朝阳区2016初三一模数学试题与答案

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朝阳区

2016.5

一模数学

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．

市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213

处祭扫点接待群众264000人，将264000用科学计数法表示应为

3456

A．264 10 B．2.64 10 C．2.64 10 D．0.264 10

2．实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是

A．a与b B．b与c C．c与d D．a与d

3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是 A．

1211

B． C． D．

3992

4．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是

A B C D

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE的度数为 A．40º B．50º C．60º D．130º

5题 6题

6．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为 A．3300m B．2200m C．1100m D．550m

7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示：

甲乙甲乙

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22

A．x甲=x乙，s甲＜s乙

22

B．x甲=x乙，s甲＞s乙 22D．x甲＞x乙，s甲＞s乙

22

C．x甲＜x乙，s甲＜s乙

8．如图，△

的长为 ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6， A 60 ，则BC

A．2π B．4π C．6π D．12π

8题 9题 10图1

9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为

A．（–2，–4） B．（–1，–4） C．（–2，4） D．（–4，–1）

10．如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且 AGH 30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的

A． 线段CG B． 线段AG C． 线段AH D． 线段CH

三、填空题（本题共18分，每小题3分）

11x的取值范围是____________．

223

12．分解因式：ab 6ab 9b ____________．

2

13．关于x的方程x 2x 2k 4 0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k =____________．

14．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．

《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”

译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．

15．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒．

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16．阅读下面材料：

数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．

已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．

小艾的作法如下：

如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点； （2）分别以点D和点E为圆心，大于（3）作直线CF．

所以直线CF就是所求作的垂线．

老师表扬了小艾的作法是对的．

请回答：小艾这样作图的依据是____________．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题

5

分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：( 2) 1) 4cos45 ．

18．已知m

1

1

DE长为半径作弧，两弧相交于点F； 2

1

1，求(2m 1)(2m 1) m(m 5)的值． m

3(x 1) 6x,

19．解不等式组 并写出它的所有整数解． x 1

x . 2

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20．如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE = EF．求证： BAC= 2∠1．

A

21．台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入， 2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．

22．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF =∠BAE． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形 ； （2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．

BE

C

F

A

D

23．在平面直角坐标xOy中，直线y x b与双曲线y (1) 求m的值和点B的坐标； (2) 点P在双曲线y

m

的一个交点为A（2，4），与y轴交于点B． x

m

上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标． x

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24．如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C． (1) 求证：DB平分∠PDC； (2) 若DC=6，tan P

3

，求BC的长． 4

P

25．阅读下列材料：

人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%； 2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．

“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张． 根据以上材料回答下列问题：

(1)到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；

(2)选择统计表或统计图，将2013年––2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表．示出来；

(3)预测2016年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．

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26．观察下列各等式：

222 =2 ，

33

( 1.2) 6 ( 1.2) 6，

11

( ) ( 1) ( ) ( 1)， 22

根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：

（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的

（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：

3＝ 3；

（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：

＝

（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等

式；若不存在，说明理由．

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x bx c经过点（0，–3），（2，–3）． （1）求抛物线的表达式；

（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；

（3）将y

x bx c（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点 N．若只有当1<a<3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．

2

2

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28．在等腰三角形ABC中， AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB． （1）当∠C=90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数； （2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；

（3）连接AD，若∠C =30º，AC=2，∠APC=135º，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）

P

BA

B

A

图1

图2

29．在平面直角坐标系xOy中，A（t ，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”． （1）若

t=-

3 3 E , C 0 ,D ，中，线段AB的“等角点”是 ； 2 2 22

（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．

①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标； ②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；

③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是 ．

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北京市朝阳区九年级综合测试（一） 数学试卷评分标准及参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

29题8分） 17．解：原式=

=

1 ……………………………………………… …4分 1 4

22

1

． ……………………………………………………………………… 5分 2

18．解：原式=4m2 1 m2 5m ………………………………………………………… 2分 =5m2 5m 1 ………………………………………………………………… 3分 =5(m2 m) 1． m

1

1， m

2

m m 1． …………………………………………………………… 4分

∴原式=4． …………………………………………………………………… 5分

3(x 1) 6x,

①

19．解： x 1

x . ② 2

解不等式①，得x>-1．………………………………2分 解不等式②，得x≤1． ……………………………… 3分

∴不等式组的解集是 1<x≤1．………………………… 4分 ∴原不等式组的所有整数解为0，1． ……………………5分 20．证明：∵EF∥AB，

∴∠1=∠FAB．…………………… 2分

∵AE=EF ，∴∠EAF=∠EFA． ……………… 3分

∵∠1=∠EFA，∴∠EAF=∠1．…………………… 4分 ∴∠BAC=2∠1． …………………5分

21．解：设北京故宫博物院约有x万件藏品，台北故宫博物院约有y万件藏品．. …… 1分 依题意，列方程组得

E

A

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x y 245，

…………………………………………………………………………3分

x 2y 50.

x 180，

………………………………………………………………………………5分

y 65.

