。

（3）已知在文学家肖伯纳德《An Intelligent Woman’s Guide To Socialism》一书中， 一个句子的单词数近似地服从对数正态分布，设

为未知，今该书中随机地取20个句子，

这些句子中的单词数分别为

52 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30 问这本书中，一个句子字数均值的最大似然估计值等于多少？

12. 设x1,x2,,xn是来自正态总体N(?,?2)的样本，

?,??2； （2）求E(??2). （1）求?,?2的矩法估计?

13. 设X1,,Xn为来自总体X的一个样本，X的密度函数为

?e?(x??),x??p(x,?)??.

其他?0,（1） 试证，?的最大似然估计为X(1)；（2）试证，X(1)不是?的无偏估计，但

1（3）试求XX(1)?是?的无偏估计；

n14. 设x1,x2,(1)的方差Var?X(1)?。

,xn是来自均匀总体U(0,?)的样本，

?； （2） 证明?的最大似然估计??是相合估计. （1） 试求?的最大似然估计?15. 设

是来自总体X的一个样本，E(X)=

为的无偏估计。 的无偏估计

??1

（1） 确定常数C使（2） 确定常数C 使

样本均值和样本方差。

16. 设总体密度函数为p(x;?)??x,0?x?1,??0,，x1,x2,,xn是其样本。

（1） 求该总体分布的费希尔信息量I(?)； （2） 求g(?)?1/?的最大似然估计；（3）求g(?)的有效估计。

17. （1）设

是来自总体X的一个样本，且

，求P{X=0}的极大似

然估计值。（2）某铁路局证实一个板道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布，

求一个扳道员在五年内所引起严重事故的概率p极大似然估计，使用下面122个观察值，

下表中r表示一扳道员某五年内引起严重事故的次数，s表示观察到得扳道员人数。

r s

18. 设(X1,0 1 2 44 42 21 3 9 4 4 5 2 ,Xn)是来自正态总体的分布为P(X?x?)??(1??)x,x?0,1,,

?的先验分布为?(?)~U(0,1)，求:(1) ?后验分布；(1) ?的Bayes估计??B

19. 设一页书上错别字个数服从泊松分布P(?)，?有两个可能取值：1.5和1.8，且 先验分布为：P(??1.5)?0.45,P(??1.8)?0.55，现检查了一页，发现有3个错别字，试求?的后验分布。

20. 设X1,X2,,Xn1为取自几何分布的样本，总体分布列为

P?X?k????(1??)k,k?0,1,2,,

?的先验分布为均匀分布U(0,1)。

（1） 求?的后验分布； （2） 若4次观测值为4，3，1，6，求?的贝叶斯估计。

21. 设X1,X2,,Xn1为来自如下总体的一个样本

p?x????x??1,0?x?1.

若?的先验分布为伽玛分布，即?~Ga(?,?)，求?的后验期望估计。

22. 设X1,X2,,Xn1为来自均匀分布U(0,?)的样本，?的先验分布为Pareto分布，

??0?其密度函数为?(?)???1,???0，其中?,?0是两个已知的常数，求?的贝叶斯估计。

?23. 设某种油漆的9个样品，某干燥时间（以小时计）分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设某干燥时间总体服从正态分布N(

)，求的置信度为0.95的置信区间。

2（1）若由已经经验已知??0.6（小时） （2）若?为未知。 224 分别用金球和铂球测定引力常数（单位：

）

(1)用金球测定观察值为：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 （2）用铂球测定观察值为：6.661 6.661 6.667 6.667 6.664 设测定值总体为N(

)，，

均为未知，试就（1）（2）两种情况分别求的置信度为

0.9的置信区间，并求的置信度为0.9的置信区间。

25. 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的速度的标准差的置信度为0.95的置信区间。

26. 在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现有16只次品，试求这批货物次品

率的置信度为0.95的置信区间。

二、 应用题

1. 一地质学家为研究密歇根湖湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品种有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并且由过去经验知，它们都服从参数为n=10，p的二项分布，p是该地区一块石子是石灰石的概率，求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下： 样品中属石灰石的石子数 观察到石灰石的样品个数 0 1 2 0 1 6 3 7 4 23 5 26 6 21 7 12 8 3 9 1 10 0 2. 某铁路局证实一个板道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布，求一个扳道员在五年内所引起严重事故的概率p极大似然估计，使用下面122个观察值，下表中r表示一扳道员某五年内引起严重事故的次数，s表示观察到得扳道员人数。

r s 0 44 1 42 2 21 3 9 4 4 5 2 3. 随机地从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻（欧）为

A批导线 0.143 0.142 0.143 0.137

B批导线 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140

设测定数据分别来自分布N(试求

)，N(

)且两样本相互独立，又，

均为未知，

的置信度为0.95的置信区间

4. 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧 的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为

,得燃烧率的样本均值分别为

的置信度为0.99

设两样本独立，求两燃烧率总体均值差

的置信区间。

5. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氧量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为

的方差，设总体均为正态的，求方差比

设

分别为A,B所测定的测定值总体

的置信度为0.95的置信区间。

6. 为研究某中汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止，记录所行驶的路程（以公里计）如下：

41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400 假设这些数据来自正态N(

四、证明题与综合题 1. 试证明均匀分布

中未知参数的极大似然估计量不是无偏的。

)，其中

未知，试求的置信度为0.95的单侧置信下限。

2. 设从均值为，方差为的总体中，分别抽取容量为的两独立样本，都是的无偏估计，并确

分别是两样本的均值，试证：对于任意常数a,b,(a+b=1),Y=a+b定常数a,b使

达到最小。

)和N(

中抽取容量为

3. 设分别自总体N(方差分别为

的两独立样本。其样本

试证，对于任意常数a,b,(a+b=1),z=a+b都是的无偏估计，并确定常数

a,b使D(Z)达到最小。

4. 设x1,x2,,xn是来自均匀总体U(0,?)的样本，

?； （2） 证明?的最大似然估计??是相合估计. （1） 试求?的最大似然估计?

