数字信号处理（姚天任江太辉第三版）课后习题答案

第二章

2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos(（2）x(n)=e(j5??n?) 86n??) 83??n?) （3）x(n)=Asin(43解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?n??)，得出??是周期序列。最小周期等于N=

5?2?16?。因此是有理数，所以

8?516k?16(k取5)。 512??16?是无理数，所以不。因此

8? （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[??j?]n,得出??是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?n??)，又x(n)=Asin(＝Acos(N=

?3?3???n?)＝Acos(?n?)

243433?2?83?1?是有理数，所以是周期序列。最小周期等于n?)，得出??。因此

4?3468k?8(k取3) 3

2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

h(n)=u(n)x(n)21-1(a)12 3n0 12 3…n-120 1x(n)h(n)21 -10 -124n-10 12 34n 1x(n)=u(n)(b)-1h(n)=anu(n)1…-10 12 34n…(c)-10 12 3n

解 利用线性卷积公式

y(n)=

??x(k)h(n?k)

k???按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1

y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3

y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2 (b) x(n)=2?(n)-?(n-1)

h(n)=-?(n)+2?(n-1)+ ?(n-2)

y(n)=-2?(n)+5?(n-1)= ?(n-3) (c) y(n)=

k???u(k)???an?ku(n?k)=

1?an?1=k????an?k1?au(n)

2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=?nu(n)*u(n)

解：(1) y(n)=

k???u(k)u(n?k)

???=

u(k)u(n?k)=(n+1),n≥0

k??0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=???ku(k)u(n?k)

k???

=??k?0?k1??n?1,n≥0 u(k)u(n?k)=

1??即

1??n?1y(n)=u(n)

1??

2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h1(n)和h2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h1(n)=?(n)-?(n-4), h2(n)=au(n),|a|<1,求系统的输出y(n).

n

解 ?(n)=x(n)*h1(n) =

k????u(k)[?(n-k)-?(n-k-4)]

? =u(n)-u(n-4)

y(n)=?(n)*h2(n) =

k?????a?a?ku(k)[u(n-k)-u(n-k-4)]

=

k,n≥3

k?n?32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a

?nu(-n),0

系统的单位阶跃响应。

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明 （1）交换律

X(n) * y(n) =

k????x(k)y(n?k)

? `

令k=n-t,所以t=n-k,又-?

? x(n) * y(n) =

t?????x(n?t)y[n?(n?t)] ?x(n?t)y(t)=y(n) * x(n)

=

t???交换律得证. (2)结合律

[x(n) * y(n)] * z(n)

=[

k?????x(k)y(n?k)] * z(n)

[

? =

t?????k????x(k)y(t?k)]z(n-t)

??? =

k????????x(k) y(t-k)z(n-t)

t??? =x(k)

k????my(m)z(n-k-m)

=x(k)[y(n-k) * z(n-k)]

k??? =x(n) * [y(n) * z(n)] 结合律得证. (3)加法分配律

x(n) * [y(n) + z(n)]

=

k???????x(k)[y(n - k) +z(n - k)]

=

k????x(k)y(n-k)+

k????x(k)z(n - k)

=x(n) * y(n) + x(n) *z(n) 加法分配律得证.

2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明

(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[

2??n+] 36(3)y(n)=

k????x(k) (4)y(n)= ?x(k)

k?n0?n (5)y(n)= x(n)g(n)

解 （1）设y1(n)=2x1(n)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于 y(n)=2[x1(n)+x2(n)]+3 ≠y1(n)+ y2(n) =2[x1(n)+x2(n)]+6

故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而

y(n-k) = T[x(n-k)]

故该系统是非移变系统。

设|x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<∞ 故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （2）设 y1(n)=ax1(n)sin[?2?n+] 63?2?y2(n)=bx2(n)sin[n+] 63 由于 y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)] =[ax1(n)+bx2(n)]sin[=ax1(n)sin[?2?n+] 63??2?2?n+]+bx2(n)sin[n+]6633 =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。 由于 y(n-k)=x(n-k)sin[?2?(n-k)+] 63?2?T[x(n-k)]=x(n-k)sin[n+] 63因而有 T[x(n-k)]≠y(n-k) 帮该系统是移变系统。 设 |x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|x(n)sin[?2?(n-k)+]| 63?2?=|x(n)|| sin[(n-k)+]| 63

≤M|sin[?2?(n- k)+]|≤M 63故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （3）设 y1(n)=

k????x(k) ，y(n)=?x(k)，由于

1nn22k???y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=

k???nn?[ax(k)? bx(k)]

12n =a

k????x(k)+ b?x(k)=ay(n)+by(n)

