沪科版九年级数学上学期23.2解直角三角形及其应用课时练习含答案

九年级上学期数学课时练习题

（23.2 解直角三角形及其应用）

一、选择题

1.在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝

3，则斜边上的高等于（ ） 516126448A. B. C. D.

552525A.3 B.3 C.23 D.3+1

2.已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC+AC＝3+3，则BC等于（ ）

3.在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cosB＝2，则BC边长为（ ） 2A.7 B.8 C.8或17 D.7或17 4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ）

A.60° B.90° C.120° D.150°

5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ） A.

11 B.2－1 C.2－3 D.

43第5题图 第6题图 第7题图

3，则tanB的值为（ ） 53254A. B. C. D.

2363157.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则

236.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝tan∠CAD的值为（ ） A.

3311 B. C. D. 35538.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（ ） A.20海里 B.40海里 C.203海里 D.403海里

9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan?＝

5，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是2（ ）

A.144cm B.180cm C.240cm D.360cm

第8题图 第9题图 第10题图

10.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为

30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）

A.503 B.51 C.503+1 D.101 二、填空题

11. 在△ABC中，，∠C＝90°，tana＝

2，AC＝6，则BC＝___________. 312.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，与x轴交于点

A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是____________.

13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此

电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）

14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡AB的水平宽度

BE＝33m，那么斜坡AB的长为_________m.

第14题图 第15题图 第16题图

15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程

直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米．

16.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cosB＝

4，EC＝2，P是AB边上的一动点，则线5段PE的长度的最小值是___________. 三、解答题

17.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝

4，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值. 5

18.如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝

6，AD＝8，求sin∠OEA的值．

19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为

30°，求楼房CD的高度.(3≈1.7)

20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB

的安全性能，把倾斜角由60°减至30°. （1）求调整后的滑梯AD的长度

（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米） （参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）

21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝

1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

22.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD＝4，sinB＝

AE：EC＝2：3，连接DE，求sin∠ADE的值.

4，若E是AC边上的点，且满足5

23.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知

A，B两船相距100(3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

23.2解直角三角形及其应用课时练习题

参考答案

一、选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 A 5 A 6 B 7 D 8 C 9 B 10 C 3，则斜边上的高等于（ ） 516126448A. B. C. D.

5525251216BC3解答：∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，AB＝4，∴BC＝，由勾股定理得：AC＝，

55AB516348CD∵在Rt△ADC中，sinA＝，∴CD＝×＝.

5525AC1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝故选：B.

2.已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC+AC＝3+3，则BC等于（ ） A.3 B.3 C.23 D.3+1 解答：设BC＝x，则AC＝解得：x＝3，即BC＝3，

故选：B.

3.在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cosB＝

33BC＝x，∵BC+AC＝3+3，∴x+x＝3+3，

33tanA2，则BC边长为（ ） 2A.7 B.8 C.8或17 D.7或17 解答：∵cos∠B＝

2，∴∠B＝45°， 2当△ABC为钝角三角形时，如图1，

∵AB＝122，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝12， ∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5， ∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；

当△ABC为锐角三角形时，如图2， BC＝BD+CD＝12+5＝17， 故选：D．

3，则顶角为（ ） 4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：

A.60° B.90° C.120° D.150° 解答：如图，AB＝AC，AD为BC边上的高，

由题意得：BC：AD＝2：3， 由等腰三角形的“三线合一”得BD＝∴BD：AD＝1：3，即1BC， 2AD＝3， BD∴tanB＝3，∴∠B＝60°，

∴此三角形为等边三角形，故顶角为60°，

故选：A.

5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ） A.

11 B.2－1 C.2－3 D.

43解答：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝2AC．

又∵点D为边AC的中点， ∴AD＝DC＝

1AC． 2∵DE⊥BC于点E， ∴∠CDE＝∠C＝45°，

22DC＝AC． 242ACDE14∴tan∠DBC＝＝＝， BE322AC?AC4∴DE＝EC＝故选：A．

6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝（ ）

3，则tanB的值为53254 B. C. D. 23633CM解答：在Rt△ACM中，sin∠CAM＝＝，

AM5A.

