高中数学--必修五数列导学案

修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎

数列导学案

§2.1 数列的概念及简单表示（一）

【学习要求】

1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法．

3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．

【学法指导】

1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．

3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】

1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为 ．

3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列．

4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式． 【问题探究】

探究点一 数列的概念

问题 先看下面的几组例子：

（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； 1111

（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，，，，；

2345

（3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；

（5）当n分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．

探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法

问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？

探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． （1）数列：1,3,5,7,9，…

①用公式法表示：an＝ ； ②用列表法表示：

1

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1111

（2）数列：1，，，，，…

2345

①用公式法表示：an＝ . ②用列表法表示：

③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式

问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？

探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？

数列 －1,1，－1,1，… 1,2,3,4，… 1,3,5,7，… 2,4,6,8，… 1,2,4,8，… 1,4,9,16，… 1111，，，，… 234通项公式 an＝ an＝ an＝ an＝ an＝ an＝ an＝ 【典型例题】

例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． （1）an＝cos

nπ； 2

1111

（2）bn＝＋＋＋…＋.

1×22×33×4n?n＋1?

小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复

杂，应考虑运算化简后再求值．

跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．

1?(?1)n（1）an＝2＋1；（2）bn＝

2n

例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…； 1925

（2），2，，8，，…；

222

（3）9,99,999,9 999，…； （4）0,1,0,1，….

小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．

2

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跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： 1111

（1）2，4，6，8，…；

24816（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； 1111

（3）－，，－，，….

261220

?－1?n?n＋1?

例3 已知数列{an}的通项公式an＝.

?2n－1??2n＋1?（1）写出它的第10项；

2

（2）判断是不是该数列中的项．

33

小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．

11

跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第______项．

120n?n＋2?

【当堂检测】

1．下列叙述正确的是 ( )

A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n} n

C．数列0,1,0,1，…是常数列 D．数列{}是递增数列

n＋1

2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，…. 3．已知下列数列：

n－112

（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，，，…，，…；

23n

?－1?n1·n11123

（3）1，，，…，n－1，…； （4）1，－，，…，，…；

243522n－1

－

（5）1,0，－1，…，sin

nπ

，…； （6）6,6,6,6,6,6. 2

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)

【拓展提高】

4．写出下列数列的一个通项公式： （1）a，b，a，b，…； 81524

（2）－1，，－，，….

579

【课堂小结】

1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an

3

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只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．

2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．

3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．

4

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§2.1 数列的概念及简单表示（二）

【学习要求】

1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项． 2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．

【学法指导】

1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．

2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．

【知识要点】

1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式．

2．数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 ．

3．一般地，一个数列{an}，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果数列{an}的各项都 ，那么这个数列叫做常数列．

4．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝1，则an＝ ，从单调性来看，数列是单调 数列．

【问题探究】

公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{an}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，an＋1＝an＋an－1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式． 探究点一 数列的函数特性

问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识． 探究1 数列的单调性

下面给出了一些数列的图象：

5

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a1，an，n，d中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷． 3．数列的应用题在数列中占有很重要的地位．

【拓展提高】

§2.2 等差数列（二）

【学习要求】

1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质． 2．能运用等差数列的性质解决有关问题．

【学法指导】

1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性质．

2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质．

【知识要点】

1．等差数列的通项公式：an＝ .

2．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a1＋an＝a2＋ ＝…＝ak＋ . 3．等差数列的性质

（1）若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则 .

（2）若{an}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为 . （3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为 的等差数列．

【问题探究】

探究点一 等差数列的常用性质

问题 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有下列 性质：

（1）若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. （2）若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am＋an＝2ak. 请你给出证明．

探究 已知等差数列{an}、{bn}分别是公差为d和d′，则由{an}及{bn}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．

①{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为 ；

②下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为 的等差数列； ③数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为 的等差数列；

11

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④数列{an＋bn}仍是等差数列，公差为 ；

⑤数列{λan＋μbn}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为 . 探究点二 等差数列与一次函数的联系

探究 由于等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)，与一次函数对比可知，公差d本质上是相应直线的斜率．如am，an是等差数列{an}中的任意两项，由an＝am＋(n－m)d，可知点(n，an)分布以 为斜率，以 为纵截距的直线上．

请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表.

d>0 d＝0 d<0 {an}为 数列 {an}为 数列 {an}为 数列 【典型例题】

例1 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．

小结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．

跟踪训练1 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．

例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．

小结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．

跟踪训练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．

2an例3 已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝. an＋21

（1）数列{}是否为等差数列？说明理由．

an

（2）求an.

