条件概率及其应用

学号：1207210091

本科毕业论文（设计）

(2014 届)

条件概率及其应用

院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 冯杰 指导教师 孙晓玲 职 称 副教授

合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

摘 要

条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念,在概率论的知识体系中起着承上启下的作用.因而本文以条件概率及其应用作为研究课题,研究条件概率的概念、性质以及相关的四个公式(条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)的基本计算方法,并研究全概率公式以及贝叶斯公式在实际生活中的应用.通过本课题的研究,可了解抽签问题和风险决策问题中全概率公式和贝叶斯公式的应用.了解应用条件概率方法可以使实际生活中的问题转变为相关概率计算,让问题解决过程变得简洁,清晰.因此,研究条件概率及其应用有着极其重要的意义.

关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；风险决策

I

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ABSTRACT

Conditional probability is an important and useful concepts in probability theory, play a connecting role in probability theory system. So in this paper, the conditional probability and its application as the research subject, research condition probability concept, character and correlation of four formula (conditional probability formula, multiplication formula, the formula of total probability, the Bias formula) the basic calculation methods, application and study the full probability formula and Bias formula in practical life. Through the study of this subject, can understand the application of ballot problem and risk decision making problem in the whole probability formula and Bias formula. The probabilistic method to understand the application conditions can make real life problems into the relevant probability calculation so, problem solving process more concise, clear. Therefore, there is an extremely important significance of conditional probability and Its Applications.

Key words：conditional probability；complete probability formula；Bayes formula；Risk decision

II

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目 录

摘 要 ...................................................... I ABSTRACT ................................................. II 1 引言 ...................................................... 1 2 条件概率的概念及重要公式 ................................... 1

2.1 条件概率概念及性质 ....................................... 1 2.2 乘法公式 ................................................. 2 2.3 全概率公式 ............................................... 3 2.4 贝叶斯公式 ............................................... 3

3 条件概率基本公式计算方法 ................................... 4

3.1 乘法公式计算方法 ......................................... 4 3.2 全概率公式计算方法 ....................................... 5 3.3 贝叶斯公式计算方法 ....................................... 5

4 条件概率基本公式的应用技巧 ................................. 6

4.1 公式之间的联系 ........................................... 6 4.2 应用技巧 ................................................. 7

5 条件概率在实践中的应用 ..................................... 7

5.1 全概率公式在抽签问题中的应用 ............................. 7 5.2 贝叶斯公式在风险决策中的应用 ............................. 9

6 结论 ..................................................... 11 参考文献 ................................................... 12

III

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1 引言

在做数学习题的时候,可以用很多方法解同一道题目,从而可以从这些解题方法中找到最优化、最适合自己的解题方法.同样在解决实际生活中的问题时也有不同的解决方法,从中找到最优化的解决方法.随着对条件概率的深入研究,条件概率的解题方法不仅在概率问题中得到应用,更是凭借它的直观化,在很多的实际生活问题中得到广泛的应用.本课题的研究意义就在于利用条件概率的解题方法,使生活中的数学问题在运用条件概率方法求解时能够变得更加简洁明了,如在临床医学、无线电通讯、产品质量以及教育科研等很多领域都得到了不同程度的应用.条件概率思想方法的运用可以使得这些生活问题更容易解决.要将条件概率的解题方法应用在生活问题中,先要把生活中的问题抽象成数学问题进行分析,然后构造恰当的概率模型,再运用相应的概率模型进行解题,使解答过程更简洁.在此类问题中,最主要的难点就是如何构建恰当的概率模型,从而转化为具体的概率求解问题.通过条件概率的解题方法在生活问题中得到运用,体会概率论作为数学里的一个重要分支的意义,加深人们学习条件概率的重要公式的兴趣．

2 条件概率的概念及重要公式

2.1 条件概率概念及性质

1.条件概率概念

概率（英文名:probability）,是表征随机事件发生可能性大小的量,是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性.通俗的讲：概率是随机事件发生的可能性大小,它是随机事件出现可能性的量度[1].

