解析几何离心率专题突破

椭圆的离心率0?e?1，双曲线的离心率e?1，抛物线的离心率e?1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e?2x2例1：已知双曲线2?y2?1（a?0）,直线x?aacc来解2012年5月6日星期日决。 a与抛物线y2??6x的准线重合，则该双曲线的离

心率为（ ）

A.

33623 B. C. D.

2232

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1?1,0?、F2?3,0?，则其离心率为（ ）

A.

3211 B. C. D. 4324336 B. C. D 2

222变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

x2y2变式练习3：已知椭圆2?2?1（a?b?0），点P（-3，1）在直线

aba2上，过点P且方向为

x??ca??2,?5?的光线，经直线y??2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A

1132 B C D 3232=0，若△F1PF2

变式练习4：P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为 （ ）

A． B． C． D．

二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2?2?1（a?0,b?0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，

ab若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 4?23 B.

3?1 C.

3?1 D. 23?1

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x2y2

例3、从椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，A是椭圆与x轴正半轴

ab1

的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )

A.C.2 42 2

1B. 2D.3 2

x2y2例4、如图，点A,F分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点

abB，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C,D两点，若

CD5?,则椭圆的离心率为 . AB2

x2y2变式练习1：设双曲线2?2?1（0?a?b）的半焦距为c，直线L过?a,0?，?0,b?两点.已知原点到

ab直线的距离为

3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2 B. 3 C. 2 D.

23 3变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，?F1MF2?1200，则双曲线的离心率为（ ）

A

3 B

663 C D

323

变式练习3：

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x2y2变式练习4：已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为

abB，若椭圆C的中心到直线AB的距离为6|F1F2|，则椭圆C的离心率e?（ ） 6A．

2323 B． C． D． 2233，它的左、右焦点分别F1，F2，左右顶点为

变式练习5：已知双曲线C的方程为

A1，A2，过焦点F2先做其渐近线的垂线，垂足为p，再作与x轴垂直的直线与曲线C交于点Q，R，若PF2，A1A2，QF1依次成等差数列，则离心率e= （ ） A．

B．

C．

或

D．

x2y2变式6、椭圆?:2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2c，若直线y?3?x?c?与椭圆

ab的一个交点满足?MF1F2?2?MF2F1,则该椭圆的离心率等于_____.

五、构建关于e的不等式，求e的取值范围 例1：已知点F1，F2为椭圆

则此椭圆的离心率的取值范围是（ ） A．（0，

） B．（0，

] C．（

，

]

D．[

，1）

的左右焦点，若椭圆上存在点P使得

，

例2、已知F1,F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1?PF2,则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A．??5??2???5?2?,1?,10,0, B．? C． D．????? ?????5??2??5??2?

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x2y2例3、已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)与圆C2:x2?y2?b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切

ab线PA,PB,切点为A,．B使得?BPA??3，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）

A．[

32231,1) B．[,1) D．[,1) ,] C．[22222x2y2变式1：已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x?4y?0交

ab椭圆E于A,B两点．若AF?BF?4，点M到直线的距离不小于（ ） A． (0,4，则椭圆E的离心率的取值范围是53333] B．(0,] C．[,1) D．[,1)

4422?????????22变式2：已知F1(?c,0),F2(c,0)为椭圆x?y?1的两个焦点，P在椭圆上且满足PF1?PF2?c2，则此椭圆离心

a2b2率的取值范围是（ ）

2A．[3,1) B．[1,1] C．[3,2] D．(0,]

233232

方法、技巧、规律】离心率是圆锥曲线的核心概念，求离心率的值或取值范围即寻求a,b,c间的等量关系

222和不等关系并结合a?b?c求解．该类问题往往是数学知识的交汇点，数学思想和方法的综合点，往

往有两种题型，即显示约束条件和隐藏约束条件．两种解题方向，即以形为主的解题方向，注意结合平面几何知识求解；以数为主的解题方向，要注意方程和不等式的联系．

【探源、变式、扩展】与椭圆焦点三角形有关的问题有意考查椭圆的定义、正弦定理或余弦定理、三角形边的关系、面积公式、基本不等式等，其中包含关于a,b,c的等量关系和不等关系，借此可确定离心率的值或取值范围．

例6：如图，已知梯形ABCD中，AB?2CD，点E分有向线段AC所成的比为?，双曲线过C、D、

E三点，且以A、B为焦点．当

23???时，求双曲线离心率e的取值范围。 34解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图所示的直角坐标系

xoy，则CD?y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线

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的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A??c,0?，C?,h?，E?x0,y0?，其中c?线的半焦距，h是梯形的高．

?c?2??1AB为双曲2?c???由定比分点坐标公式得x0?c222????2?c，y??h，设双曲线的方程为x?y?1，则离

01??2?1???1??a2b2cc2h2?2?1① 心率e?，由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得2a4abc2将点E的坐标代入双曲线方程得

4a2h2??????2????2???1② 1??1??b????22ce2h2h2e2?2?1，∴2??1③ 再将e?①、②得

a4b4be24h2??????2????2???1④ 1??1??b????22e2?4?4???1?2?，∴??1?23，由题设2???3得： 将③式代入④式，整理得

34e?24233?1?2?，解得7?e?10，所以双曲线的离心率的取值范围为3e?24

配套练习

１．过双曲线

x2y2??1a2b2(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于

?7,10?

x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN

为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． ２．如图F1，F2分别是椭圆

的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半

径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为

（ ） A．

B． C．

D．

３．已知双曲线，过其右焦点作圆的

两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则

双曲线的离心率为 .

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4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线

与双曲

线C1共焦点，C1与C2在第一象限相交于点P，且|F1F2|=|PF1|，则双曲线的离心率为 ． 5．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2线与圆x2+y2=b2相切于点A，并与椭圆

C交与不同的两点P，Q，如图，PF1⊥PQ，若A为线段PQ的靠近P的三等分点，则椭圆的离心率为 （ ） A．

B．

C．

D．

6． 在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作双曲线C

的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．若为 ．

=2，则双曲线的离心率

7.如图，双曲线-=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则： （Ⅰ）双曲线的离心率e= ；

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值= ．

8.已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C

上恰好有6个 不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离

心率的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

9、已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小

值为，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）

A. B. C.

D.

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x2y210、.如图，F1，F2分别是双曲线C：2?2?1(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的

ab两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率

是 ( )

236A．3 B．2 C．2 D．3 11.双曲线C的方程为－=1（a＞0，b＞0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M．若（ ） A．（1，

] B．（

，

） C．（

，

） D．（

，+∞）

=λ

，且λ∈（，），则双曲线的离心率的取值范围为

x2y2012．设F1、F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使?F1AF2?90，且

abAF1?3AF2，则双曲线离心率为（ ）

A

5 2 B

10 2 C

15 2 D

5

x2y2013．已知双曲线2?2?1（a?0,b?0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线

ab的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ?1,2? B ?1,2? C ?2,??? D ?2,???

x2y214．椭圆2?2?1（a?b?0）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为M、N，若

abMN?2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．?0,? 2??1??B．?0,???2?? 2? C．?,1?

?1??2?D．?

?2?

,1? ??2?

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