1212

k???故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=

k????x(k)= ?x(m?t)

m???n?tn=T[x(n-t)]

所以该系统是非移变系统。

设 x(n)=M<∞ y(n)=

k????M=∞，所以该系统是不稳定系统。

nn因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （4）设 y1(n)=

k?n0?x(k) ，y(n)=?x(k)，由于

1n22k?n0y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)]=

k?n0nn?[ax(k)? bx(k)]

12n = a

k?n0?x(k)+b?x(k)=ay(n)+by(n)

1212

k?n0故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=

k?n0?x(k)= ?x(m?t)

m?n0?tn?tn≠T[x(n-t)]=

所以该系统是移变系统。

k?n0?x(m?t)

n设x(n)=M,则limy(n)= lim(n-n0)M=?,所以该系统不是稳定系统。

n??n??显而易见，若n≥n0。则该系统是因果系统；若n

y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=(ax1(n)+bx2(n))g(n) =ax1(n)g(n)+b2(n)=ay1(n)+by2(n)

故系统是线性系统。 因y(n-k)=x(n-k),而

T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k) 所以系统是移变系统。 设|x(n)|≤M

|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。

2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性 （1）h(n)=2u(-n) (4) h(n)=( (2) h(n)=-au(-n-1) (5) h(n)=

nn1n)u(n) 21u(n) nn (3) h(n)=?(n+n0), n0≥0 (6) h(n)= 2Rnu(n)

解 （1）因为在n<0时，h(n)= 2≠0,故该系统不是因果系统。

n 因为S=

n?????|h(n)|=

?n?0?|2|=1

n(2) 因为在n

n?????????|h(n)|=

n????????1| a|=

nn????a

?n，故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统。

(3) 因为在n

|h(n)|=

|?(n+n0)|=1

n???n???(4) 因为在n

|h(n)|=

n????n?0|(

1n)|

1u(n)=0，故该系统是因果系统 。 n 因为S=

n???????|h(n)|=

n??????11|u(n)|= ?=?，故该系统不是稳定系统。 nnn?0(6) 因为在n

|h(n)|=

n????n?0N?1|2|=2-1

nN

2.9 已知y(n)-2cos?y(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=证明 题给齐次差分方程的特征方程为

sin(n?)

sin??2-2cos?·?+1=0

?1=cos?+jsin?=ej?,?2=cos?-jsin?= e?j?

y(n)=c1?n由特征方程求得特征根

齐次差分方程的通解为

1+c2?n2=c1e

j?n+c2e

?j?n

代入初始条件得

y(0)=c1+c2=0 y(1)= c1e

j?n+c2e

?j?n=1

由上两式得到

c1=

111=，c=- c=- 21ej?n?e?j?n2sin?2sin?将c1和c2代入通解公式，最后得到

2.10 已知y(n)+2?y(n-1)+?(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解 首先由初始条件求出方程中得系数a和b 由

y(n) =c1e

j?n+c2e

?j?n=

1sin(?n)j?n?j?n( e+ e)=

2sin?sin??y(2)?2ay(1)?by(0)?6?6a?0 ??y(3)?2ay(2)?by(1)?36?12a?3b?0可求出 a=-1,b=-8 于是原方程为

y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0 由特征方程?

2－2?－8＝0求得特征根

?1＝4 ，?2＝-2

y(n)=c1?n齐次差分方程得通解为

1+c2?n2= c14+c2(-2)

nn代入初始条件得

y(n)= c1?1+c2?2= 4?1+2?2=3

由上二式得到

c1＝

11，c2＝－ 22将c1和c2代入通解公式，最后得到

y(n)=c1?n1+c2?n2＝

1nn[4-(-2) ] 2

2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1

解 由特征方程?2－?－1＝0求得特征根

?1＝

1?51?5，?2＝ 22

n通解为y(n)=c1?代入初始条件得

1+c2?n2＝c1（1?5n1?5n）＋c2（） 22

?c1?c2?1? ?1?51?5)?c2()?1?c1(?22

c1=求出

1?51?5，c2= 2525最后得到通解

y(n)= c1(

1?5n1?5n)+ c2() 2525 =11?5n?11?5n?1[()-()] 52525

2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应

＋ x(n) x-1解 由图可知

y(n)=x(n)+ ?y(n-1)

?