在遇到有关概率问题的时候,总是需要在某个特定的条件下进行分析.但有时也会碰到这种情况：在知道其中一个事件B发生的前提条件下,求出另一事件A发生的概率.

例如：某周五晚上,你考虑周末要么出去游玩,要么在家.然而当晚天气预报表示明天下雨的概率为0.3,反之就不下雨.显然,事件“明天不下雨”或“下雨”的发生使得“出去游玩与否”的概率发生了改变.将这种“明天不下雨”已发生条件下“出去游玩”的概率称为条件概率；与此相对应,若只考虑周末“是否出去游玩”的概率可称为无条件概率.若将“明天不下雨”记作事件B,那么“出去游玩”就记作事件A,因而要计算的概率事实上就是“在知道事件B发生的条件下,事件A发生的概率”,这个概率可记为P(AB).

条件概率在概率论中处于很重要的地位,它主要是求解在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率.此时,对于条件概率来说,要抓住两个点：一是要知道生活中哪些是条件概率,其中的条件是什么；二是将如何计算条件概率.

为此,引入条件概率的定义如下[2]： 定义1：设A,B为两个事件,且P(A)?0,则称生的条件概率,记为：

1

P(AB)为事件A发生的条件下,事件B发P(A)

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P(BA)?定义2：设A,B为两个事件,且P(B)?0,则称生的条件概率,记为：

P(AB)?P(AB) --------- 条件概率公式(1) P(A)P(AB)为事件B发生的条件下,事件A发P(B)P(AB) ---------- 条件概率公式(2) P(B) 定义3：如果事件B发生不影响事件A发生的可能性,即P(BA)?P(B),就说明事件

A与B是相互独立的.

特别地,上述事件A,B相互独立,就是指条件概率转化为无条件概率,因而无条件概率

是条件概率的特殊情况；若事件A为不可能事件时,P(BA)就毫无意义. 2.条件概率的性质

根据条件概率的公式化定义,可以获得以下一些相关的性质[2]： 性质1.P(?A)?1；

性质2.P(?A)?0,(P(A)?0)； 性质3.P(BA)?0,(P(A)?0)；

性质4.若事件B1,B2,?,Bn,?两两相互排斥,则P(?BiA)??P(BiA)；

性质5.A和B是样本空间?中的任意事件,P(C)?0 ,P(B－AC)?P(BC)－P(ABC)； 性质6.P(AB)?1－P(AB), (P(B)?0)；

性质7.P(A?BC)?P(AC)?P(BC)－P(ABC),(P(C)?0).

到此,仅仅给出的条件概率公式化定义是严密的数学定义以及相关的性质,我们仅能通过定义对概率进行探讨,并没有给出具体的计算方法,那么接下来就从条件概率的重要公式讨论概率的计算问题.

i?1i?1??2.2 乘法公式

在初次学习条件概率时,都会避免不了出现这种错误：即将P(AB)与P(BA)弄混淆,为了更好的学习条件概率,需要分清两者之间的区别于联系.两者之间的区别：P(AB)是说在随机试验E中,事件A发生的同时,事件B无条件地在原始样本空间下发生的概率；而

P(BA)是指在E中,附加一个条件A已经发生情况下,在新的样本空间下,事件B也发生的

条件概率,因而事件“AB”与事件“BA”是两个不同的概念.两者之间的关系可以通过乘法公式帮助理解.

现在给出乘法公式如下：

定理1[3]：设A,B为两个事件,若P(A)?0,则有：

P(AB)?P(A)P(BA)-------------乘法公式(3)

若P(B)?0,则有：

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P(AB)?P(B)P(AB)-------------乘法公式(4)

将以上的乘法公式进行推广可得.

