(简)3-2(3)二重积分的换元法

微积分,高等数学

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一、二重积分的换元法平面上同一个点， 平面上同一个点，直角 坐标与极坐标之 x = r cos θ, 间的关系为 y = r sin θ.上式可看成是从直角坐 标平面 roθ 到直角 θ 的一种变换， 坐标平面 xoy 的一种变换， 即对于 roθ 平

通过上式变换， 面上的一点 M ′( r , θ),通过上式变换，变 成 xoy 平面上的一点 M ( x , y ),且这种变 换是一对一的. 换是一对一的.

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定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续， 连续，变换 T : x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D′ 变为 xoy 平面上的 D, 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D′ 上具有一阶连续偏导数 ； ( 2) 在 D′ 上雅可比式 ( x, y) J ( u, v ) = ≠ 0; ( u, v )

( 3) 变换 T : D′ → D 是一对一的，则有 是一对一的，

∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f [ x(u, v ), y( u, v )] J (u, v ) dudv .D D

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例1 计算 ∫∫ eD

y x y+ x

dxdy, 其中 D由 x 轴、y轴和直

所围成的闭区域. 线 x + y = 2 所围成的闭区域.y解 令 u = y x,

v = y + x,D

x+ y=2

v u , 则x= 2

v+u y= . 2y = 0 → u = v;

ovu = v

xv=2

D → D′, 即 x = 0 → u = v; x + y = 2 → v = 2.

D′

u=v

o

u

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1 1 ( x, y) 2 2 1 J= = = , 1 1 ( u, v ) 2 2 2

故

∫∫ eD2

y x y+ x

1 dxdy = ∫∫ e dudv 2 D′u v

u v

1 1 2 = ∫0 dv ∫ ve du = ∫ (e e 1 )vdv = e e 1 . 2 2 0v

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例2

计算 ∫∫D

x2 y2 1 2 2 dxdy, 其中D 为 a b

x2 y2 所围成的闭区域. 椭圆 2 + 2 = 1 所围成的闭区域. a b x = ar cos θ, 解 作广义极坐标变换 y = br sin θ,其中 a > 0, b > 0, r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π .在这变换下 D → D′ = {( r , θ) 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π},

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( x, y) J= = abr . ( r ,θ )

J 在 D′ 内仅当 r = 0 处为零， 处为零， 故换元公式仍成立， 故换元公式仍成立，∴∫∫D

x2 y2 2 2 1 2 2 dxdy = ∫∫ 1 r abrdrdθ = πab. 3 a b D′

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二、小结1.作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 的形状， 的形式. 同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式.基本要求:变换后定限简便，求积容易. 基本要求:变换后定限简便，求积容易.

1 ( x, y) 2. J = . = (u, v) (u, v) ( x, y)

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思考题y ( x + y )2 e dσ ,其中 D: x + y = 1, 计算 ∫∫ : D x+ y x = 0和 y = 0 所围成 所围成.

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思考题解答y

u = x + y x = u v , 令 y=v v= y

x+ y=1

Do

x

( x, y) 雅可比行列式 J = = 1, ( u, v )变换后区域为

v

u=vD′

o

u

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D′ : x + y = 1 u = 1 x = 0 u v = 0 y=0 v=0 y ( x + y )2 ∫∫ x + ye dσ = ∫∫′ f ( u, v ) | J | dudv D D

v u u u2 1 = ∫ du ∫ e dv = ∫ e du = (e 1). 4 0 0u 0 22

1

u

1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/unb1.html