矩阵理论第一章 线性代数相关知识

矩阵理论第一章 线性代数相关知识

矩阵理论成都信息工程学院 李胜坤

矩阵理论第一章 线性代数相关知识

第一章

线性代数相关知识

线性空间的定义与例子定义 如果数集 P 中任意两个数作某一运算后的结果仍在 对这个运算是封闭的。对加， P 中，我们就称数集 P 对这个运算是封闭的。对加，减， 乘，除四则运算封闭的数集 称为数域。 称为数域。 P

定义 是一个非空的集合, 是一个数域， 设 V 是一个非空的集合 P 是一个数域， 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 在集合 V 中定义两种代数运算 一种是加法运算 另一种是数乘运算, 并且这两种运算满足下列八 另一种是数乘运算 并且这两种运算满足下列八 条运算律： 条运算律： α + β = β +α (1) 加法交换律 ) (2) 加法结合律 )

(α + β ) + γ = α + ( β + γ )

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(3) 零元素 ) 在 V 中存在一个元素 0 ,使得对 于任意的 α ∈ V 都有

α +0 =α(4) 负元素 ) 对于 V 中的任意元素 α 都存 在一个元素 β 使得

α+β =0

负元素. 则称β 是 α 的 负元素 (5) 数 1 )

1α = α

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(6) ) (7) ) (8) )

k (lα ) = ( kl )α ( k + l )α = kα + lα

k (α + β ) = kα + k β

其中 k , l ∈ P, α , β ∈ V . 称这样的集合 V 为数域 P 上的线性空间。 上的线性空间 线性空间。 例 1 全体实函数集合 R(x) 构成实数域 线性空间。 线性空间。

R 上的

例 2 复数域 C上的全体 m × n 型矩阵构成 的集合 C m×n 为 C 上的线性空间。 上的线性空间。

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例 3 实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项 上的线性空间. 式集合 R[ x ]n 构成实数域 R上的线性空间 线性空间的基底， 线性空间的基底，维数定义 设 V 为数域 上的一个线性空间。 P 上的一个线性空间。如果在 V 中存在 n 个线性无关的向量α1 , α 2 , , α n 使得 V

中的任意一个向量 线性表出: 线性表出

α 都可以由 α1 , α 2 , , α n

α = k1α1 + k2α 2 + + knα n α1 , α 2 , , α n 为 V 的一个基底； (k1 , k2 , , kn )T 基底； 的一个基底 则称 下的坐标 坐标。 为向量 α 在基底α1 , α 2 , , α n下的坐标。此时我们称 V 为一个n 维线性空间，记为 dim V 维线性空间，

= n.

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线性空间的子空间定义 设 维线性空间， V 为数域 P 上的一个 n 维线性空间，

W 为V

的一个非空子集合， 的一个非空子集合，如果对于任意的

k , l ∈ P, α , β ∈ W , 都有

kα + l β ∈ W的一个子空间 子空间。 那么我们称 W 为V 的一个子空间。 例1 对于任意一个有限维线性空间 本身. 以及线性空间 V 本身

V

,它必有

平凡的子空间， 两个平凡的子空间 两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间

{0}

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子空间的交与和两个子空间的交: 两个子空间的和: V1 + V2 = { z =

x + y : x ∈V1, y ∈V2} 子空间交与和的性质 : 1.若 V1 和 V 都是 V 的子空间,则 V1 ∩V2 和 V1 + V2 也是V 2 的子空间. 2. V1 ∩V2 = V2 ∩V1

V1 ∩V2 = {α : α ∈V1 &α ∈V2}

V1 + V2 = V2 + V1(V1 + V2 ) + V3 = V1 + (V2 + V3 )

3. (V1 ∩V2 ) ∩V3 = V1 ∩ (V2 ∩V3 )

4. dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩V2 ) 两个子空间的直和: 如果 V1 + V2 中的任一向量只能唯一表示 为子空间 V1 的一个向量与子空间 V 2 的一个向量的和, 则称 为 V1 + V2 的直和.V 2 与 V1

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矩阵的特征值与特征向量 和非零向量 定义 设 x 使 Ax = λx ,则 λ 叫做 A 的特征值， 叫做 A 的属于特 征值 λ 的特征向量。 矩阵的特征值与特征向量的性质： 矩阵的特征值与特征向量的性质： (1) n 阶矩阵 A 的属于特征值 λ0 的全部特征向量 ) 再添上零向量， 的一个子空间， 再添上零向量，可以组成 R n 的一个子空间，称之为矩 特征子空间， 阵 A 的属于特征值 λ0 的特征子空间，记为 Vλ ,不难 0 看出 Vλ 正是特征方程组0

A ∈ C n×n ,如果存在 λ ∈ C

x ∈ C n,

的解空间。 的解空间。 (2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 ) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

( λ0 I A) X = 0

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(3) 设 λ1 , λ2 , , λr 是 A 的 r 个互不同的特征 ) 值， λi 的几何重数为 qi , α i1 , α i 2 , , α iqi 是对 个线性无关的特征向量， 应于 λi 的 qi 个线性无关的特征向量，则的所有这 些特征向量