定理2[7]：假设有n个事件A1,A2,?,An满足P(A1A2?An－1)?0,则就可以得到公式：

P(A1A2?An)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?P(AnA1A2?An－1).

这就是乘法公式,它揭示了P(A),P(BA),P(AB)三者之间的关系,在解题时只要知道其中的两个就可以求出第三个,最主要在于分析实际问题中已知的是什么,要求的是什么.从另一个方面可以理解乘法公式就是利用条件概率P(AB)来计算P(AB)的.乘法公式是普遍成立的,只要作为“条件的事件”的概率不为零.

2.3 全概率公式

在解决现实生活中有关概率问题的时候,并不是所有的概率问题都可以用概率乘法公式,例如在遇到有关复杂事件的概率问题时,就要先把该复杂事件划分为很多个相互独立的,同时又相对比较简单的事件的总和.这时就可以先求出这些简单事件的概率,接着通过乘法公式与加法公式得到所求复杂事件的概率.而这种方法的一般化,就得到了下列公式,这个公式被称作全概率公式.

定义4[9]：设?为随机试验E的样本空间,B1,B2,?,Bn为?中的一组事件,如果满足下列条件：

(1)BiBj?? (i?j;i,j?1,2,?,n)； (2)?Bi??；

则称B1,B2,?,Bn为样本空间?的一个划分.

定理3[4]：设B1,B2,?,Bn为?的一个划分,并且P(Bi)?0(i?1,2,?,n),则对样本空间

?中的任意件A,有：

i?1n P(A)??P(Bi)P(ABi)--------------全概率公式(5)

i?1n注意：全概率公式中所提到的“全”,就是说要将B事件发生的每种情况“全”部要考虑到,也就是说B1,B2,?Bn是一个完备事件组.

2.4 贝叶斯公式

现实生活中,不但要会计算复杂事件的概率,还要会求解此类事件概率：若试验结果(事件A)是由于n种原因B1,B2,?,Bn中的某一种原因造成的,现在知道试验出现的结果A,分析它是由于原因Bi造成的概率P(BiA)(i?1,2,?,n),就需要用合适这类问题的计算公式,为此给出以下公式：

定理4[7]：设B1,B2,?,Bn为样本空间?的一个划分,并且P(Bi)?0(i?1,2,?,n),则对任意满足P(A)?0的事件A,有：

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P(BiA)?P(Bi)P(ABi)?P(B)P(AB)iii?1n (i?1,2,?,n)---贝叶斯公式(6)

注意：此公式左端的条件概率P(BiA)与公式右端的条件概率P(ABi),原因Bi与结果

A的位置正好对调.公式右端分母部分是n项和,其中每一项的形式与分子一致,而分子恰是分母中的一项．

3 条件概率基本公式计算方法

3.1 乘法公式计算方法

一般会遇到计算一个事件在另一个事件发生的前提条件下发生的概率,这时主要注意其中已知事件是哪个,而需要计算的事件是哪个,只要分清楚这两个问题,就可以根据乘法公式进行解题.而当遇到求某一个事件在另外几个事件发生的条件下发生的概率时,就需要分清楚那几个事件在不同情况下发生的概率,最后在通过乘法公式进行求解.

【例1】在一个密封的黑盒子中有14个大小形状相同的小方块,其中有6个红色的,8个绿色的,不放回的从黑盒子中取出3个小方块,则取出方块的顺序为红绿红的概率是多少？ 解析：由题意可知可以用乘法公式求解.