为求单位取样响应，令x(n)=?(n),于是有

h(n)= ?(n)+ ?h(n-1)

由此得到

h(n)=

?(n)n=?u(n)

1??D阶跃响应为

y(n)=h(n)*u(n)=

?k?0n?ky(k)u(n-k)

1??n?1=u(n) 1??2.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(e

jw),求下列各序列的傅立叶变换

jw解 （1）F[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(e(2)F[x(n-k)]=e(3)F[e

jw0n?jwk)+bX2(e

jw)

X(e

jw) ]

x(n)]=X[e

?jwj(w?w0)(4)F[x(-n)]=X(e

**) ) )

(5)F[x(n)]=X(e

**?jw(6)F[x(-n)]= X(e(7)

jw

(8)jIm[x(n)]=(9)

1jw*?jw[X(e)-X(e)] 21j?jwX(e)*X(e) 2?dx(ejw)(10)j

dw

2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-(1) 求该系统的单位取样响应h(n) (2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)＝e(3) 求系统的频率响应 (4) 求系统对输入x(n)=cos(

jwn11y(n-1)=x(n)+ x(n-1) 22时系统的响应

??n+)的响应 24

解 （1）令X（n）=δ(n),得到

h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+ δ(n-1)/2

由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+ δ(n-1)/2 ,n≥0 递推计算出

h(-1)=0

h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1

h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)=h(2)=()2 h(4)= ． ．

11h(2)=()3 221212 ．

12h(n)=δ(n)+ ()n-1u(n-1) 或 h(n)= ()n [u(n)-u(n-1)]

也可将差分方程用单位延迟算子表示成

(1-D)h(n)=(1+D)δ(n)

由此得到

h(n)=[(1+D)/(1-D)]δ(n) =[1+D+D2+ ()2 D3+…+()k-1 D3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ δ(n-2)+δ(n-3)+... +()k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ ()nu(n-1)

2）将X(n)?ejwn代入y(n)?x(n)*h(n)得到

y(n)?ejwn*?1?1D2?(n)11?D212121212121212121212

?1D2?ejwn11?D22n?1??12?1?3?1???1?D?D???D????????Dn??????2?2??2?????ejw?n?1?jwn?e?11?e?jw211?e?jw2?ejwn11?e?jw2 1?（3）由（2）得出 11?e?jw2 Hejw?1?jw1?e2（4）由（3）可知

??1?j2w1?ew?j2?2??H?e?1 1????1?1e?j2w2????jw???j??j???112?22arg?H??e???arctan?1?2e??arctan?1?2e?????????? ?1?1???2arctan???2?????y?n??Hejwcos?n??argHejw?4?2?故：

????1???cos?n??2arctan???24?2?????????

2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)

试确定能使系统成为全通系统的b值（b≠a），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率?无关的常数的系统。

解：令x(n)= (n),则 h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1) 或

h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n≥0

由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出： h(-1)=0 h(0)=1

h(1)=ah(0)-b(0)=a-b h(2)=ah(1)= h(3)=ah(2)= h(n)=ah(n-1)= h(n)=

u(n)--b,n≥0 bu(n-1) -ab -b

或系统的频率特性为

H(

)=

=

=

= 振幅的特性平方

=

=

==

11**jw22若选取a＝b或b＝a，则有|H(e)|=|b|,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该

系统为全通系统。

2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=au(n),其中a为实数，且0

n? nu(n), ?为实数，且0

y(n)=(k1a+k2?nn)u(n)

jw(2)分别计算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立叶变换X(e

Y(e

jw)、H(e

jw)、Y(e

jw)，并证明

)=H(e

jw)X(e

jw)

解 (1)y(n)=

k?????h(k)x(n?k)?au(k)?k?1?

=u(n?k)

k?????1[1?(???1)n?1] =??(a?)= ?11???k????1??1k??1??1n?1?1 =-+，n≥0 ???1?11???1??? y(n)=(

(2)X(e)=???e?i?=-iw

???n-?n)u(n)

1??1???n?01 ?j?1??e1

1??e?j? H(e

j?)=???e?i?=

n?0?? Y(e

j?)=?(n?0?????n??????n)e?j?

=

?1?n(-) ??j??j????1??e???e由于

?1?(-) ???1??e?j?1??e?j?1j?j?=X(e)H(e)

(1??e?j?)(1??e?j?) =

故得出 Y(ejw)=H(ejw)X(ejw)

2.17 令x(n)和X(e

jw)分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明：

1x(n)x(n)??2?n???*???n?nX(ejw)X*(ejw)dx

此式是帕塞瓦尔（Parseval）定理的一种形式。

证明：证法一

X(ejwn)?X*(e12?jwn????x(n)en????jwn)?(?x*(N)ejwn)*?n???jwnx*(n)e???????X(ejw)X*(ejw)dw?1?2?????[m?????x(m)e?jwn][?x*(n)ejw]dwn????m????x(m)n????x*(n)?12?????ejw(n?m)dw其中????n?m??????2?,....?jw(n?m)ejw(n?m)dw??e?e?jw(n?m)?0,....n?m?n?m?n???1?jwjwX(e)X*(e)dw????2?证法二：?x(n)x*(n)?n????x(n)x*(n)??

