1.多项式单元测试答案

多项式单元测试

（2010.10）

姓名 学号 得分

一、选择题（每小题4分，共20分）

1．实数域上不可约的多项式f(x)是： （ A ）

(A)x2?3x?3 (B)x3?3x?3 (C)x2?3x?3 (D)x3?3x?3

()?x1?是f(x)?x6?k2x4?4kx2?x?4的一个因式，2．设gx则k?（ B ）。 A．1 B．2 C．3 D．4

3．在F[x]里能整除任意多项式的多项式是 （ B ）

A．零多项式 B．零次多项式 C．本原多项式 D．不可约多项式

4．整系数多项式f(x)在Z不可约是f(x)在Q上不可约的( B ) 条件。

A. 充分 B. 充分必要 C.必要 D．既不充分也不必要

5．下列对于多项式的结论不正确的是 （ A ）。

A.如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)?g(x) B.如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)?h(x))

C.如果f(x)g(x)，那么?h(x)?F[x]，有f(x)g(x)h(x) D.如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)

二、填空题（每小题4分，共32分）

1．设f(x),g(x)?F[x]，若??(f(x))?0,??(g(x))?m，则??(f(x)?g(x))= m 。

2.当实数t? ?3 时，多项式x3?tx?2有重根。

1

3.设f(x),g(x)是有理系数多项式，且f(x),g(x)在复数域上有f(x)整除

g(x)，则有理数域上 一定 （选填“一定”或“未必”）有f(x)整除g(x)。 4.

求

用

x?2除f(x)?x4?2x3?x?5的商式为

x3?4x2?8x?15 ，余式为 35 。

5．设a?0，用g(x)?ax?b除f(x)所得的余式是函数值

bf() 。 a6．把f(x)?2x3?x2?3x?5表成

x?1的多项式是

f(x)?2(x?1)3?5(x?1)2?7(x?1)?1 。

7．在有理数域上将多项式f(x)?x3?x2?2x?2分解为不可约因式的乘积 (x2?2)(x?1) 。

8．设?1,?2,?3为方程x3?px2?qx?r?0的根，其中r?0，则

??1?12??1?23??1= 。

31pr三、计算题（每小题7分，共28分）

1.求多项式f(x)?x4?x3?4x2?4x?1，g(x)?x2?x?1的最大公因式d(x)，以及满足等式f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)的u(x)和v(x)。

(f(x),g(x))?1,u(x)??x?1,v(x)?x3?x2?3x?2

2．求多项式f(x)?x3?6x2?15x?14的有理根。

f(x)的有理根可能为?1,?2,?7,?14

?f(1)??4,f(?1)??36??1不是f(x)的根

进一步验证f(x)的有理根可能为2

2

由综合除法可得，f(x)的有理根为2 其重数为1 f(x)的单有理根为2

3.用x?a,x?b,x?c除f(x)的余式依次为r,s,t，试求用

g(x)?(x?a)?(xb)除?(xf(xc)的余式。

解：由带余除法可设f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)q(x)?r(x),0??0(r(x))?2。 r(a)?f(a)?r,f(b)?f(b)?s,r(c)?f(c)?t 由插值公式 r(x)?r(x?b)(x?c)s(x?a)(x?c)t(x?a)(x?b)??

(a?b)(a?c)(b?a)(b?c)(c?a)(c?b)4、设f(x)?3x5?2x4?6x3?2x2?x?4，求一个没有重因式的多项式

g(x)，使g(x)与f(x) 有相同的不可约因式。

f?(x)?15x4?8x3?18x2?4x?1 (f(x),f?(x))?x?1 g(x)?f(x)?3x4?5x3?x2?3x?4?(x?1)(3x3?8x2?7x?4)

(f(x),f?(x))四、证明题（每小题2分，共20分）

1、证明：如果(f(x),g(x))?1，则(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1

证明：因(f(x),g(x))?1.

则?u(x),v(x)，使得f(x)u(x)?g(x)v(x)?1， f(x)u(x)?f(x)v(x)?f(x)v(x)?g(x)v(x)?1

f(x)(u(x)?v(x))?(f(x)?g(x))v(x)?1 那么 (f(x),f(x)?g(x))?1.------------------4分

2、证明：g(x)2f(x)2当且仅当g(x)f(x)。

3

证明：设f(x)?ap1(x)k1p2(x)k2?ps(x)ks g(x)?bp1(x)m1p2(x)m2?ps(x)ms

其中p1(x),p2(x),?,ps(x)为互不相同的不可约多项式，k1,k2,?,ks，

m1,m2,?,ms为非负整数， 则

f2(x)?a2p1(x)2k1p2(x)2k2?ps(x)2ks，g2(x)?b2p1(x)2m1p2(x)2m2?ps(x)2ms 从而

g(x)2f(x)2?2mi?2ki(i?1,2,?,s)?mi?ki(i?1,2,?,s)?g(x)f(x)

4

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