分析可得取出小方块跟先后的顺序有关,从而设事件Ai：第i次取到红色小方块,A：取出的三个小方块的顺序为红绿红.根据该题的规则可以选择如下的公式进行求解：

P(A)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A2A1)?68510??? 1413128110. 81【例2】某人忘记了银行卡密码的最后一位数字,因而他随意地输入数字.求出在银行卡冻

综上所述：顺序为白黑白的概率是

结之前（密码三次输入不正确将被冻结）输入正确密码的概率.若附加一个条件：已知最后一个数字是偶数,那此时的输入正确密码的概率是多少？

解：设Ak=“第k次输入正确密码”,k?1,2,3,B=“在银行卡冻结前输入正确密码”, 则事件B可以表示为B?A1?A1A2?A1A2A3, 根据题意可利用条件概率的相关公式得：

P(B)?P(A1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)

?P(A1)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)191981?????101091098 3?10?若知道最后一位数是偶数,则：

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P(B)?P(A1)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)

141431?????554543 ?3

5?综上所述：在不知最后一位数的奇偶时,输入正确的概率为

3输入正确密码的概率为.

5小结：上述例题1解题方法与排列组合与案例中的乘法原理计算方法相同,但不能与之混

3,当知道最后一位数是偶数时,10淆解题思路.通过以上两个例题比较可知：对于乘法公式,只要确保每个事件发生的概率不要为零,分清楚每个事件发生相对应的前提条件,就可以熟练的应用这种计算方法解题.

3.2 全概率公式计算方法

在计算某个复杂事件发生概率时,可以把该复杂的事件划分成若干互不相容的简单事件的和事件,然后根据加法公式和乘法公式分别计算这些简单事件的概率总和(即执因寻果)[6].此时就得到复杂事件的概率,该概率公式就是全概率公式.

【例2】某厂家主要生产玻璃制品,其中的玻璃碗主要是成箱出售,每箱30只,如果某箱中有次品的个数是0,1,2时所对应的概率分别是70%,20%,10%.那么在顾客购买时,任意提取一箱,再从该箱中随机抽查5只,如果5个都不是次品,就买下该箱货物,否则不买,那么顾客买下这箱玻璃碗的概率是多少？

解：设B=“顾客买下该箱玻璃碗”.B事件的发生得情况比较复杂,但总的来说只有如下三种情况：

A0：所取的一箱中无次品, A1：所取的一箱中有一只次品, A2：所取的一箱中有两只次品, 据题意,A0,A1,A2构成一完备事件组,

P(A0)?0.7, P(A1)?0.2, P(A2)?0.1 ,

44C29C28P(BA0)?1, P(BA1)?5 ,P(BA2)?5,

C30C30

由全概公式得：

P(B)?P(A0)P(BA0)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)

412 ?0.7?1?0.2??0.1??0.92

519小结：从此题可知,全概率公式体现了一种典型的数学思维方法,就是“化整为零”,“化复杂为简单”,“化抽象为具体”,从而起到“化简为易”的作用[8].也就是前面所说的执因寻果.

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3.3 贝叶斯公式计算方法

概率论中除了可以使用全概率公式解决的概率问题外,还存在着另一种概率问题.就是指在知道试验结果的情况下,去找出其中某种原因发生的可能性(即执果索因)[5],也就是求众多原因都发生的情况下某一个原因发生的概率.这个时候就要用另一个计算公式：贝叶斯公式.

【例3】设根据以往记录的数据分析得到,某船只在运输某种物品时会有不同程度的损坏,当其损坏程度分别为2%,10%,90%时所对应的概率分别为0.8,0.15,0.05.现从该船运输的一大批物品中随机地独立地抽取3件,发现这3件都是好的,则依次求出这批产品损坏程度为2%,10%,90%的概率是多少？

解：设B1,B2,B3分别表示物品损坏2%,10%,90%的事件,A=“抽取3件都是好的”. 根据本题的实际意义,可以知道?包含B1,B2,B3,并且它们之间两两互不相容,因而这里只要要求P(B1A),P(B2A),P(B3A).