1??x(n)[2?n???1??x(n)[2?n???1?2?1?2??????X(ejw)e?jwndw]

???jw?X*(ejw)ejwndw])????X*(en????x(n)e??jwndw????X(ejw)X*(ejw)dw

2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T表示取样周期，假设T很小，足以防止混叠失真，把从x?(t)到y?(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。 （1）如果数字滤波器h（n）的截止频率?等于理想低通滤波器的截止频率fc （2）对

?1rad，＝10kHz，求整个系统的截止频率fac，并求出8T1＝20kHz，重复（1）的计算 T

?（弧度/秒）折合成数字域频率为?（弧度），它比数字滤波器h（n）的T??截止频率（弧度）要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率（弧度）来决定。将

88解 理想低通滤波器的截止频率其换算成实际频率，即将fs＝

12?fac?＝10000Hz带入?，便得到 Tfs8fac＝625 Hz

理想低通滤波器的截止频率

??（弧度/秒）换算成实际频率使得到fc，即由＝2?fc，得到 TTfac＝

110000==500 Hz 2T2

2.19 求下列序列的Z变换和收敛域 （1）?（n－m） （2）()u(n) （3）au(-n-1)

（4）()[u(n)?u(n?10)] （5）cos(?0n)u(n)

n12n12n解：（1）X(z)＝?δ(n?m)zn=z-nm

当m>0时，x(n)是因果序列，收敛域为0<｜z｜≤∞，无零点，极点为0(m阶); 当m<0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0≤｜z｜≤∞，零点为0(m阶)，无极点; 当m=0, X(z)＝1，收敛域为0≤｜z｜≤∞，既无零点，也无极点 （2）X(z)＝????1?-n

??u(n)z=??2?n?0?nn?-??1?1?z???2?n=

1 1?11?z2X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx?的圆的外部区域，这里 Rx?＝limn??1x(n?1)＝ 2x(n)1<｜z｜≤∞。零点为0，极点2τ（n）还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为

为

1。 211<｜z｜≤∞。零点为0，极点为。（3）22X(n)还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为x(z)=

n???a?nu(?u?1)z?n=

n??1?(azn???1n)

?1n?1az?1(az)=(az)= == ?1?11?az1?azn??1n?1????1??X(n)是左边序列，它的Z变换的收敛域是半径围Rx+的圆的内部区域，这里

Rx+=

limn??x(?n)||=x(?(n?1))limn??|a?na?(n?1)|=|a|

x(n)还是逆因果序列，可以有|z|?0，故收敛域为0?|z|?|a|零点为0，极点为a。

(4)X(z)＝

n?-?9???1?-n???u(n)-u(n-10)?z ?2??1?-n1?(2z) ?? z=?121?(2z)??n?10n =?n?01X(n)是有限长序列，且它的Z变换只有负幂项，故收敛域为0<｜z｜≤∞.零点为0和（10

21阶），极点为。

2（5）X(z)??n????ncos(wn)u(n)z?0?ejw0n?e?jw0n??z

zn???1jw0?1n?1?jw0?1z) ＝?(ez)＋?(en?02n?02

111(?)jw0?1?jw0?1 ＝

21?ez1?ez1?z?1cosw0 ＝

1?2z?1cosw0?z?2x(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx?的圆的外部区域，这里

Rx?＝

limn??cos[w0(n?1)]x(n?1)|＝1 ||＝lim|cos(w0n)x(n)n??可以有x(n)还是因果序列，极点为ejw0|z|??，故收敛域为1?|z|??，零点为0和cosw0，

和

e?jw0。

2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图 (1) x(n)=a,0

(a?jw0)n|n|u(n)

(3) x(n)=Arcos(?0??)u(n),0

n1u(n) n!(5) x(n)=sin(?0??)u(n)

（1）X(z)=

n??????az?n=

?n?0nn???n?n?a?1?n?nz??azn?0?n?n

=

n??1?az??aznnax1??1?ax1?ax?1

z(1?a2) =

(1?az)(z?a)

X(n)是双边序列，可看成是由一个因果序列（收敛域a?z??）和一个因果序列（收敛域0?z?1）a相加组成，故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域a?z?1。零点为0和∞，极点a为a和

1。 a(2) X(z)?n????e?(??j??)u(n)z??e(??j?0)nz

nn???1 =

1?e??j??z?1

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx?的圆的外部区域，这里

x(n?1)Rx??lim?e?

