2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点

[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

(1) 如图1，设P的坐标为(x, y) (x ≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为

minf(x,y)?ky?x2?(a?y)2?(c?x)2?(b?y)2

图1

只需考虑1?k?2的情形。对上述二元费用函数求最小值可得（不妨假设a?b） (a) 当 c?4?k222*(b?a)时，P?(0,a)，fmin?(b?a)?c?ka ； k4?k24?k2(b) 当(b?a)?c?(b?a)时，

kk?4?k2?1c1k2?P?(a?b)?,(a?b?c)?，fmin?(a?b)k?4?kc；

?2k2224?k2???*??ac4?k2*,0)，fmin?(a?b)2?c2。 (c) 当c?(b?a)时，P?(a?bk对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令k = 1。

本小题的评阅应注意模型的正确性，结果推导的合理性及结果的完整性。

(2) 对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更：

(a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。注意：公司一的权值应大于公司二和公司三的权值，公司二和公司三的权值应相等。

(b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z（参见图2）。

图2

一般情况下，连接炼油厂A和点Q到铁路线的输油管最优布置应取上述(1)(b)的结果，因此管道总费用最省的数学模型成为

ming(z)?其中t表示城乡建设费用的比值。

当 z*?b?1(a?z?3c)?t?(b?z)2?(l?c)2 2l?c4t?12时，g(z)取得最小值

g(z*)?1(a?b?3c?4t2?1(l?c))。 2若在建立正确的模型后，用优化软件进行数值求解也是可取的。 两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(5.4462,1.8556)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3715)，最小费用为283.5373万元。当权重取为1:0:0时，P点坐标为(5.4593,1.8481)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3564)，最小费用为280.1771万元。

最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于280.1771万元和283.5373万元之间。

(3) 考虑各部分管道费率不等的情况。

分别用k1,k2,k3,k4记AP、PQ、PH、BQ段管道的费率，并设P和Q点的坐标分别为(x, y)、(c,z) (如图3所示)，则总费用的表达式为

F(x,y,z)?k1x2?(a?y)2?k2(c?x)2?(z?y)2?k3y?k4(l?c)2?(b?z)2

图3

可以写出F的最优解的解析表达式，也可以用数值求解的方法得到比较精确的结果。

两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(6.7310,0.1409)，Q点坐标为 (15.0000,7.2839)，最小费用为252.8104万元。当权重取为1:0:0时，P点坐标为(6.7424,0.1327)，Q点坐标为 (15.0000, 7.2659)，最小费用为249.4422万元。

最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于249.4422万元和252.8104万元之间。 注：评阅时，(2)、(3)两小题得到最优解的解析表达式比仅有数值结果为好。

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