5. 设X1,,Xn为来自总体X的一个样本，X的密度函数为

?e?(x??),x??p(x,?)??.

其他?0,（1） 试证，?的最大似然估计为X(1)；（2）试证，X(1)不是?的无偏估计，但

1（3）试求XX(1)?是?的无偏估计；

n6. 设x1,x2,2(1)的方差Var?X(1)?。

,xn是来自均匀总体N(?,?2)的样本，

1n1n22x?x（1） 试求?,? 的最大似然估计； （2） 证明x??xi,s????ini?1n?1i?1分别为?,?2的UMVUE.

7. 设X1,X2,,Xn1是来自总体X~Exp?1/??的一个样本，试证X和nX(1)都是?的无偏估计，并比较其有效性。

8. 设X1,X2,,Xn1是来自正态总体N(?,?2)的样本，证明，

分别为?,?的最小方差无偏估计（UMVUE）。

221n1n2X??Xi,S?X?X??i?ni?1n?1i?19. 设X~N(0,?)，X1,2

2

2,Xn为其一组样本，

2

2

?; （2） 证明??是?的无偏、相合估计； （1）求?的最大似然估计??是?的有效估计。 （3）证明?10. 设总体为指数分布Exp(1/?)，x1,x2,2

2

,xn是样本，

1n（1） 求该总体分布的费希尔信息量I(?)； （2）证明x??xi是?的最小方差无偏

ni?1估计。

11. 设K台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为

用这些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到

。设仪器都没有系统误差，即

取何值，方能使用

估计时，是无偏的，并且D()最小。

，问

应

12. 设X1,X2,,Xn1是来自总体X~p(x,?)?e?(x??),x??的样本，

?，它是否是相合估计？是否是无偏估计； （1）求?的最大似然估计?1?，它是否是相合估计？是否是无偏估计； （2）求?的矩估计?2??X?c的估计，求使得??的均方误差达到最小的c， （3） 考虑?的形如? c(1)c?和??的均方误差进行比较。 并将之与?1213. 设X1,X2,21,Xn1是来自正态总体N(?,?2)的样本，对考虑如下三个估计

2221n1n1n22??????Xi?X?,?3?n?1??Xi?X? ??Xi?X?,?2?n?n?1i?1i?1i?1（1） 哪一个是的无偏估计？ （2） 哪一个均方误差最小？ 14. 设X1,X2,,Xn1为取自正态总体N(?1,1)的容量为n1的样本，Y1,Y2,,Yn2为取

自正态总体N(?2,4)的容量为n2的样本，且两样本相互独立。

?； （1）求???1??2的矩估计??的方差达到最小。 （2）如果n?n1?n2固定，试问如何分配n1和n2才能使得?15. 设总体X服从指数分布，其概率密度为

从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,

,Xn

(1) 证明：

2nX?~?2(2n)；

(2) 求?的置信水平为1??单侧置信下限 （3）某种元件的寿命（以小时计），服从上述指数分布，现从中抽得一容量n=16的样本，测得样本均值为5010（小时），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。

12. 设X1,X2,,Xn1是来自总体X~p(x,?)?e?(x??),x??的样本，

?，它是否是相合估计？是否是无偏估计； （1）求?的最大似然估计?1?，它是否是相合估计？是否是无偏估计； （2）求?的矩估计?2??X?c的估计，求使得??的均方误差达到最小的c， （3） 考虑?的形如? c(1)c?和??的均方误差进行比较。 并将之与?1213. 设X1,X2,21,Xn1是来自正态总体N(?,?2)的样本，对考虑如下三个估计

2221n1n1n22??????Xi?X?,?3?n?1??Xi?X? ??Xi?X?,?2?n?n?1i?1i?1i?1（1） 哪一个是的无偏估计？ （2） 哪一个均方误差最小？ 14. 设X1,X2,,Xn1为取自正态总体N(?1,1)的容量为n1的样本，Y1,Y2,,Yn2为取

自正态总体N(?2,4)的容量为n2的样本，且两样本相互独立。

?； （1）求???1??2的矩估计??的方差达到最小。 （2）如果n?n1?n2固定，试问如何分配n1和n2才能使得?15. 设总体X服从指数分布，其概率密度为

从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,

,Xn

(1) 证明：

2nX?~?2(2n)；

(2) 求?的置信水平为1??单侧置信下限 （3）某种元件的寿命（以小时计），服从上述指数分布，现从中抽得一容量n=16的样本，测得样本均值为5010（小时），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。

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