x??x(n)X(n)还是右边序列，可以有

（3）

z??，故收敛域为e??z??。零点为0,极点为e??j?0。

X(z)??n?????Arncos(?on??)u(n)z?n?n?0?j(?on??)?j(?on??)e?eArnz?nn?j?Aej?o?1n(rez)??2n?0??j?o?1n(rez)?n?0?Aej??2Aej?1Ae?j?1??j?o?121?rez21?re?j?oz?1A?ej??(re?j(?o??)?rej(?o??))z?1?e?j???2?1?rz?1(ej?o?e?j?o)?r2z?2?cos??rz?1cos(?o??)?A??12?21?2rzcos??rzo?X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R3－的圆的

外部区域，这里

??????Arn?1cos[?0(n?1)??]x(n?1)RX??lim?limn??n??x(n)Arncos(?0??)?z

x(n)还是因果序列，可以有 z?? ，故收敛域为 r?z?? 。

rcos(?0??)j?0?j?0rere零点为0和 ，极点为 和

cos?

（4）

?n??Z1?X(z)?u(n)Z?n??n???n!n?0n!?1?Z?1

?2?3?n111?2!Z?3!Z?...?n!Z?...

?e1x

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为

Rx?的圆的外部区域，这里

x(n?1)1RX??lim?lim?0

n??n??n?1x(n)X(n)还是因果序列，可以有 (5)

Z?? ，故收敛域为

0?Z?? ，无零点，极点为0。

X(z)= n?????sin(wn??)u(n)z0??n

??sin(w0n??)zn?0??1

??

n?0ej(w0n??)?e2j?j(w0n??)?z?n

j?ej??e??(ej??z?1)n?(e?j??z?1)n

2jn?02jj(w0??)?j(w0??)j??j??1(e?e)?(e?e)z1?

2j1?(ejw0?e?jw0)z?1?z?2sin??sin?w0???z?1 ?1?2cosw0z?1?z?ix?n?是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为R0的圆的外部象区域,这里

sin?w0?n?1????x?n?1????1

R0?lim?limx??x??x?n?sin?w0n???sin?w0???.极点为 x?n?还是因果序列,大故收敛域为1?z??.零点为0和

sin?cosw0?jsinw0和cosw0?jsinw0.

2.21 用三种方法求下列Z变化的逆变换

11,|Z|< 121?z?1211?z?112（2）X(Z)=, |Z|>

3121?z?1?z?248（1）X(Z)=

1?az?1?1（3）X(Z)=?1,|Z|>|a|

z?a

解（1）采用幂级数法。由收敛域课确定x1（n）是左边序列。又因为limX1(z)＝1为有限值，所以x1（n）

x??是逆因果序列。用长除法将X1（z）展开成正幂级数，即

111?z?12?2z?4z2?8z3?16z4?21z5?... X1(z)??(?1)n?12nzn?...??(?1)n?1?n?12z???(?2)nz?nnnn?1?最后得到

x1（n）＝-2（-2）

或

x1（n）＝?(?)u(?n?1)

?n，n＝-1，-2，-3……

12n（2）采用部分分式展开法。将X2(z)展开陈部分分式

1?11z1?z?122X2(Z)??31111?z?1?z?2(1?z?1)?(1?z?1) 4824A1A2??111?z?11?z?1241?其中

1?1Z2A1??411?Z?114Z??1?21?1Z2A2???3 11?Z?112Z??1?4由收敛域可确定X2(n)式右边序列。又因limX2(z)＝1，所以X2(n)还是因果序列。用长除法分别将

x??4?3展开成负幂级数，即 ?1?11?11?z1?z241?11?21?31n?n4＝4[1?z?z?z?...?()z?...] 124821?z?12=

1n?na(?)z ?2n?0?1?11?21?31?3z?...?()nz?n?...] =-3[1?z?z?1481641?z?141=??3(?)z?n

4n?0由上两式得到

?n11x2(n)?[4(?)n?3(?)n]u(n)

24

（3）采用留数定理法。围线积分的被积函数为

x3(n)zn?1(1?az?1)zn?1(1?a?1z)zn?1?? ?1?1z?az?a1，因此 a当n>0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点z?1x3(n)?Res[x3(z)zn?1,]?(1?a?1z)zn?11z?aa ?(a2?1)a?n?1,n?0当n=0时，被积函数在围线之内有两个极点z?1和z＝0，因此 a1x3?Res[X3(z)zn?1,]?Res[X3(z)zn?1,0]a?1?1z?1a?(1?az)z1?a?1z?z?a?1

z?0?(1?a?2)a?a??a?1,n?0当n<0时，因为x3(z)zn?1在围线之外无极点，且x3(z)zn?1在z＝?处有1－n≥2阶极点，所以有x3(n)＝0，n<0 最后解得