设CM＝3x，则AM＝5x， 根据勾股定理得：AC＝又M为BC的中点， ∴BC＝2CM＝6x， 在Rt△ABC中，tanB＝故选：B.

7.如图，在Rt△ABC中，延长斜边BD到点C，使DC＝CAD的值为（ ） A.

AM2?CM2＝4x，

AC4x2＝＝， BC6x315BD，连接AC，若tanB＝，则tan 233311 B. C. D. 3553解答：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E， ∵tanB＝

5AD5，即＝， 3AB3∴设AD＝5x，则AB＝3x，

∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD， ∴△CDE∽△BDA，

CEDECD1＝＝＝， ABADBD235∴CE＝x，DE＝x，

2215∴AE＝x，

2EC1∴tan∠CAD＝＝，

AE5∴

故选：D．

8.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（ ） A.20海里 B.40海里 C.203海里 D.403海里 解答：根据题意可知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°， ∵∠CBD＝∠CAD+∠ACB， ∴∠CAD＝30°＝∠ACB， ∴AB＝BC＝40海里，

在Rt△CBD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝60°，

CDCD，∴sin60°＝， BCBC3∴CD＝40×sin60°＝40×＝203 （海里），

2sin∠DBC＝

故选：C．

9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan?＝

5，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是21EF＝30cm 2（ ）

A.144cm B.180cm C.240cm D.360cm 解答：根据题意可知：：△AFO∽△ABD，OF＝∴

OF302.5AF＝，即＝， DCDC6AC5AD5，∴＝， 2DC2∴DC＝72cm， ∵tan?＝∴AD＝

5×72＝180cm． 2故选：B．

10.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为

30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ） A.503 B.51 C.503+1 D.101 解答：设AG＝x，

在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝

AG， EG

∴EG＝

AG3＝x，

33AG， CG3x∴CG＝＝3x，∴3x﹣x＝100，

3tan30?解得：x＝503，则AB＝503+1（米），

在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝故选：C．

二、填空题

11. 4 12. （4，0）. 13. 182米. 14. 6. 15. 2003+200． 16. 4.8.

2，AC＝6，则BC＝___________. 322BC2解答：∵∠C＝90°，tanA＝，∴＝，∴BC＝6×＝4，

33AC311.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝故答案为：4.

12.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，与x轴交于点

A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是____________. 解答：如图，∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，

∴k+b＝1①，点A，点B分别与x轴，y轴的正半轴相交，且点B坐标为（0，b）， ∴OB＝b，

在Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝3，∴OA＝3OB＝3b， ∴点A的坐标为（3b，0），

1， 341把k＝－代入①得：b＝，

33∴3bk+b＝0，∴k＝－∴点A的坐标为（4，0）， 故答案为：（4，0）.

13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此

电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）

解答：设电视塔高为x米，由题意得：x＝500tan20°≈500×0.3640＝182（米）， 故答案为：182米.

14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡AB的水平宽度

BE＝33m，那么斜坡AB的长为_________m. 解答：∵斜坡AB的坡度为1：3，

∴tanB＝3， 3∴∠B＝30°，

BE， ABBE∴AB＝＝6（m），

sin30?∵cosB＝故答案为：6.

15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程

直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米． 解答：由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200， ∵CD⊥AB于点D，

∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝∴AD＝

CD， AD200＝2003， 33在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠B＝45° ∴DB＝CD＝200，

∴AB＝AD+DB＝2003+200， 故答案为：2003+200．

16.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cosB＝

4，EC＝2，P是AB边上的一动点，则线5段PE的长度的最小值是___________.

