抛物线中两线段的和最小问题(及差最大问题)
更新时间:2024-04-01 19:00:02 阅读量: 综合文库 文档下载
抛物线中两线段和最小问题(及差最大问题)(已整理A4)
1. (2012湖北恩施8分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D. (1)抛物线及直线AC的函数关系式; (2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值; (3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m相交于点B、C,与y 轴相交于点E,且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m 的值. (2)在(1)的条件下,求△BCE的面积.
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标. (4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
2. (2012湖北黄冈14分)如图,已知抛物线的方程C1:y??
3 (2012湖南郴州10分)如图,已知抛物线y?ax2?bx?c经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式及对称轴.
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+MB的值最小,并求出点M的坐标.
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4. (2012四川自贡14分)如图,抛物线l交x轴于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,﹣3).将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1. (1)求l1的解析式;
(2)在l1的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大,并说出理由;
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点,若以EF为直径的圆恰与x轴相切,求此圆的半径.
1,(2012湖北恩施8分)
【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。(2)根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′,当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小。(3)分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。(4)如图,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,﹣x+2x+3),求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知S?APC2
2
?S?APQ+S?CPQ,由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值
2
解:(1)由抛物线y=﹣x+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,??1?b+c=0,
???4+2b+c=3解得?b=2。∴抛物线的函数关系式为y??x??c=32?2x?3。设直线AC的函数关系式
??2k+n=3??n=1为y=kx+n,由直线AC过点A(﹣1,0)及C(2,3)得??k+n=0,解得?k=1。 ∴直线AC的函数关系式为y=x+1。
(2)作N点关于直线x=3的对称点N′, 令x=0,得y=3,即N(0,3)。 ∴N′(6, 3)由y??x2?2x?3=??x?1?+4得D(1,4)。设直线DN′的函数关系式为y=sx+t,则
2121。根据轴对称的性质和三角形三?6s+t=3,解得?1。∴故直线DN′的函数关系式为s=?y??x????555?s+t=4??t=21?5?边关系,知当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,∴m??1?3?21=18。∴使MN+MD
555的值最小时m的值为18。(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2), ①当BD为平行四边形对角线时,
5由B、C、D、N的坐标知,四边形BCDN是平行四边形,此时,点E与点C重合,即E(2,3)。 ②当BD为平行四边形边时,∵点E在直线AC上,∴设E(x,x+1),则F(x,?x2。 ?2x?3)
又∵BD=2∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时,BD=EF。∴?x2?2x?3??x?1?=2,即
?x2?x?2=2。若?x22,∴E(0,1)。若?x?x?2=?2,?x?2=2,解得,x=0或x=1(舍去)
3+17?或E?1?173?17?。综上,满足条件的点E为(2,解得,x=1?17,∴E?1+17, , ????????2?22??22?+173+173)、(0,1)、?1, ???2?、?1?173?17, ????22???。
???2(4)如图,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G, 设Q(x,x+1),则P(x,﹣x+2x+3)。
2
(?x∴PQ?∴S?APC2?2x?3)(?x?1)??x2?x?2。
