2019届高三人教A版数学一轮复习练习：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节 Word版含解析

第十章（文） 第3节

[基础训练组]

1．(导学号14577964)已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )

A.16

B.13

C.12

D.23

解析：C [如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角

形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.]

2．(

导学号14577965)在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解的概率

为( )

A ．0.3

B ．0.4

C ．0.6

D ．0.7 解析：D [由已知得2＋a －a 2<0，解得a >2或a <－1.故当a ∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解．故所求概率为P ＝错误!＝错误!＝0.7.]

3．(导学号14577966)任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是( )

A.24

B.14

C.18

D.116

解析：C [依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24

倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为18，故选C.]

4．(导学号14577967)(2018·安庆市质检)在区间[0,1]上随机取两个数m 、n ，则关于x 的一元二次方程x 2－n x ＋m ＝0有实数根的概率为( )

A.18

B.17

C.16

D.15

解析：A [∵方程x 2－n x ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝n －4m ≥0，如题图，易知不等式组????? n －4m≥0，0≤m≤1，0≤n≤1

表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率，即P ＝S 阴影S 正方形＝12×14×11×1＝18.] 5．(导学号14577968)(2018·新余市模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为(

)

A.4π－1

B.1π

C ．1－1πD.2π

解析：A [顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于2×2－4×14

π×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π

－1.] 6．(导学号14577969)在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________.

解析：要使2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax ≤2x 2＋8，即a ≤2x ＋8x

在(0，＋∞)上恒成立．又2x ＋8x ≥216＝8，当且仅当x ＝2时等号成立，故只需a ≤8，因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8－010－0＝45.

答案：45

7．(导学号14577970)(2018·汉中市一模)如图所示，已知长方形ABCD 中，BC ＝2AB ，△EFG 与△HIJ 均为等边三角形，F 、H 、G 在AD 上，I 、E 、J 在BC 上，连接FI ，GJ ，且AB ∥FI ∥GJ ，若AF ＝GD ，则向长方形ABCD 内投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为

________.

解析：长方形ABCD 中，设BC ＝2AB ＝2，AF ＝GD ＝x ，∴FG ＝2－2x .

由勾股定理得(1－x )2＋12＝(2－2x )2，解得x ＝1－

33，∴FG ＝233. 由对称性知，S 阴影＝12S 矩形FGJI ＝12FG ·IF ＝12×233×1＝33

；∴该点落在阴影区域内的概率为p ＝S 阴影S 长方形ABCD ＝3

32×1＝36. 答案：

36 8．(导学号

14577971)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －

APC 的体积大于

V

3的概率是______.

解析：由题意可知VS －APC VS －ABC >13

，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以VS －APC VS －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23

(即为长度之比)． 答案：23

9．

(导学号14577972)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆

心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．

乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．

问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？

解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域

的面积为4×15πR2360＝πR26.所以，在甲商场中奖的概率为p 1＝πR26πR2＝16

. 如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，

摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为p 2＝315＝15

. 由于p 1＜p 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．

10．(导学号14577973)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.

(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．

当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .

(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件．

事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34

. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．

所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23

. [能力提升组]

11．(导学号14577974)(2018·湘西州一模)已知f (x )＝???

－2，0<x<11，x≥1在区间(0,4)内任取一个为x ，则不等式log 2x －(log 144x －1)f (log 3x ＋1)≤72

的概率为( ) A.13B.512

C.12

D.712

解析：B [由题意，log 3x ＋1≥1且log 2x －(log 144x －1)≤72，或0＜log 3x ＋1＜1且log 2x ＋2(log 144x －1)≤72，

解得1≤x ≤2或13

＜x ＜1， ∴原不等式的解集为????13，2，所求概率为2－134－0＝512

.故选B.] 12．(导学号14577975)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程

x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于

32的椭圆的概率为( ) A.12B.1532

C.1732

D.3132

解析：B [方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故????? a2＞b2，e ＝c a ＝a2－b2a ＜32，

即????? a2＞b2，a2＜4b2，化简得?????

a ＞

b ，a ＜2b ，又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532

.]

13．(导学号14577976)假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差大于3秒，手机就会不受到干扰，则手机不受到干扰的概率为________.

解析：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x ，y .则所有事件集可表示为0≤x ≤10,0≤y ≤10.由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x －y |≤3.

则该事件即为x －y ＝3和y －x ＝3在0≤x ≤10,0≤y ≤10的正方形中围起来的图形，即图中阴影区域，而所有事件的集合即为正方形面积102＝100，

阴影部分的面积2×12(10－3)2＝49，

所以阴影区域的面积和正方形面积比值即为手机不受到干扰的概率为49

100.

答案：49

100

14．(导学号14577977)2017在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有10÷0.25＝40人．

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为

40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.

(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1

40[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]＝2.9.

(3)因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A.

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，

丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事

件有1个，则P (B )＝16

.

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