α11 , α12 , , α1q ;1 2

α 21 , α 22 , , α 2 q ;

α r1 , α r 2 , , α rq

仍然是线性无关的。 仍然是线性无关的。 (4) 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数 ) 重数。 重数。 (5)一个特征向量不能属于不同的特征值。 )一个特征向量不能属于不同的特征值。

r

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矩阵的相似与相似对角化 相似矩阵的性质： 相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式， 相似矩阵有相同的特征多项式，有相 同的特征值，有相同的行列式值， 同的特征值，有相同的行列式值，有相同 的秩，有相同的迹，有相同的谱。 的秩，有相同的迹，有相同的谱。 定理： 定理： n 阶矩阵 A 可以对角化的充分必要 条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。

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定理： 定理： n 阶矩阵 A 可以对角化的充分必要条件是 每一个特征值的代数重数等于其几何重数。 每一个特征值的代数重数等于其几何重数。 例1 判断矩阵

3 1 1 2 0 1 A= 1 1 2 是否可以对角化？ 是否可以对角化？ 解： 先求出

A 的特征值

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λ 3 1 λ I A = 2 λ 1 = ( λ 1)( λ 2)于是的特征值为 λ12

1 1

1 λ 2

二重) = 1, λ2 = 2(二重)

是单的特征值， 由于 λ1 = 1是单的特征值，它一定对应一个线性 无关的特征向量。 无关的特征向量。下面我们考虑 λ2 = 2

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1 1 1 1 1 1 2 2 1 → 0 0 1 λ2 I A = 1 1 0 0 0 0 于是

R(λ2 I A) = 2, q2 = n R (λ2 I A) = 1从而不可以相似对角矩阵。 从而不可以相似对角矩阵。 不可以相似对角矩阵

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内积空间 定义： 维线性空间， 定义： 设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间， 对于 中的任意两个向量 α按照某一确 ,β V 定法则对应着一个实数， 定法则对应着一个实数，这个实数称为 α 与 β 的内积，记为 (α , β ) ,并且要求 内积， 内积满足下列运算条件： 内积满足下列运算条件：

(1) (2) (3) (4)

(α , β ) = ( β , α ) ( kα , β ) = k (α , β ) (α + β , γ ) = (α , γ ) + ( β , γ ) (α , α ) ≥ 0

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中任意向量， 为任意实数, 这里 α , β , γ 是 V 中任意向量，k 为任意实数 只有当 α = 0 时 (α , α ) = 0 ,我们称带有这 欧氏空间。 样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。 例1 在 R 中，对于n

α = ( x1 , x2 , , xn ), β = ( y1 , y2 , , yn )规定

(α , β )1 = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn n , )1 是 R 上的一个内积，从 上的一个内积， 容易验证 ( n 成为一个欧氏空间。 而 R 成为一个欧氏空间。如果规定

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(α , β ) 2 = x1 y1 + 2 x2 y2 + + nxn yn, ) 2 也是 R 上的一个内积 上的一个内积, 容易验证 ( n 又成为另外一个欧氏空间。 这样 R 又成为另外一个欧氏空间。例2 在 nm 维线性空间 R n×m 中，规定n

( A, B ) := Tr ( AB )T

上的一个内积， 容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例3 在线性空间 C[a, b] 中，规定

n ×m

n ×m

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( f , g ) := ∫ f ( x ) g ( x )dxa

b

上的一个内积， 容易验证 ( f , g ) 是 C[a, b] 上的一个内积， 对于这个内积成为一个欧氏空间。 这样 C[a, b] 对于这个内积成为一个欧氏空间。 定义： 维线性空间， 定义： 设 V 是复数域 C 上的 n 维线性空间， 对于 V 中的任意两个向量 α , β 按照某一确定 法则对应着一个复数， 法则对应着一个复数，这个复数称为α 与 β 内积， 的内积，记为 (α , β ) ,并且要求内积满足下 列运算条件： 列运算条件：

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(1) (α , β ) = ( β , α ) (2) ( kα , β ) = k (α , β ) (3) (α + β , γ ) = (α , γ ) + ( β , γ ) (4) (α , α ) ≥ 0

k 中任意向量， 这里 α , β , γ 是 V 中任意向量， 为任意复数,只有当 α = 0 时 (α , α ) = 0 ,我们称带有 酉空间。 这样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。欧氏 空间与酉空间通称为内积空间 内积空间。 空间与酉空间通称为内积空间

。 例1 设 C 是n

n 维复向量空间，任取 维复向量空间，

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α = (a1 , a2 , , an ) , β = (b1 , b2 , , bn )规定

(α , β ) := α ( β ) = a1b1 + a2b2 + + an bnT

, ) 是 C n上的一个内积，从 上的一个内积， 容易验证 ( 而C n 成为一个酉空间。 成为一个酉空间。 例2 设 C[a, b] 表示闭区间 [a , b] 上的所有 连续复值函数组成的线性空间， 连续复值函数组成的线性空间，定义

( f , g ) := ∫ f ( x ) g ( x )dxa

b

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