由题意知： P(B1)?0.8, P(B2)?0.15 , P(B3)?0.05,

P(AB1)?(1－2%)3； P(AB2)?(1－10%)3； P(AB3)?(1－90%)3． 由贝叶斯公式得： P(B1A)?P(AB1)P(B)P(AB1)?31?0.8731； P(A)?P(Bi)P(ABi)i?1 P(B2A)?P(AB2)P(B)P(AB2)?32?0.1268； P(A)?P(Bi)P(ABi)i?1 P(B3A)?P(AB3)P(B)P(AB3)?33?5.798?10-5． P(A)?P(Bi)P(ABi)i?1小结：从此题可知,贝叶斯公式就是适用在知道该船运送货物时所有损坏情况发生的概率前提下,求解此批货物运输时损坏的三种可能情况发生的概率分别是多少.也就是在知道复杂事件所有情况都会发生的前提下,求其中某种情况发生的概率,简而言之就是执果求因.

4 条件概率基本公式的应用技巧

对于条件概率的学习,我们不仅要知道如何计算事件的概率,也要了解几个公式之间的联系.只有熟知它们之间的联系才能更好的理解概率公式.另外,更要知道概率公式的一些应用技巧,只有掌握这些才能更好的解决概率问题.

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4.1 公式之间的联系

对于概率公式的理解,不仅要理解各个公式的特点以及使用该公式所需的条件,还要了解几者之间联系.这对灵活应用概率公式有很大帮助,是必须了解的部分.

1.条件概率公式与乘法公式的关系

通过对上述四个公式的仔细观察很容易发现,这四个公式之间有必然的联系.若在条件概率公式(1)(或(2))的两边同时乘以P(A)(或P(B)),就可以得到乘法公式(3)(或(4))．

2.乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式的关系 由乘法公式(3)(4)知道：

P(A1B)?P(A1)P(BA1)?P(B)P(A1B)------------------(7)

将此式变形可得：

P(A1B)?P(A1)P(BA1)------------------------(8)

P(B)若再将全概率公式(5)式带入(8)式,便得到贝叶斯公式(6).

从上述分析可知：条件概率基本公式包含如下四个公式：条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式,它们之间的联系主要是以条件概率公式作为起点,再由乘法公式和全概率公式作为连接前后的桥梁,最后由贝叶斯公式作为结点所组成的一组关联公式,犹如一棵藤蔓上开着的四朵花[2].所以要想掌握条件概率的计算,必然要熟悉这些相关公式间的联系.其中尤为重要是全概率公式与贝叶斯公式之间的关系,这主要是由于这两个公式可以算是这组关联公式的精髓部分.

4.2 应用技巧

对于数学知识的学习,尤其是公式的学习,要掌握他们的计算方法,以及应用技巧是十分重要的环节,这可以让更好的将所学应用到实际之中.下面将分别介绍四个公式的应用技巧.

1)从上述描述中了解到条件概率公式位于这组关联公式的起始点,说明它是这四个公式之中比较好理解、掌握以及应用的.只要在做题时仔细阅读题目,准确的理解题意就可以判断出目标事件中有没有附加条件.如果有附加条件,只要分清楚条件与目标事件分别是什么,再根据题意选择正确的条件概率公式(1)或者(2)进行解题即可.

2)乘法公式使用时,主要需分清楚是哪个事件是先发生的,例如：对于事件A和事件B,如果事件B在事件A之后发生,则选择P(AB)?P(A)P(BA)；如果事件A在事件B之后发生,则选择P(AB)?P(B)P(AB).

3)关于复杂事件概率的计算有一个非常有效公式：全概率公式.在生活中复杂事件的发生往往是由若干种“原因”引起的,这些原因可以组成一个样本空间中的完备事件组.该完备事件组都是随机试验的第一步骤产生,而事件是指紧跟着完备事件组之后发生的事件,从而表明事件的发生具有先后顺序.因此,利用全概率公式解决概率问题的时候,要先弄清

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楚随机试验的先后顺序.而何时使用全概率公式,要根据具体问题而定.一般来说,若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的试验结果是不确定的,要求的是第二阶段的结果发生的概率,则用全概率公式[1].