小结 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．

跟踪训练3 正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＋1＝an＋an. （1）数列{an}是否为等差数列？说明理由． （2）求an.

【当堂检测】

1．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( ) A．3

B．－3

3

C．

2

3D．－

2

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2．等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝____ 3．已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8

4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．

【课堂小结】

1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．

2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.

3．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．

【拓展提高】

§2.3等差数列前n项和（一）

【学习要求】

1．理解等差数列前n项和公式的推导过程．

2．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前n项和公式及性质的应用．

【学法指导】

1．运用等差数列的前n项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题．

2．要善于从推导等差数列的前n项和公式中，归纳总结出一般的求和方法——倒序相加法．

【知识要点】

1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做 .例如a1＋a2＋…＋a16可以记做 ；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝ (n≥2)．

2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝ ；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝ 3．写出下列常见等差数列的前n项和 （1）1＋2＋3＋…＋n＝ ． （2）1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ . （3）2＋4＋6＋…＋2n＝ . 4．等差数列{an}中

（1）已知d＝2，n＝15，an＝－10，则Sn＝________； （2）已知a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝________； 51

（3）已知a1＝，d＝－，Sn＝－5，则n＝_______

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【问题探究】

“数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，…共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？

这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等差数列的求和方法．

探究点一 等差数列前n项和公式的推导 问题 求和：1＋2＋3＋…＋100＝？

对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋…＋2＋1.

所以有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S＝50×101＝5 050. 请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n＝？

探究 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，你能利用“倒序相加法”求等差数列{an}的前n项和Sn吗？

探究点二 等差数列前n项和的性质

探究1 设{an}是等差数列，公差为d，Sn是前n项和，易知a1＋a2＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m也成等差数列，公差为 .上述性质可以用前n项和符号Sn表述为：若{an}成等差数列，则Sm， ，_________也成等差数列．

Sn探究2 若数列{an}是公差为d的等差数列，求证：数列{}也是等差数列．

nanS2n－1

探究3 设Sn、Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和，证明：＝.

bnT2n－1

【典型例题】

例1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

小结 在解决等差数列问题时，如已知a1，an，n，d，Sn中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．

跟踪训练1 已知等差数列{an}中，

31

（1）a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；

22

（2）a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.

例2 （1）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m； Sn7n＋2a5（2）两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．

Tnn＋3b5

小结 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、

事半功倍的效果．

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?Sn?

跟踪训练2 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列?n?的

??

前n项和，求Tn.

例3 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.

（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？

（2）如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n项和． 跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A．9 B．10 C．19 D．29

【当堂检测】

1．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于 ( ) A．2 B．3 C．6 D．7 2．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于 ( ) A．18 B．27 C．36 D．45

3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，则S6＝________. 4．已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2 550，求a及k.

【课堂小结】

1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法．

2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．

n?a1＋an?

在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首2n?n－1?

项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．

2

3．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．

【拓展提高】

§2.3等差数列前n项和（二）

【学习要求】

1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n项和的最值问题．

15

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3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.

【学法指导】

1．任何一个数列{an}与它的前n项和Sn之间都有一个等量关系式，此公式为：an＝

??S1 ?n＝1?，?，题中已知一个数列的前n项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，?Sn－Sn－1 ?n≥2??

同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分类讨论．

2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．

3．等差数列的前n项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境界处理等差数列的前n项和问题．

【知识要点】

1．前n项和Sn与an之间的关系

?? ?n＝1?，

对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝?