1PQ?AG 2?S?APQ+S?CPQ?131227。∵3, ?(?x2?x?2)?3??(x?)??<022282∴当x=1时,△APC的面积取得最大值,最大值为27。
282,(2012湖北黄冈14分)【分析】(1)将点(2,2)的坐标代入抛物线解析式,即可求得m的值。 (2)求出B、C、E点的坐标,从而求得△BCE的面积。(3)根据轴对称以及两点之间线段最短的性质,可知点B、C关于对称轴x=1对称,连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。(4)分两种情况进行讨论:①当△BEC∽△BCF时,如图所示,此时可求得2矛盾的等式,故此种情形不存在。
解:(1)∵抛物线C1过点M(2,2),∴2??1?2?2?(2?m),解得m=4。
m(2)由(1)得y??1?x?2?(x?4)。 令x=0,得y?2。∴E(0,2),OE=2。 令
4y=0,得0??1?x?2?(x?4)4,解得x1=-2,x=4。∴B(-2,,0),C(4,0),BC=6。
2+2。②当△BEC∽△FCB时,如图所示,此时得到
∴△BCE的面积=1?6?2?6。(3)由(2)可得y??42BH+EH最小。设直线CE的解析式为y?kx+b,则
1?x?2?(x?4)的对称轴为
x=1。连接CE,交对称轴于点H,由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质,知此时
?4k+b=0,解得??k=???b=2???b=212。∴直线CE的解析式为y??13x+2。 当x=1时,y? 22∴H(1,3)。(4)存在。分两种情形讨论: ①当△BEC∽△BCF时,如图所示。
22
则BE?BC,∴BC=BE?BF。由(2)知B(-2,0),E(0,2),即OB=OE,∴∠EBC=45°,BCBF∴∠CBF=45°。作FT⊥x轴于点F,则BT=TF。∴令F(x,-x-2)(x>0), 又点F在抛物线上,∴-x-2=?-2m-2)。 此时BF?2
1∵x+2>0(∵x>0),∴x=2m,F(2m,?x?2?(x?m),
m(2m?2)2?(?2m?2)2?22(m?1),BE?22,BC?m?2,
2
又BC=BE?BF,∴(m+2)=
(m?1),解得m=2±22。∵m>0,∴m=22+2。②当22 ?222
△BEC∽△FCB时,如图所示。则BC?EC,∴BC=EC?BF。同①,∵∠EBC=∠CFB,
BFBC△BTF∽△COE∴TF?OE?2 。∴令F(x,-
BTOCm2 2 (x+2))(x>0),又点F在抛物线上,∴-(x+2)mm2=?1?x?2?(x?m)。∵x+2>0(∵x>0),∴x=m+2。∴F(m+2,-2 (m+4)),EC?mmmBC=m+2。又BC=EC?BF,∴(m+2)=
2
2
4?,m2?4??m+2+2?2+4?m+4?m22 .整理得:
0=16,显然不成立。综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似,m=2
2+2。
3,(2012湖南郴州10分),
【分析】(1)已知抛物线上三点A、B、C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式,再由对称轴公式x??b求出对称轴。(2)如图1所示,连接AC,则AC与对称轴的交点即为所求之M点;已知点
2aA、C的坐标,利用待定系数法求出直线AC的解析式,从而求出点M的坐标。(3)根据梯形定义确定点P,如图2所示:①若BC∥AP1,确定梯形ABCP1.此时P1为抛物线与x轴的另一个交点,解一元二次方程即可求得点P1的坐标;②若AB∥CP2,确定梯形ABCP2.此时P2位于第四象限,先确定CP2与x轴交点N的坐标,然后求出直线CN的解析式,再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。
解:(1)∵抛物线y?ax2,B(2,3),C(0,3)三点, ?bx?c经过A(4,0)
??3816a?4b?c?0,解得?a∴ ????4a?2b?c?3? c?3??3? ?b?4??c?3??。∴抛物线的解析式为:y??323 x? x?3, 84其对称轴为:x??b?1。 2a(2)由B(2,3),C(0,3),且对称轴为x=1,可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。
如图1所示,连接AC,交对称轴x=1于点M,连接MB,则MA+MB=MA+MC=AC,根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小。设直线AC的解析式为y=kx+b,∵A(4,0),C(0,3),
3。∴直线AC的解析式为:y=3x+3。 ∴ ?4k?b?0 ,解得??k????? b?34??b?3?4令x=1,得y=
99 。∴M点坐标为(1,)。 44(3)结论:存在。如图2所示,在抛物线上有两个点P满足题意:①若BC∥AP1,此时梯形为ABCP1。由B(2,3),C(0,3),可知BC∥x轴,则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。在y??3 x2?3 x?3中令y=0,解得x1=-2,x2=4。∴P1(-2,0)。∵P1A=6,
84BC=2,∴P1A≠BC。∴四边形ABCP1为梯形。②若AB∥CP2,此时梯形为ABCP2。 设CP2与x轴交于点N,∵BC∥x轴,AB∥CP2,∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。
3∴N(2,0)。设直线CN的解析式为y=k1x+b1,则有: ?2k1?b1?0,解得??k??。?2??b?3??b1?3 ∴直线CN的解析式为:y=?3x+3。 2?3323x+3上,又在抛物线:y?? x? x?3上,284∵点P2既在直线CN:y=∴?33232