解得

答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 22.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB DC, B DCF=90º．

∵ BAE CDF， ∴△ABE≌△DCF．………………1分 ∴BE CF． ∴BC EF．

∵BC AD, ∴EF AD．………………………2分 又∵EF∥AD，

∴四边形AEFD是平行四边形．………………………3分 （2）解：由（1）知，EF=AD= 5．

在△EFD中，DF=3，DE=4，EF=5，

∴DE DF EF． ∴∠EDF=90º．………………………………4分

2

2

2

BE

C

F

A

D

1211

ED DF EF CD． ∴CD ． …………………………5分

522

m

23.解：（1）∵双曲线y 经过点，A（2，4），

x

∴m 8．………………………………………………………………………1分 ∵直线y x b经过点A（2，4），

∴

∴b 2．…………………………………………………………………………2分

∴此直线与y轴交点B的坐标为（0，2）. …………………………………3分 （2）(8，1)，(-8，-1)． .…………………………………………………… 5分 24.（1）证明：如图，连接OD． ∵DP是⊙O的切线， ∴OD⊥DP．

∴ ODP 90 ． ………………………………………………………1分 ∴ ODB BDP 90 . 又∵DC⊥OB， ∴ DCB 90 ．

∴ BDC OBD 90 ． ∵OD=OB，

∴ ODB OBD. ∴ BDP BDC．

∴DB平分∠PDC ．……………………………………………………………2分 （2）解：过点B作BE⊥DP于点E． ∵ BDP BDC,BC⊥DC， ∴BC=BE. ……………………………………3分

A

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∵DC=6，tan P

3， 4

∴DP=10，PC=8．……………………………… 4分 设CB=x , 则BE=x，BP=8- x． ∵△PEB∽△PCD，

A

x8 x ． 610

∴x 3．

∴

∴

BC 3. ……………………………………………………………………… 5分

25.（1）296.7． ………………………………………………………………………………1分 （2）统计表如下：

2013–2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例统计表

（3）14； ……………………………………………………………………………………4分

能满足老年人的入住需求. 理由：根据2013–2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约

14

万张，所以能满足老年人的入住需

求． ……………….…………….…………….…………………………………………5分 26.解：（1）差，积；…………………………………………………………………………1分 分 分 （4）存在. 设这两个实数分别为x，y．

可以得到 x y xy. ……………………………………………………4分 ∴y

x

． x 1

∴y 1

1

． x 1

∵ 要满足这两个实数x，y都是整数，

∴ x+1的值只能是 1．

∴当x 0时，y 0；当x 2时，y 2．

∴满足两个实数都是整数的等式为0 0 0 0，( 2) 2 2 2．…5分 27.解：（1）把（0，–3）代入y x bx c，

2

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∴c 3．

把（2，–3）代入y x2 bx 3， ∴b 2．

y x2 2x 3． ………………2分 （2）由（1）得y (x 1)2 4． ∴顶点坐标为（1，–4）．……………3分

由x2 2x 3 0解得x1 3,x2 1．

∴抛物线与x轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．…………………………5分 （3） 6． .……………………………………………………………………7分

28.解：（1）如图，补全图1． …………….………………………………………………1分

∠DBA=90 ． ……………….………………………………………………2分

（2） 过点P作PE∥AC交AB于点E． ………………………………………………3分 ∴ PEB CAB．

∵ AC=BC，

∴ CBA CAB． ∴ PEB PBE． ∴PB PE．

又∵ BPD DPE EPA DPE ， ∴ BPD EPA． ∵PA PD，

∴△PDB≌△PAE．…………………………………………………………4分 ∵ PBA PEB

P

B

E

A

11

(180 ) 90 ， 22

1

． 2

P

∴ PBD PEA 180 PEB=90

∴ DBA PBD PBA . …………………………………………5分 （3）求解思路如下： a．作AH⊥BC于H；

b．由∠C =30º，AC=2，可得AH=1，

BH=2 勾股定理可求AB； ………………………………………6分 c．由∠APC=135 º，可得∠APH=45 º，

； d．由∠APD=∠C=30º，AC=BC，AP=DP，

可得△PAD∽△CAB，由相似比可求AD的长． ……………7分 29.解：（1）C，D． ……….…………….………….…….………….………………2分 （2）①如图，

H

B

A

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∵∠APB=60°，∠ABP=90°， ∴∠PAB=30°，

又∵∠OMN=30°，

∴PA PM,AB BM. ……………3分

∵AB 3，

∴BM

∴PB 1．

∴P

（61）． .………..……….….………….………….…………4分 ②∵BQ⊥AP，且∠APB=60º，

∴∠PBQ=30º. ∴∠ABQ=60º.

∴∠BMQ =∠MQB=30º. ……5分 ∴BQ = BM =AB.

∴△ABQ是等边三角形. ∴

∠

AQB=60

M

N

M

N

º. ………………………………………………………6分

同理，当点N在x轴下方时,可得P

（1），∠AQB=90º. ………7分

③1

说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.

t 4…………………………………………………8分 2

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