? ?n≥2?.?

2．等差数列前n项和公式Sn＝ ＝ .

3．若等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，则A＝___，B＝ ，C＝ 4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．

【问题探究】

1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？

2．如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？

3．如果{an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再是等差数列，如何求{|an|}的前n项和？

这一节课我们就来解答上面的问题．

探究点一 数列{an}的前n项和Sn与an的关系

问题 我们已经知道，如果通项公式an已知，就能求出Sn；反过来，如果已知数列{an}的前n项和Sn，能否求出它的通项公式an?

探究 如果数列{an}的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，求通项公式an，并判断这个数列一定是等差数列吗？

探究点二 等差数列前n项和的最值

n?n－1?d2d

问题 由于Sn＝na1＋d＝n＋(a1－)n，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，此解析式可以

222d

看作二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 的二次函数，其图象为抛物线y＝x2＋(a1

2d

－)x上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N*)． 2

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因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d＞0时，Sn有最 值；当d＜0时，Sn有最 值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．

探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n项和Sn取到最值时序号n的规律. 序号 1 2 3 4 等差数列 1,3,5,7,9，…， －5,－3，－1,1,3， …， 4,2,0,－2， －4，…， －1,－2，－3,－4，－5，…， 基本量 a1＝ ， d＝ . a1＝ ， d＝ . a1＝ ， d＝ . a1＝ ， d＝ . 前n项和Sn Sn＝ Sn＝ Sn＝ Sn＝ Sn的最值 (Sn)min＝1， 此时n＝ . (Sn)min＝ ， 此时n＝ (Sn)max＝ ， 此时n＝ (Sn)max＝ ， 此时n＝ 通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：

（1）若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最 值． （2）若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最 值；

特别地，若a1＞0，d＞0，则S1是{Sn}的最 值;若a1＜0，d＜0，则S1是{Sn}的最 值．

【典型例题】

例 1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an.

小结 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示． 跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.

例2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．

小结 在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．

跟踪训练2 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．

例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.

小结 等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．

跟踪训练3 已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.

【当堂检测】

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于 ( ) A．n B．n2 C．2n＋1 D．2n－1

2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是 ( )

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A．－2 B．－1 C．0 D．1 3．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝________.

4．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．

【课堂小结】

1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n项和的最值

（1）二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．

??an≥0，

（2）通项法：当a1>0，d<0，?时，Sn取得最大值；

?an＋1≤0?

??an≤0，

当a1<0，d>0，?时，Sn取得最小值．

?an＋1≥0?

3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．

【拓展提高】

等差数列习题课

【学习要求】

1．熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题．

2．熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，an，n，Sn的关系，能够用其中三个求另外两个．

【学法指导】

a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的最基本方法，对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．

【知识要点】

1．等差数列的通项公式an＝ ，其中a1为首项，d为公差．

2．等差数列的前n项和：一般地，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝ 较好，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝ 较好．

3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质： ①若m＋n＝p＋q，则 (m，n，p，q∈N＋)；

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②若Sk表示{an}的前k项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是_____数列．

S奇

③若{an}有2k＋1项，k∈N＋，则中间一项是 ，S2k＋1＝___________，＝

S偶

4．对于数列{an}，一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，若已知Sn，则an＝

【基础自测】

1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝10，S10＝－5，则公差d为 ( ) A．－1 B．1 C．±1 D．2

2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．在等差数列{an}中，若a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，则S15等于 ( ) A．28 B．30 C．31 D．32 4．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________

【题型解法】

题型一 等差数列中基本量的运算

例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50. （1）求通项an；

（2）若Sn＝242，求n；

小结 在等差数列中，五个基本的量，只要已知三个量，就可以求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d，再求解．

?Sn?

跟踪训练1 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列?n?的

??

前n项和，求Tn.