4)相对于全概率公式来说贝叶斯公式主要是计算在知道复杂事件已经发生的条件下,求出其中某一“原因”发生的概率.但对于什么时候使用贝叶斯公式,要根据具体情况而定.一般来说,若随机试验可以看成分两个阶段进行,并且第一阶段的试验结果是不确定的,而第二阶段的某个结果是已知的,需要求出这个结果是第一阶段某一个结果所引起的概率,这种情况下就要使用贝叶斯公式[3].

5 条件概率在实践中的应用

5.1 全概率公式在抽签问题中的应用

在日常生活中,人们常常会遇到一些有关先后顺序的问题,除了某种特定条件下的顺序之外,在很多情况下都会习惯性的采取抽签的方法来解决这种问题.然而不是所有人都认同这种方法,他们之中觉得这与抽签的先后顺序有关,也就是说他们认为第一个抽签的人会抽到好签几率最大,越到最后抽好签几率就越小.那么抽签的先后顺序是不是真的决定一个人抽到好签的几率,现在就这个问题运用相关概率来计算,看看先后顺序是否起决定作用.

【案例】某公司在组织活动的时候安排了一项抽签答题活动,准备了20道题其中有5道比较难的题,每位参加人员抽签一次,不重复地抽.现有三人先后参加活动,求这三人抽到难题的概率,试证明三人抽到难题的概率是否相同.

证明：设A,B,C分别为三人抽到难题的事件,分别计算P(A),P(B),P(C). (1)P(A)?51??0.25； 204(2)P(B)?P[B(A?A)]

?P(BA?BA)

?P(A)P(BA)?P(A)P(BA),

其中A与A两两相互独立的,即A?A??,AA??. 代入数据得5?4?15?5

20192019 ?191??0.25 764(3)P(C)?P[C(AB?AB?AB?AB)], 其中AB?AB?AB?AB??, 且AB?AB?AB?AB??. 则上式可转换为：

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P(C)?P(A)P(BA)P(CAB)?P(A)P(BA)P(CAB)?P(A)P(BA)P(CAB)

?P(A)P(BA)P(CAB)

??1514515545154543??????????? 20202020202020202020202021663???160160160400

1??0.254综上所述：这三人抽到难题的概率相等并且都为0.25.

小结：通过上述例题可确定一切有关抽签的问题,都可以通过全概率公式进行计算来验证抽签先后的顺序不同其概率是否相等,从而可知在顺序先后所得的任何结果的概率在理论上来讲是一样的,因而对于抽签好签与抽签的先后顺序无关.如此进行抽签可以确保事情的公平性与合理性．

5.2 贝叶斯公式在风险决策中的应用

随着时代的发展,人们将面临许多风险.当人们无法做出相应的决策的时候,将面临很大损失.因而对于不同领域的风险,必须研究如何尽最大可能避免风险,从而获得相对最高收益.那么下面看看贝叶斯公式在这些风险决策中应用情况.

【案例】某服装公司经营女士服装多年,现有一种新款服装准备投入市场,需要对此新服装生产批量做出决策,如今有三种可选方案：大规模、中规模、小规模.而对于新款服装生产规模的大小起决定因素的是未来服装市场对该新款服装的需求量,现在根据以往市场销售情况和经验两方面进行分析,预估计未来服装市场对于新款服装的需求量小的可能性为0.7.如果未来服装市场对该服装的需求量大就采取大规模、中规模、小规模生产,这时该服装公司将分别获得利润为30万元、20万元、10万元：与之相反的情况,如果未来服装市场需求量小就采取大规模、中规模、小规模生产,公司将分别获得利润为-6万元、-2万元、5万元.

根据题意可知道,未来服装市场的需求量信息对于该公司至关重要,因而该公司想更好的了解未来服装市场,就需要委托咨询公司进行服装市场信息调查,而这项工作需要支付费用3万元,根据咨询公司所提供的服装市场的资料中可了解到,未来服装市场需求量大的准确率是85%,未来服装市场需求量小的准确率是90%,这家公司该如何决策？ 对于此案例我将进行以下分析及解决方法.