?(a2?1)a?n?1,n?0??1x（n）???a,n?03 ?0,n?0?2?n?1故x（u(n?1)?a?1?(n)3n）＝(a?1)a

2.22 求下列Z变换的逆变换 (1)X（z）=

1，1<|z|<2

(1?z?1)(1?2z?1)(2)X(z)=

z?5,0.5<|z|<2 ?1(1?0.5z)(1?0.5z)e?Tz?1?Te(3)X(z)=,|z|> ?T?12(1?ez)(4)X(z)=

z(2z?a?b),|a|<|z|<|b|

(z?a)(z?b)解 （4）

采用部分分式法

A1A2?

1?z?11?2z?111??1,A??2 A1?|2?1t?1?1|t?21?2z1?z X4(z)?根据收敛域1?|z|?2,1?2和分别对应一个因果序列和逆因果序列。将它们分别展开成z的负

1?z?11?2z?1幂级数和正幂级数，即

??1?n ??z??11?zn?6????2?(n?1)n ??2z??2n?1z?n ?11?2zn?1n??1最后得到

X4(4)??u(n)?2n?1u(?n?1)

用留数定理法,被积函数

X5?z?zn?1z?5?zn?1??z?5?z

???1?0.5z?1??1?0.5z???0.5??1?0.5z?根据收敛域0.5?z?2可知,对应的是一个双边序列.其中

0.5?z对应于一个因果序列 , 即n<0时,x?n??0;n?0时,被积函数有1个极点0.5在围线内,

故得

x5?n??Res??X?z?zn?1??????????

(z?5)zn1 ???6()n,n?0

(1?0.5z)z?0.52|z|<2对应于一个逆因果序列，即n?0时，x(n)=0;n<0时，被积函数在围线外有1个极点2，且

分母多项式的阶比分子多项式的阶高2－（n＋1）＝1-n?2，故得

n?1x5?n???Res?Xzz,2????5?

z?5?zn??z?0.5n?2??2n?1?????,??????n?0

最后得到

??1?n??6???,????n?0x5?n???? ?2???2n??1??????,????n?0??1?或 xn?n???6??u?n??2n?1u??n?1?

?2?采用留数定理法，被积函数

nX??z?zn?1?c?Tzn?z?1?c?Tzlz??z?c??c?lzn?Tz

根据收敛域|z|?c?T可以知道，对应的序列是一个因果序列。即n<0时， 在x?n??0时，在n?0时，被

积函数在积分围线内有1个2阶极点z?c?T ，因此

xl?n??RcsXl?z?zn?1,c?T??c?Tnzn?1最后得到

l?e?T?d?Tnczdz?nc?Tn,n?0?z?e?T

?nc?Tn,n?0 xl???0,n?0或xl?n??nc?Tnu?n?

（7）

由收敛域可知，对应的是一个双边序列。将X(n)进行部分分式分解，即

z(2z?a?b)2?(a?b)z?1 X1(z)? ??1?1(z?a)(z?b)(1?az)(1?bz) =

A1A2? 1?az?11?bz?12?(a?b)z?1其中 A1?(1?az)X7(z)|?|t?a?1 t?a1?bz?1?12?(a?b)z?1?1 A2?(1?bz)X7(z)|t?b?|?1t?b1?az?1 对于

所以

11?az?1，收敛条件|Z| ?a表明它对应于一个右边序列；又因limt?011?az?1=1有限值，

11应于一个逆因果序列。用长除法将展开成z的正幂级数，即 x(n)1?1?11?az1?az?1?1?1?1?1?az?az??az?????anz?n ?11?azn?0

由此得到

nx(n)?au(n) 1

11lim?1 对于1?bz?1，收敛条件|Z|

11?1x(n)。用长除法将1?bz?1展开成z的正幂级数，即 以1?bz对应于一个逆因果序列2??1?1?22?nn?nn??bz?bz???bz?????bz???bnz?n ?11?bzn?1n?1由此得到

x(n)=?bu(?u?1) 最后得到

x(n)?au(n)?bu(?u?1)

2nnn7

2.23 求X（Z）＝e?e，0<|z|

?z2zn1e?1?z??...??...??zn2!n!n?0n!z01?n1?n??z?1??z(?n)!|n|!n???n????z?2z?n1e?1?z??...??...??z?n2!n!n?0n!由以上两式得出?1?1?n?1?n1?nX(z)=1+?z??z?1??zn!n!|n|!n=-?n?0n???-11z0z1zz1z

最后得1x(n)=?(n)+,???n??|n|!