题型二 等差数列前n项和的基本性质

例2 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．

小结 解数列问题时，要注意数列性质的灵活应用，可以运用等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn这一整体形式，避免繁琐复杂的计算．

跟踪训练2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sp＝Sq(p，q∈N*且p≠q)，则Sp＋q＝________ 题型三 等差数列中的创新型问题 例3 下表给出一个“等差数阵”： 4 7 7 12 ( ) ( ) ( ) ( ) … ai3 ( ) ( ) ( ) ( ) … ai4 ( ) ( ) ( ) ( ) … ai5 … … … … … … a1j a2j a3j a4j … aij … … … … … … ( ) ( ) ( ) ( ) … ai1 … ai2 19

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… … … … … … … … 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数． （1）写出a45的值；

（2）写出aij的计算公式．

小结 关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决． 跟踪训练3 把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

……………………………

根据以上排列规律，数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是______

【当堂检测】

1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( ) A．15 B．30 C．31 D．64 2．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为 ( ) A．24 B．22 C．20 D．－8 a13．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于 ( )

d1

A．

2

B．2

1

C．

4

D．4

4．已知等差数列{an}的公差d不等于0，Sn是其前n项和，给出下列命题： ①给定n(n≥2，且n∈N*)，对于一切k∈N*(k

③若d>0，且S3＝S8，则S5与S6都是数列{Sn}中的最小项；

S1S2S3Sn

1，?，?2，?，?3，?，…，?n，?(n∈N*)，…，在同一条直线上． ④点??1??2??3??n?其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)

【课堂小结】

1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n项和公式的出发点．

2．a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量表示，五个量a1，d，n，an和Sn中知三可求二．通常的做法是利用公式联立方程(组)求解．这是解决数列运算的最基本方法，具体求解时应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．

§2.4 等比数列（一）

20

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【学习要求】

1．通过实例，理解等比数列的概念并会应用． 2．掌握等比中项的概念并会应用． 3．理解等比数列的通项公式及推导．

【学法指导】

1．要善于通过实例的观察、分析、归纳，提炼等比数列的概念．

2．学习等比数列时，要注意与等差数列进行类比，掌握两个数列的联系与区别．

3．由等差中项类比得到等比中项时，要注意等比中项的存在前提是a，b必须同号，而且同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，这点与等差中项不同．

【知识要点】

1．如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示(q≠0)． an＋1

2．{an}成等比数列?＝q(n∈N*，q≠0)．

an

3．等比中项的定义

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，且G＝ . 4．等比数列的通项公式： . 【问题探究】

探究点一 等比数列的概念 观察下面几个数列： ①1,2,4,8,16，… 1111

②1，，，，，…

24816③1，－1,1，－1,1，… 1

④，－1,2，－4,8，… 2

上面这几组数列的共同点是： ____．像这样的数列，就叫做等比数列．这个非零常数叫做等比数列的

问题 下列所给数列中，等比数列的序号是________． ①1,1,1,1,1，…. ②0,1,2,4,8，….

③2－3，－1,2＋3，…. 1

④，2,4,8,16，…. 2

探究点二 等比中项

问题 请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念． 探究 下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.

对比项 等差中项 等比中项 21

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定义 定义式 公式 个数 备注 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 A－a＝b－A a＋bA＝ 2a与b的等差中项唯一 任意两个数a与b都有等差中项 若a，G，b成 数列，则G叫做a与b的等比中项 G＝ a与b的等比中项有 个，且互为 只有当 时，a与b才有等比中项

探究点三 等比数列的通项公式

问题 如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列{an}的通项公式吗？ 探究 除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？

【典型例题】

例1 在等比数列{an}中，

（1）已知a1＝3，q＝－2，求a6； （2）已知a3＝20，a6＝160，求an.