解答：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝2，所以BE＝x﹣2， 因为AE⊥BC于E， 所以在Rt△ABE中，cosB＝于是

4x?2，又cosB＝，

5xx?24＝， 5x解得x＝10，即AB＝10．

所以易求BE＝8，AE＝6，

当EP⊥AB时，PE取得最小值． 故由三角形面积公式有：

11AB?PE＝BE?AE， 22求得PE的最小值为4.8，

故答案为 4.8. 三、解答题

17.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝

4，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值. 5

解答：（1）∵AD是边BC上的高，AD＝12， ∴sinB＝

AD4＝，∴AB＝15， AB5在Rt△ABD中，BD＝AB2?AD2＝9， ∴DC＝BC－BD＝14－9＝5； （2）∵E是斜边AC的中点， ∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠C， 在Rt△ADC中，tanC＝∴tan∠EDC＝tanC＝

AD12＝， DC512. 518.如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝

6，AD＝8，求sin∠OEA的值． 解答：连结EC，

∵四边形ABCD为矩形，

∴BC＝AD＝8，OA＝OC，∠ABC＝90°，

由勾股定理得：AC＝AB2?BC2＝10，则OA＝5， ∵OE⊥AC，

∴OE是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE，

在Rt△EDC中，设EC＝AE＝x，

则有ED＝AD－AE＝8－x，DC＝AB＝6， 根据勾股定理得：x2＝(8－x)2+62， 解得：x＝∴AE＝

25， 425， 4OA4＝. AE5在Rt△AOE中，sin∠OEA＝

19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(3≈1.7)

解答：作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12， 在Rt△BCE中，BE＝

CE12＝＝123，

tan?CBEtan30?＝123， 3?tan45°

在Rt△BDE中，DE＝BE?tan∠DBE＝12∴CD＝CE+DE＝12+12

3≈32.4，

所以，楼房CD的高度约为32.4米.

20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为

60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°. （1）求调整后的滑梯AD的长度

（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）

（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45） 解答：（1）Rt△ABD中， ∵∠ADB＝30°，AC＝6米， ∴AD＝2AC＝12（m） ∴AD的长度为12米； （2）∵Rt△ABC中，AB＝

AC＝43（m），

sin30?∴AD－AB＝12﹣43≈5.1（m）． ∴改善后的滑梯会加长5.1m．

21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝

1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形， 由题意知：BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5， 在Rt△ABE中，i＝

1BE＝， AE2.5∴AE＝50米，

在Rt△CFD中，∠D＝30°， ∴DF＝

CF＝203米，

tan30?∴AD＝AE+EF+DF＝50+6+203≈90.6（米）， 答：坝底AD的长度约为90.6米.

22.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD＝4，sinB＝AE：EC＝2：3，连接DE，求sin∠ADE的值. 解答：过点A作AF∥BC，交DE的延长线于F， ∵AD是等腰△ABC底边上的高， ∴BD＝CD，AB＝AC， 在Rt△ABD中，∵sinB＝∴AB＝5， ∴BD＝

4，若E是AC边上的点，且满足5AD4＝，而AD＝4， AB5AB2?AD2＝3，

∴CD＝BD＝3， ∵AF∥CD，

∴∠DAF＝90°，△AEF∽△CED， ∴

AFAEAF2＝，即＝，

3CDEC3∴AF＝2，

AD2?AF2＝25，

25AF在Rt△DAF中，sin∠ADF＝＝＝，

5DF25在Rt△DAF中，DF＝

即sin∠ADE的值为5． 523.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知

A，B两船相距100(3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

解答：过点C作CE⊥AB于点E， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°， 设AE＝x海里，

在Rt△AEC中，CE＝AE?tan60°＝3x； 在Rt△BCE中，BE＝CE＝3x， ∴AE+BE＝x+3x＝100(3+1)，

解得：x＝100， ∴AC＝

AEcos60?＝2x＝200．

在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°， 过点D作DF⊥AC于点F， 设AF＝y，则DF＝CF＝3y， ∴AC＝y+3y＝200， 解得：y＝100(3－1)，

∴DF＝3AF＝3×100(3－1)≈126.3海里， ∵126.3＞100，

所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险.

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