2.24 试确定X(z)=z是否代表某个序列得Z变换，请说明理由

解 不能，因为，如果X（z）能代表某个序列得Z变换，则X（z）必须在收敛域内试解析函数。但是，现在x（z）＝u（x，y）＋jv（x，y）＝z＝x－jy，显然有

**?u?v?1???1，即X（z）不满足柯西－黎?x?y曼！方程，因此X（z）不是解析函数，故X（z）不能代表某个序列得Z变换。

2.25 如果X（z）是x(n)得Z变换，证明：

（1）z

?mX(z)是x(n-m)的Z变换

（2）X(a（3）?z?1z)是ax(n)的Z变换

ndX(x)是nx(n)的Z变换 dz?n解 (1)?x(n?m)zn=-???n=-??x(n)z??(n?m)?z?mn=-???x(n)z??n?z?mX(z)(2)?anx(n)z?n?n=-??n=-??x(n)(a?

?1z)?n?X(a?1z)(3)?nx(n)zn=-??nd?d??z?x(n)z?n??zX(z)dzn=-?dz

2.26证明

(1)

n??????x(n)z*?n?[?x(n)(z*)?n]*?X*(z*)

n?????(2)(3)

n????x(?n)z?n?n????x(n)(z??1?n)?X(z?1)

n????Re[x(n)]z???n?11?1*?n?n??[x(n)?x(n)]z?[?x(n)z??x*(n)z?n]?[X(z)?X*(z*)](4

2n???2n???2n???)

n????Im[x(n)]z?n?11?1*?n?n??[x(n)?x(n)]z?[?x(n)z??x*(n)z?n]?[X(z)?X*(z*)]2jn???2jn???2jn????

2.27解X(z)?1,|z|?1 ?11?z1Y(z)?,|z|?a ?11?azW(z)?X(z)Y(z)?其中A1?A1A21???W1(z)?W2(z) ?1?1?1?1(1?z)(1?az)1?z1?az11|? ?1z?11?az1?a A2?11?a|?? z?a1?z?11?a?11?a由于x(n)和y(n)都是因果序列，故w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W(z)的收敛域为|z|>1。这样，W1(z)的收敛域应为|z|>1，而W2(z)的收敛域为|z|>a。这意味着W1(z)和W2(z)都对应于因果序列，因此可用长除法分别将W1(z)和W2(z)展开成z的负幂级数，即

11??n?1?2W1(z)?(1?z?z?…?…)??z

1?a1?an????a?a?n?n?12?2n?nW2(z)?(1?az?az?…?az?…)?az ?1?a1?an?0由上二式得到

?1(n)?1?anu(n)，?2(n)?au(n) 1?a1?a最后得到

1?an?1?(n)??1(n)??2(n)?u(n)

1?a2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为|a|?|z|??；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要

求|a|?1。极点为z?a，零点为z?a，收敛域|a|?|z|??。极－零点图和收敛域示于图1.7。

?11?a?1e?j? (2)H(e)?

1?ae?j?j?

1?j?2?1?a?1e?j?1?a?1e?j?*1?a?e1?a?e1j?1?a??a(e1j??e?j?)|H(e)|?()()?()()??j??j??j?j?1?ae1?ae1?ae1?ae1?a2?a(ej??e?j?)j?2?1?a?2acos?a(a?1?2acos?)??a?2221?a?acos?1?a?acos??2?1?22因此

得到|H(ej?)|?a?1，即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。 2.30(1)根据极－零点图得到x(n)的Z变换

X(z)?z?11(z?)(z?2)(z?3)3

因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为

1?|z|?2。故x(n)是双边序列。 3 (2)因为x(n)是双边序列，所以它的Z变换的收敛域是一个圆环。根据极点分布情况，收敛域有两种可

能：

1?|z|?2或2?|z|?3。 3 采用留数定理法求对应的序列。被积函数为

X(z)zn?1?z?11(z?)(z?2)(z?3)311 对于收敛域?|z|?2，被积函数有1个极点z?在积分围线内，故得

331(z?1)zn?1 x(n)?RseX[z(z)?,]1?|z?3(z?2)z(?3)3?1zn?1

1n0.n9?() ,30 被积函数有2个极点z1?2和z2?3在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高