－

小结 等比数列的通项公式an＝a1qn1中有四个量a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．

20

跟踪训练1 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．

3

例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数．

小结 利用等比数列的通项公式求各项时，要注意选取的首项a1与项数n的对应关系，计算各项时注意防止序号出错．

827

跟踪训练2 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________

32

例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

小结 合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键．一般地，三个数a

成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.

q

跟踪训练3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．

【当堂检测】

1．在等比数列{an}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3等于( ) A．4 B．8 C．－4或4 D．－8或8 2．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为 ( )

22

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1

A．

3

B．3

1C．±

3

D．±3

3．45和80的等比中项为___________．

4．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为_____________

【课堂小结】

an＋1

1．由等比数列的概念可知，要判定一个数列是否为等比数列，只需看的比值是否为不为零的常anan＋1

数即可，也就是看＝q(q≠0)是否对任意的正整数n都成立．

an

2．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab)，而不是一个(ab)，这是容易忽视的地方．

－

3．等比数列的通项公式an＝a1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．

【拓展提高】

§2.4 等比数列（二）

【学习要求】

1．灵活应用等比数列的定义及通项公式． 2．熟悉等比数列的有关性质．

3．系统了解判断是否成等比数列的方法．

【学法指导】

1．等差数列与等比数列联系十分紧密，既有诸多相似之处，又有不同的地方，充分准确地把握它们之间的联系，会为我们解题带来诸多便利．

2．等比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在．

【知识要点】

1．等比数列的通项公式：an＝ ，推广形式：an＝am· (n，m∈N*)．

2．如果一个数列{an}的通项公式为an＝aqn，其中a，q都是不为0的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 ，公比为 .

3．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有_______，特别地，当m＋n＝2k时，am·an＝ . 4．若{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，即a1·an＝a2· ＝…＝ak· .

【问题探究】

探究点一 等比数列的单调性

探究 观察下面几个等比数列中项的变化趋势： ①1,2,4,8,16，…

23

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1111

②－1，－，－，－，－，…

2481611

③9,3,1，，，…

39

④－1，－2，－4，－8，－16，… 1111

⑤1，－，，－，，…

24816

通过上面的例子，可以得出下列结论：

当q＜0时，等比数列既不是递增数列，也不是递减数列，而是_____数列； 当a1＞0，q＞1时，等比数列是 数列； 当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列是 数列； 当a1＜0，q＞1时，等比数列是 数列； 当a1＜0,0＜q＜1时，等比数列是 数列．

综上所述，等比数列单调递增? ； 等比数列单调递减? . 探究点二 等比数列的性质

探究1 在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，证明am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*)．

*

探究2 在等比数列{an}中，若m＋n＝2k，证明am·an＝a2k(m，n，k∈N)．

问题 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝_____. 探究点三 等比数列的判断方法

探究1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？ 探究2 如何判断或证明一个数列不是等比数列？

问题1 若数列{an}为等差数列，公差为d，bn＝c (c>0且c≠1)，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．

问题2 若数列{an}为等比数列，公比为q，且an>0，bn＝lg an，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．

问题3 已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？

【典型例题】

例1 已知{an}为等比数列．

（1）若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；

（2）若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 跟踪训练1 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝215，求a2·a5·a8·…·a29的值．

例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1， （1）求证：数列{an＋1}是等比数列； （2）求{an}的通项公式． 小结 利用等比数列的定义

an＋1

＝q(q≠0)是判定一个数列是等比数列的基本方法．要判断一个数列不an

是等比数列，举一组反例即可，例如a22≠a1a3.

跟踪训练2 设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．

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例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)

小结 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．

跟踪训练3 在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的第一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染到多少万台计算机？

【当堂检测】

1．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为 ( ) A．100 B．－100 C．10 000 D．－10 000

1

2．某种产品平均每两年降低价格，目前售价为8 100元，则6年后此产品的价格为 ( )

3A．2 700元 B．3 600元 C．4 800元 D．5 400元 3．一直角三角形的三边边长成等比数列，则 ( ) A．三边边长之比为3∶4∶5 B．三边边长之比为1∶3∶3 C．较小锐角正弦值为

5－15－1

D．较大锐角正弦值为 22

4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．

【课堂小结】

1．等比数列的判断或证明

an＋1

（1）利用定义：＝q (与n无关的常数)．

an

*

（2）利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2 (n∈N)．

2．解等比数列的问题的基本方法是基本量法，但利用等比数列的性质会大大提高解题速度，这些性质在课本中没有提出，但在习题中却时有出现，所以有必要总结一些，并会推证，但不必过多、过细．