假设大规模、中规模、小规模分别用A1,A2,A3表示；需求量大与需求量小则分别用B1,B2表示.咨询公司提供的市场需求量大和市场需求量小分别用C1,C2表示.

首先考虑若用公司不用咨询公司提供的信息,可以根据先验获得期望值来选择最优方案.从而各个方案所对应的先验期望收益可知最优方案为：

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E(A1)?0.3?30?0.7?(?6)?4.8(万元), E(A2)?0.3?20?0.7?(?2)?4.6(万元),

E(A3)?0.3?10?0.7?5?6.5(万元).

此时进行小规模生产最好选择,与之相应的最大先验期望收益值是E先?E(A3)?6.5 (万元)

对于以上的最优方案,仅仅是依据以往的资料,不代表现在市场的需求.而公司的决策者要想做出最优化的决策必须要掌握当下的市场需求,同时.获取市场的需求信息需要付出相应的费用.在这个时候,就必须考虑所付出的信息费用与获得信息后所带来的收益相比,从而决定要不要进行市场调查.

补充说明：若该公司所获得的信息可以确定该状态即将发生,则该信息就称为该状态下的完全信息.这里的完全信息是指尽量的靠近它,不是绝对的可能,也存在一定的可能性,只是尽可能地将这个差距缩小.再在此基础上进行决策,将获得更好的收益.

因而在此题中,所得到的完全信息有两种可能：一种是未来服装市场需求量大,此时只有选择A1时的收益最大；另一种是未来服装市场需求量小,此时只有选择A3时的收益大.因此完全信息下的收益期望值为：E?30?0.3?5?0.7?12.5(万元).

显然,完全信息下的收益期望值没有超过没有完全信息的期望收益部分,其差是这个问题完全信息的价值,因此称该值为完全信息期望值(简记为EVPI)[4],则该题的

EVPI=12.5-6.5=6(万元).由此可以看出为获得这些信息所需的费用少于补充信息后公司所

获得的收益,从而采用市场调查是合算的. 从咨询公司提供的资料可得：

P(C1/B1)?0.85, P(C2/B1)?1?P(C1/B1)?0.15,

P(C2/B2)?0.9, P(C1/B2)?1?P(C2/B2)?0.1, 由全概率公式可得：

P(C1)?P(B1)P(C1B1)?P(B2)P(C1B2)

?0.3?0.85?0.7?0.1?0.325,

P(C2)?P(B1)P(C2B1)?P(B2)P(C2B2)

?0.3?0.15?0.7?0.9?0.675,

再由贝叶斯公式可得：

P(B1/C1)?P(B1)P(C1/B1)0.3?0.85??0.7846325,

P(C1)0.325 P(B)?1P1(B/?), 0.21542/C1?1C P(B1/C2)?P(B1)P(C2/B)10.3?0.15??0.0667,

P(C2)0.675 P(B)?1P1(B/2C?). 0.93332/C2? 如果咨询公司提供的是未来服装市场需求量大的信息,此时各个方案的最大收益值分

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别是：

E(A1C1)?P(B1C1)?30?P(B2C1)?(?6)?22.2456(万元), E(A2C1)?P(B1C1)?20?P(B2C1)?(?2)?15.2612(万元),

E(A3C1)?P(B1C1)?10?P(B2C1)?5?8.923(万元).

根据最优期望准则选择大规模生产,最大期望收益值是：E(A1/C1)?22.2456(万元). 同样如果咨询公司提供的是未来服装市场需求量小的信息,此时各个方案的最大收益值分别是：

E(A1/C2)?P(B1/C2)?30?P(B2/C2)?(?6)??3.5988(万元), E(A2/C2)?P(B1/C2)?20?P(B2/C2)?(?2)??0.5326(万元),

E(A3/C2)?P(B1/C2)?10?P(B2/C2)?5?5.3335(万元).