3?n?2(因n<0)，故

x(n)??Res[X(z)z

n?1,z1]?Res[X(z)zn?1?(z?1)zn?1(z?1)zn?1,z2]?|z?2?|z?311(z?)(z?3)(z?)(z?2)最后得到

33?0.9?2n?0.5?3n,n?01n?0.9()n,?0? x(n)?? 3?0.9?2n?0.5?3n,n?0? 或x(n)?0.9()u(n)?(0.9?2?0.5?3)u(?n?1) 对于收敛域2?|z|?3，被积函数有2个极点z1?13nnn1和z2?2在积分围线内，故 3x(n)?Res[X(z)z

n?1,z1]?Res[X(z)zn?1(z?1)zn?1(z?1)zn?1,z2]?|1?|z?2(z?2)(z?3)z?3(z?1)(z?3)被积函数有31?0.9?()n?0.9?2n,n?031个极点z?3在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高3?n?2(因n<0)，故

eX[z(z) x(n)??Rs?1?(z?1z)n?1?,3]|z?3??1(z?)z(?2)3n?0.n5?3 ,01n?0.9()?0.9?2n,n?0? 最后得x(n)?? 3??0.5?3n,n?0?) x(n)?0.9[(?13nnnu2n]?()?0.u5?3n? (1)11，所以收敛域为|z|?。因222.31因系统稳定，所以单位圆必须在收敛域内。由于系统的极点为z?limH(z)??，故该系统不是因果系统。

z??2.32(1)?(n)???(n?1)?x(n)，y(n)??(n)??(n?1)

y(n)??Res[Y(z)zn?1,zi]i?13zn?2zn?2zn?2?|z???|z???|z?a(z??2)(z?a)1(z??1)(z?a)2(z??1)(z??2)?1n?2?2n?2an?2 ???(?2??1)(?1?a)(?2??1)(?2?a)(a??1)(a??2)(?2?a)?1n?2?(?1?a)?2n?2?(?1??2)an?2?(?1??2)(?1?a)(?2?a)(re?j??a)(rej?)n?2?(rej??a)(re?j?)n?2?j2rsin?an?2?,n?0j??j?j2rsin?(re?a)(re?a)

第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考

?(k)。 ?(n)是周期为4的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数X3.1 图P3.1所示的序列x

??(n)W解：X(k)??xn?0N?1nkN?(?n)W??xn?0N?1nkN?(N?1)??n?0?nk?(?k)?X?*(k)?(n)WNx?X

?(k)是共轭对称的，即X?(k)?X*(?k)。 ?(n)为实周期序列，证明x?(n)的傅里叶级数X3.2 （1）设x?(k)也是实偶函数。 ?(n)为实偶函数时，X（2）证明当x证明：（1）

?nk?(?k)??x?(n)WNXn?0N?1?(?k)?[?x?(n)WX*n?0N?1?nk*N?(n)W]??xn?0N?1nkN?(k)?X

?(n)为实函数，故由（1）知有 （2）因x?(k)?X*(?k)或X?(?k)?X*(k) X?(n)为偶函数，即x?(n)?x?(?n)，所以有 又因x

?(k)??x?(n)WXn?0N?1nkN?(?n)W??xn?0N?1nkN?(N?1)??n?0?(?k)?X?*(k)?(n)WN?nk?Xx

?(n)。利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号x?(k)，确定以下式子是否正确。 数的系数X?(k)?X?(k?10)，对于所有的k； （1）X?(k)?X?(?k)，对于所有的k； （2）X?(0)?0； （3）X?(k)e（4）Xjk2?5，对所有的k是实函数。

?(k)也是一个周期为N＝10的周期序列。?(n)一个周期为N＝10的周期序列，解：（1）正确。因为x故X ?(k)是共轭对称的，即应有?(n)一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，X（2）不正确。因为x?(k)不一定是实数序列。 ?(k)?X*(?k)，这里XX?(n)在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有（3）正确。因为x?(0)??x?(n)?0 Xn?0N?1?(k)e（4）不正确。根据周期序列的移位性质，Xjk2?5?(k)W?2k对应与周期序列x?(n?2)，如＝X10jk2?5?(k)e图P3.3_1所示，它不是实偶序列。由题3.2中的（2）知道，X不是实偶序列。

?(n)?3.4 设x(n)?R3(n)，xN?1n?0r????(k)，并作图表示x?(k)。 ?(n)和X?x(n?6r)，求X5?解： X(k)???(n)W?xnkN?(n)W??xn?0nk6??Wn?02nk61?W63k1?e?j?k1?(?1)k?????k?jk?jk1?W61?e31?e3

?(0)?1X?(2)?X?(4)?0X2?1?j3 1?(1?j3)/2?(3)?2?1X1?e?j??(1)?X?(5)?X2?1?j31?(1?j3)?(k)的图形如图3.4_1所示： ?(n)和Xx

?2(n)，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积?1(n)和x3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列x?3(n)，并图表示。 x

?3(n)的过程，可以看出，x?3(n)是x?1(n)延时1的结解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积x?3(n)?x?1(n?1)。 果，即x

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