3．解与等比数列有关的应用题，要抓住其中带有等比数列特征的关键性语言，如“每年平均增长P%”“每次是上次的几分之几”等，建立等比数列的模型，再用数列的相关知识解之．

【拓展提高】

§2.5等比数列前n项和（一）

【学习要求】

1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．

2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．

25

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【学法指导】

1．推导等比数列前n项和公式的关键在于准确把握“错位相减，消除差别”的内涵． 2．运用等比数列前n项和公式时，一定要注意“q＝1”与“q≠1”时必须使用不同的公式．

3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

【知识要点】

1．等比数列前n项和公式：

? ＝ ?q≠1?

（1）公式：S＝?

? ?q＝1?

n

.

（2）注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况． 2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝3．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn为

n

a1(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝ . 1－q

( )

n－1

1－xA．

1－x

n

1－x1－x????，x≠1，x≠11－x

B． C．?1－x D．?1－x

1－x

???n，x＝1?n，x＝1

n－1

【问题探究】

国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立

体形状，分涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩．高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢？数学家开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求．国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢？”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子？”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋．假定一千粒麦的质量为40 g，那么，数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢？(将超过7 000亿吨)这实际上是求数列1,2,4，…，263的和．据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，显然国王无法满足数学家的要求．

这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题，那么等比数列的求和公式是怎样的呢？怎样的等比数列才能应用这个公式呢？这一节我们就来学习等比数列的求和公式． 探究点一 等比数列前n项和公式的推导

探究1 阅读教材后，完成下面等比数列前n项和公式的推导过程．

设等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，由等比数列的通

－

项公式可将Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn1.

26

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①

则qSn＝ . 由①－②得：(1－q)Sn＝ . 当q≠1时，Sn＝ .

当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝ . ，q＝1??

综上所述，S＝?

?? ， q≠1

n

②

当q≠1时，因为an＝a1qn1.

－

na1，q＝1??

所以Sn可以用a1，q，an表示为Sn＝?

?? ，q≠1

探究2 下面提供了两种推导等比数列前n项和公式的方法．请你补充完整． a2a3a4an

方法一 由等比数列的定义知：＝＝＝…＝＝q.

a1a2a3an－1当q≠1时，由等比性质得：

a2＋a3＋a4＋…＋an

＝q，即 ＝q.

a1＋a2＋a3＋…＋an－1

a1?1－qn?

故Sn＝ ＝.

1－q

当q＝1时，易知Sn＝ .

方法二 由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an得： Sn＝a1＋a1q＋a2q＋…＋an－1q＝a1＋q· ＝a1＋q· 从而得(1－q)·Sn＝ . 当q≠1时，Sn＝ ； 当q＝1时，Sn＝na1.

探究点二 错位相减法求和

问题 教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的n

新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．

2123n1

设Sn＝＋2＋3＋…＋n，∴Sn＝ ，

222221

∴Sn－Sn＝ ，

21

即Sn＝ ＝ . 2∴Sn＝ ＝ .

【典型例题】

27

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763

例1 在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.

22

小结 涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．

跟踪训练1 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.

例2 已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．

小结 本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧． 跟踪训练2 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.

例3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．

小结 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．

－

跟踪训练3 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an1的前n项和

【当堂检测】

1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于

( )

n(?1)n?1A．

2??(?1)n?1?1(?1)n?1B． C．

22(?1)n?1D．

22．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是 ( ) A．179 B．211 C．243 D．275 39

3．在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝______.

