大学物理(上册)角动量 角动量守恒定律(3)

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第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律

第五章第三讲

本章共3讲

§5.3 角动量守恒定律 一. 角动量守恒定律 研究对象： dL M外 dt

质点系

由角动量定理： 得：当M 外 0时，L 恒矢量 分量式：Mx 0 My 0 Mz 0 时 时 时 Lx 恒量 L y 恒量 Lz 恒量

对定轴转动刚体：当 M 轴 0 时， L轴 恒量

角动量守恒定律：当质点系所受外力对某参考点(或轴)的力矩的矢量和 为零时，质点系对该参考点(或轴)的角动量守恒。

注意：1.与动量守恒定律对比： 当 F外 0 时， p 恒矢量 L 恒矢量 当 M外 0 时， 2.守恒条件： M外 0 ( M 轴 0) 能否为 M 外 dt 0 ?

彼此独立

不能，后者只能说明初、末态角动量相等，不能保证 过程中每一时刻角动量相同。

角动量守恒现象举例适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...茹科夫斯基凳实验 为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？

体操运动员的“晚旋”芭蕾、花样滑冰、跳水…...

[例1] 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其 中心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘， 最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计 阻力),相对于地面，人和台各转了多少角度？ 思考：

R

m

1.台为什么转动？向什么方 向转动？ 2.人相对转台跑一周，相对 于地面是否也跑了一周？

M

3.人和台相对于地面转过的 角度之间有什么关系？

解： 选地面为参考系，设对转轴人：J , ; 台：J ´, ´

R

m

M

J mR 2

J 1 MR 2 2

系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：

J J 0

2m M

设人沿转台边缘跑一周的时间为 t :

dt dt 2 0 0

t

t

人相对地面转过的角度： dt 0 t

R

m

2 M 2m M

M

台相对地面转过的角度：

4 m dt 2m M 0t

二.物体在有心力场中的运动力的作用线始终通过某定点的力

力心 有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体 对力心的角动量守恒。应用广泛，例如：

天体运动(行星绕恒星、卫星绕行星...) 微观粒子运动 (电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级 近似；加速器中粒子与靶核散射...)

[例2] 已知：地球 R=6378 km卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1

远地: h2= 2384 km求： v2=?h2 h1

解：建立模型 卫星~质点 m 地球~均匀球体

m

对称性：引力矢量和过地心对地心力矩为零 卫星 m 对地心 o 角动量守恒

dm

dF

1 m

O dF dm' dF2

卫星 m 对地心 o 角动量守恒

v1

mv1 R h1 mv2 R h2

h2 v2

.oR

h1 m

R h1 6378 439 v2 v1 8.1 6.3km s 1 v1 R h2 6378 2384 增加通讯卫星的可利用率

探险者号卫星偏心率高h1 160.9kmh2 2.03 10 5 km 1

近地

v1 3.38 10 km s4

远地

v 2 1225 km s 1

t小很快掠过

t大充分利用

地球同步卫星的定点保持技术地球同步卫星：相对地球静 止，定点于赤道上空，轨道 半径约36000km,实现全球24 小时通信。

严格同步条件卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零

轨道严格为圆形运行周期与地球自转周期完全相同 (23小时56分4秒)

地球偏心率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂 移，用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术

研究微观粒子相互作用规律

自学教材P108[例4]

第五章

角动量

角动量守恒

习题课

复习提要：三个概念，两条规律

一、转动惯量二、角动量 质点 质点系

J m i ri r 2dm2 i m

L r mv

L L轨道 L rc mvc ri mi vi 自旋i

定轴刚体 Lz Jω 三、力矩

M r F ;

Mz r F ;

Mi内 0i

四、角动量定理质点

dL M dt

t2

Mdt Lt1

质点系 定轴刚体

M外

dL dt

t2

M 外 dt Lt1t2

Mz Jβ

M dt Lz t1

z

五、角动量守恒

M外 0 Mz 0

L 恒矢量 Lz 恒量

[例1]已知：两平行圆柱在水平面内转动，

m1 , R1

, 10 ; m2 , R2

, 20

求：接触且无相对滑动时

1 ? 2 ? 10R1 m1 .o1 R2 .o2

20

1o1.

2o2.

m2

请自行列式。

解一：因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，

则：J1 + J2 系统角动量守恒为正方向：

,以顺时针方向旋转

J1 10 J 2 20 J1 1 J 2 2 1 接触点无相对滑动：

1

2R1 R2

1 R1 2 R2又： J 1

2 3 4

o1.

. o2

1 m1 R12 2 1 2 J 2 m2 R2 2

联立1、2、3、4式求解，对不对？

问题：(1)式中各角量是否对同轴而言？ (2)J1 +J2 系统角动量是否守恒？

分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：f1R1 R2

F2

( 1 ) o1为 轴 ( 2 ) o2为 轴

o1.

o2

M F2 0 M F1 0

系统角动量不守恒！F1f2

此解法不对。

解二：分别对m1 , m2 用角动量定理列方程

分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：设：f1 = f2 = f , 1f1R1

2R2

F2

以顺时针方向为正 m1对o1 轴： R1 fdt J 1 1 J 1 10 , J 1 1 m1 R12 2

o1.

o2

F1

f2

m2对o2 轴： R2 fdt J 2 2 J 2 20 , 2 J 2

1 m2 R2 2

接触点：

1 R1 2 R2

联立各式解得：m1 R1 10 m2 R2 20 1 m1 m2 R1 m1 R1 10 m2 R2 20 2 m1 m2 R2

[例2]已知：轻杆，m

1 0

= m , m 撞击 m

2 2

= 4m , 油灰球 m, ,发生完全非弹性碰撞

m 以水平速度v

求：撞后m 2的速率 v ? 解一：m 和 m 2 系统动量守恒

m v 0 = (m + m 2 ) v解二： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒m

A

v0

L2m2

m v 0 = (m + m 1 + m 2 ) vL2

解三： m v 0 = (m + m 2 ) v + m 1 2v 以上解法对不对？

m1

因为相撞时轴A作用力不能忽略不计， 故系统动量不守恒。 因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为 零，故系统角动量守恒。 由此列出以下方程：

NyNx A

L2m m2

mv0 L m m2 v L m1 2v L 2 2或： m

L2m1

L 2 0 m m 2 L 2 m1 L2 2 2 2

0 L v0 ;得：

L v2

v0 v 9

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