2018届北京市昌平区高三上学期期末考试数学（理科）试题

昌平区2017－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) 2018.1

最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 若集合A?{x|?2?x?1}，B?{x|x(x?3)?0}，则AB?

A. {x|x?1或x?3} B. {x|?2?x?1} C. {x|?2?x?0或x?3} 2．| D. {x|?2?x?0}

1+i|? i2 C. ?1 D. 1

A. ?2 B.

3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为

开始

A．43 B. 55 C. 61 D. 81

结束 S?1,n?24 n?0 是 否 S?S?n n?n?6 输出S

?x?y?1,?4．设x,y满足?x?y?1, 则z?2x?2y的最大值为

?x?0,?A．

1 B. 2 C. 4 D. 16 45.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为

A. 1 B.

C. 2 D. 22 2 2 2 主视图

1 1 左视图

6.已知函数f(x)?e?e,则函数f(x)

x?x俯视图

A．是偶函数，且在(??,0)上是增函数 B. 是奇函数，且在(??,0)上是增函数 C. 是偶函数，且在(??,0)上是减函数 D. 是奇函数，且在(??,0)上是减函数

7. 设0?x?π，则“cosx?x2”是“cosx?x”的 2A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件

8. 四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分. 比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是

A．0 B. 1 C. 2 D. 3

D. 既不充分也不必要条件

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. (1?x)7的二项展开式中x2的系数为 ．

10. 已知曲线C的极坐标方程为??2sin?，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，那么曲线C的直角坐标方程为 .

11. 已知直线l:4x?3y?5?0，点P是圆(x?1)2?(y?2)2?1上的点，那么点P到直 线l的距离的最小值是 .

uuruuur12. 已知Rt?ABC，AB?AC?1,点E是AB边上的动点，则CE?AC的值为 ；uuruurCE?CB的最大值为 .

13. 某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块 牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有 种.

14．若函数f(x)??①若a???x?4,x?3, （a?0且a?1），函数g(x)?f(x)?k.

?logax,x?31，函数g(x)无零点，则实数k的取值范围是 ； 3②若f(x)有最小值，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题13分）

已知等差数列{an}的公差d为1，且a1,a3,a4成等比数列. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设数列bn?2

an?5?n，

求数列?bn?的前n项和Sn.

16. （本小题13分）

在?ABC中，3asinC?ccosA． （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若S?ABC?3，b?c?2?23，求a的值．

17. （本小题13分）

随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：

频率/组距 0.0350.0300.0250.0200.0150.010频率/组距 0.0300.0250.0200.0150.0100.005O10203040

5060分钟/天0.005 O102030405060分钟/天 图1：甲大学 图2：乙大学

根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :

学习时间 t (分钟/天) 等级 t?20 20?t?50 t?50 一般 爱好 痴迷 (Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；

(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记?为选出的两人中甲大学的人数，求?的分布列和数学期望E???；

(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X甲与X乙的大小，及方差S2甲与S2乙的大小．(只需写出结论)

18.（本小题14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，?PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上. （I）当M是线段PD的中点时，

求证：PB // 平面ACM； （II）求证：PE?AC；

（III）是否存在点M，使二面角M?EC?D的大

AEBCPMDPM小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说

PD明理由．

19.（本小题14分）

已知函数f(x)?ax?ln(x?1)，a?R.

（I）当a = 2时，求曲线y =f(x)在点( 0，f (0) )处的切线方程； （II）求函数f(x)在区间[0 , e -1]上的最小值.

20.(本小题13分)

已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，L，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 设该数列的前n项和为Sn,

*p规定：若?m?N,使得Sm?2（p?N），则称m为该数列的“佳幂数”.

（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”； （Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由； （III）（i）求满足m>70的最小的“佳幂数”m;

（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.

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