224．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n＝_____________

【课堂小结】

1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公

比q为基本量，且“知三求二”．

2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．

3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．

【拓展提高】

§2.5等比数列前n项和（二）

【学习要求】

1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．

28

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2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．

【学法指导】

1．解决与等比数列前n项和有关问题的关键在于“基本量”以及方程思想方法的灵活运用． 2．运用等比数列前n项和解题时要注意“整体思想”方法的灵活运用．

3．利用等比数列的知识解决实际问题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型，明确首项a1，公比q，以及项数n的实际含义，切忌含糊不清．

【知识要点】

1．等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时,Sn＝ ＝ ；当q＝1时，Sn＝ . 2．等比数列前n项和的性质：

（1）连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成 数列．(注意：q≠－1或m为奇数)

（2）Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．

S6S93．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于( )

S3S6A．2

7

B．

3

8

C．

3

D．3

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且a≠1的常数)，则数列{an} ( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．或者是等差数列，或者是等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列

【问题探究】

一件家用电器，现价20 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，一个月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期付款多少元？要解决上述问题，需要了解复利的计算方法，这正是这一节的主要内容之一． 探究点一 等比数列前n项和Sn与函数的关系

探究 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上一些孤立的点．

a1a1na1当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝(1－qn)＝(q－1)．设A＝，则上式可

1－qq－1q－1以写为Sn＝A(qn－1)．由此可见，q≠1时，由等比数列前n项和Sn构成的点列(1，S1)，(2，S2)，(3，

S3)，…，(n，Sn)位于函数y＝A(qx－1)的图象上．

问题1 若{an}是等比数列，它的前n项和为Sn＝3n＋t，则t＝_____.

－

问题2 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n1＋t，则t＝______ 探究点二 等比数列前n项和的性质

问题1 等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，求证：Sm＋n＝Sm＋qmSn.

问题2 在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列． 请你证明上述结论．

探究点三 分期付款问题

29

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问题 在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月还x元，想一想，每月付款金额x元应如何计算？

下面给出了两种推导方法，请你补充完整：

方法一：每个月还款x元后的剩余欠款按月份构成一个数列，记作{an}，则有： 经过1个月，还款x元后，剩余欠款为a1＝ ；

经过2个月，还款x元后，剩余欠款为a2＝a1(1＋r)－x＝______________； 经过3个月，还款x元后，剩余欠款为a3＝a2(1＋r)－x＝______________； … …

经过m个月，还款x元后，剩余欠款为am＝am－1(1＋r)－x＝ . 由于经过m个月后，欠款还清，故am＝0，从而有a(1＋r)m＝ ．即x= . 方法二：我们可以把该问题分开来看：

一方面，每月付款x元，共付m次，m个月后各期付款到期后的本息和为：

期数 1 2 3 … … m－1 m x 本息和 [?1＋r?m－1]

从而到期后(m个月后)，银行共收到付款及利息为：________________＝x；

r另一方面贷款a元，m个月后应偿还本息和为 ；

[?1＋r?m－1]

由于m个月后，贷款全部付清，所以有x＝ ，故x＝ . r

【典型例题】

2

例1 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S2n＋S2n＝Sn(S2n＋S3n)．

小结 运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．

跟踪训练1 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．

1?211

例2 设{an}是等差数列，bn＝? ，已知：b＋b＋b＝，bbb＝，求等差数列的通项an. 123123

?2?88小结 等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也

会降低解题的运算量，从而减少差错．

跟踪训练2 在等比数列{an}中，an>0 (n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.

（1）求数列{an}的通项公式；

S1S2Sn（2）设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．

12n

例3 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年

开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.

（1）以2013年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；

（2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数)

30

修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎

参考数据：0.910≈0.35.

小结 本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度．

跟踪训练3 某家用电器一件现价20 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)

【当堂检测】

1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于 ( ) A．1 B．0 C．1或0 D．－1

2．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为 ( ) A．180 B．108 C．75 D．63

－

3．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n2＋k，则实数k的值为 ( ) 1

A．

3

1B．－

3

1

C．

9

1D．－

9

4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为 ( ) A．1.14a B．1.15a C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1)

【课堂小结】

1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误． 2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．

3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．

【拓展提高】

习题课 数列求和

【学习要求】

1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式． 2．掌握数列求和的几种基本方法．

【学法指导】

1．数列的前n项和常用方法：(1)公式求和法；(2)错位相减法；(3)拆项相消法；(4)奇偶并项法等． 2．求数列的前n项和时，应先考查其通项公式，根据通项公式的特点，再来确定选用何种方法．数列求和的实质就是一个代数式的化简问题．

31

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【知识要点】

1．等差数列的前n项和公式：Sn＝ ＝ . 2．等比数列前n项和公式： （1）当q＝1时，Sn＝ ；

（2）当q≠1时，Sn＝ ＝ .