x+3=? x? x?3,化简得:x-6x=0,解得x1=0(舍去),x2=6。 284ABCN,∴AB=CN,而
∴点P2横坐标为6,代入直线CN解析式求得纵坐标为-6。∴P2(6,-6)。∵CP2≠CN,∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。
综上所述,在抛物线上存在点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形,点P的坐标为(-2,0)或(6,-6)。
4,(2012四川自贡14分),
【分析】(1)根据翻折变换的性质,求得A1和B1的坐标,用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式,(2)根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知,B1C的延长线与对称轴x=1的交点P,即为所求。求出B1C的解析式即可求得点P的坐标。(3)设圆心为D,半径为r,根
据直线与圆相切的性质知D(1,r),F(1+r,r)。由于点F在抛物线l1上,代入即可求得r。分圆位于x轴上方和下方两种情况讨论即可。
解:(1)如图1,设经翻折后,点A.B的对应点分别为A1、B1,依题意,由翻折变换的性质可知 A1(3,0),B1(﹣1,0),C点坐标不变,∴抛物线l1经过A1(3,0),B1(﹣1,0),C(0,﹣3)三点,设抛物线l1的解析式为y=ax+bx+c,则
?9a+3b+c=0?a=12??,解得。∴抛物线l1的解析式为:y=x﹣2x﹣3。 ?a?b+c=0?b=?2?c=?3?c=?3??2
(2)抛物线l1的对称轴为:x=?b?2=?=1,如图2,连接B1C并延长,与对称2a2轴x=1交于点P,则点P即为所求。此时,|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C。
设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点,则有:|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|<B1C(三角形两边之差小于第三边),∴|P′A﹣P′C|<|PA1﹣PC|,即|PA1﹣PC|最大。 设直线B1C的解析式为y=kx+b,则
??k+b=0,解得k=b=﹣3。∴直线B1C的解析式为:y=﹣3x﹣3。 ?b=?3?令x=1,得y=﹣6。∴P(1,﹣6)。
(3)依题意画出图形,如图3,有两种情况:
①当圆位于x轴上方时,设圆心为D,半径为r,由抛物线及圆的对称性可知,点D位于对称轴x=1上,则D(1,r),F(1+r,r)。∵点F(1+r,r)在抛物线y=x﹣2x﹣3上,
∴r=(1+r)﹣2(1+r)﹣3,化简得:r﹣r﹣4=0
2
2
2
1+171?171+17,r2=(舍去)。∴此圆的半径为; 222?1+17②当圆位于x轴上方时,同理可求得圆的半径为。
21+17?1+17综上所述,此圆的半径为或。
22解得r1=
4,(2012四川自贡14分),
【分析】(1)根据翻折变换的性质,求得A1和B1的坐标,用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式,(2)根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知,B1C的延长线与对称轴x=1的交点P,即为所求。求出B1C的解析式即可求得点P的坐标。(3)设圆心为D,半径为r,根
据直线与圆相切的性质知D(1,r),F(1+r,r)。由于点F在抛物线l1上,代入即可求得r。分圆位于x轴上方和下方两种情况讨论即可。
解:(1)如图1,设经翻折后,点A.B的对应点分别为A1、B1,依题意,由翻折变换的性质可知 A1(3,0),B1(﹣1,0),C点坐标不变,∴抛物线l1经过A1(3,0),B1(﹣1,0),C(0,﹣3)三点,设抛物线l1的解析式为y=ax+bx+c,则
?9a+3b+c=0?a=12??,解得。∴抛物线l1的解析式为:y=x﹣2x﹣3。 ?a?b+c=0?b=?2?c=?3?c=?3??2
(2)抛物线l1的对称轴为:x=?b?2=?=1,如图2,连接B1C并延长,与对称2a2轴x=1交于点P,则点P即为所求。此时,|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C。
设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点,则有:|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|<B1C(三角形两边之差小于第三边),∴|P′A﹣P′C|<|PA1﹣PC|,即|PA1﹣PC|最大。 设直线B1C的解析式为y=kx+b,则
??k+b=0,解得k=b=﹣3。∴直线B1C的解析式为:y=﹣3x﹣3。 ?b=?3?令x=1,得y=﹣6。∴P(1,﹣6)。
(3)依题意画出图形,如图3,有两种情况:
①当圆位于x轴上方时,设圆心为D,半径为r,由抛物线及圆的对称性可知,点D位于对称轴x=1上,则D(1,r),F(1+r,r)。∵点F(1+r,r)在抛物线y=x﹣2x﹣3上,
∴r=(1+r)﹣2(1+r)﹣3,化简得:r﹣r﹣4=0
2
2
2
1+171?171+17,r2=(舍去)。∴此圆的半径为; 222?1+17②当圆位于x轴上方时,同理可求得圆的半径为。
21+17?1+17综上所述,此圆的半径为或。
22解得r1=
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