3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝ 4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：

111

（1）＝ ；（2）＝ ；（3）＝

n?n＋1?n＋n＋1(2n?1)(2n?1)【基础自测】

11．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )

n?n＋1?A．1

5

B．

6

1

C．

6

1D． 30( )

1111

2．数列1，2，3，4，…的前n项和为

2481611

A．(n2＋n＋2)－n

2211C．(n2－n＋2)－n

22

11

B．n(n＋1)＋1－n－1 2211D．n(n＋1)＋2(1－n)

221n＋n＋1

，若前n项的和为10，则项数为 ( )

D．1 007

D．121 ( )

3．数列{an}的通项公式an＝

A．11 B．99 C．120

4．数列{(－1)n·n}的前2 013项的和S2 013为 A．－2 013 B．－1 007 C．2 013

【题型解法】

题型一 分组分解求和

111

x＋?2＋?x2＋2?2＋…＋?xn＋n?2. 例1 求和：Sn＝?x?x??x???

小结 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等

比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．

－

跟踪训练1 求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an1，…的前n项和Sn(其中a≠0)．

题型二 拆项相消求和

1111

例2 求和：2＋2＋2＋…＋2，n≥2.

2－13－14－1n－1

小结 如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用拆项求和法．

32

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111

跟踪训练2 求和：1＋＋＋…＋. 1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋n

题型三 奇偶并项求和

例3 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)． 跟踪训练3 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.

【课堂小结】

求数列前n项和，一般有下列几种方法． 1．错位相减

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和

把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．拆项相消

有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 4．奇偶并项

＋

当数列通项中出现(－1)n或(－1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论． 5．倒序相加

例如，等差数列前n项和公式的推导方法．

【拓展提高】

章末复习课

【学习要求】

【双基检测】

1．一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将报纸对折(即沿对边中点的连线折叠)7次，这时报纸的厚

33

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度和面积分别为( ) 1

A．8a，b

8

111

B．64a，b C．128a，b D．256a，b

64128256

2．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制“逢二进一”．如(1101)2表示二进制的数，

将它转换成十进制的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数转换成十进制数的形式是( )

A．217－2 B．216－1 C．216－2 D．215－1

3．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100等于 ( ) A．1 300 B．2 600 C．0 D．2 602 4．观察下面的数阵： 1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 … … … … … … …

根据此数阵的规律，则第20行所有数的和是________

【题型解法】

题型一 方程(组)的思想解数列问题

例1 记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn. 小结 在等差数列{an}中，通常把首项a1和公差d作为基本量，在等比数列{bn}中，通常把首项b1和公比q作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法．

11111

跟踪训练1 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3与S4的等比中项为S5，S3与S4的等差中

34534项为1，求等差数列{an}的通项an.

题型二 转化与化归思想求数列通项

例2 已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1 (n≥2且n∈N*)． （1）求a2，a3的值；

?an＋λ?

（2）是否存在实数λ，使得数列?n?为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

?2?

（3）求通项公式an.

小结 根据数列递推公式求通项公式，基本思路是构造等差数列或等比数列，转化为基本数列后再采用公式求解．

2n1·an

跟踪训练2 已知数列{an}满足an＋1＝n＋1，a1＝2.求an. an＋2

＋

题型三 函数思想求解数列问题

例3 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． （1）求数列{an}的通项公式；

34

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（2）设bn＝

1t

(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>总成36n(an?3)立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．

小结 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．

跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. （1）证明：{an－1}是等比数列；

（2）求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值？并说明理由．

【课堂小结】

等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题，一般为基础题，多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档问题．在解题时，应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，巧用性质，减少运算量，又快又准地解决问题．

【拓展提高】

35

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