此时,根据最优期望准则选择小规模生产,最大期望收益值是：E(A3/C2)?5.3335(万元).

在有咨询公司的补充信息及资料条件下,后验决策最大期望收益值： E后?P(C1)E(A1C1)?P(C2)E(A3C2)?10.8298(万元)

咨询公司补充信息及资料条件的价值是：Es=Es?E后?E先?10.8298?6.5=4.3298(万元).

由上述计算分析之后可知,该服装公司在采用市场调查后所做出的最优决策比根据以往资料所做的最优决策可减少损失4.3298万元,除去支付咨询公司的费用任有很大收益. 小结：通过上述案例分析,在生活中的风险决策问题中,贝叶斯公式的使用是非常重要的.而我们在进行风险决策的时候,要先对未来市场进行缜密的调查,再根据情况利用贝叶斯公式进行计算,此时可以将先验概率进行修正为后验概率,然后计算后验期望收益,从而选择最优的风险决策略.

6 结论

条件概率不仅是概率论中的一个非常重要的概念,也在概率论的知识体系中起着桥梁的作用.本课题主要是研究条件概率及其应用,通过上述对条件概率的思想方法以及全概率公式、贝叶斯公式在实际生活问题中的应用介绍,了解到条件概率的思想方法有着很广泛的应用.但在运用条件概率的思想方法时,首先需要掌握一定的条件概率概念、性质、计算公式(乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)等,然后再通过分析待解决的实际生活中问题的具体结构,根据其与条件概率知识的结合点,选择合适的条件概率公式构建恰当的数学模型.将生活中抽象的数学计算转化为具体的概率求解问题,进而达到简化解题步骤的目的,并且可以得到最优化的结果.让人们更加了解条件概率在实际生活中的应用,并且可以熟练地使用概率公式解决身边的问题,明确学习概率论的重要性,最后将理论知识应用到实际中.这既是学习条件概率的初衷,也是本人研究本课题的目的.

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合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

参考文献

[1] A.N.Shiryaev.Probability Second edition [M].Springer-Verlag,2004. [2] 刘剑平,陆元鸿.概率论与数理统计方法[M].华东理工大学出版社,2002.

[3] 张克军.关于条件概率及其应用的教学研究[J].徐州教育学院学报,2008(03):134-140. [4] 上海交通大学应用数学系编.概率论与数理统计初步[M].上海交通大学出版社,1989. [5] 吉蕴,傅苓,钟召平.关于条件概率及其应用的教学研究与探索[J].潍坊高等职业教育,2007(01):

26-29.

[6] 雷发社.概率统计重点难点40讲[M].陕西科学技术出版社,2004.

[7] 杨元启.对全概率公式及其应用的讨论[J].武汉水利电力大学(宜昌)学报,2000(04):350-352. [8] 夏桂梅.条件概率相关公式的内在联系与应用技巧[J].太原城市职业技术学院学报,2004(05):

152-154. [9] 魏玲,郭鹏江.条件概率系列公式的学习技巧与应用[J].高等理科教育,2004(02):83-86. [10] 白兰.条件概率及其应用[J].南昌高专学报,2012(01):169-170.

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参考文献

[1] A.N.Shiryaev.Probability Second edition [M].Springer-Verlag,2004. [2] 刘剑平,陆元鸿.概率论与数理统计方法[M].华东理工大学出版社,2002.

[3] 张克军.关于条件概率及其应用的教学研究[J].徐州教育学院学报,2008(03):134-140. [4] 上海交通大学应用数学系编.概率论与数理统计初步[M].上海交通大学出版社,1989. [5] 吉蕴,傅苓,钟召平.关于条件概率及其应用的教学研究与探索[J].潍坊高等职业教育,2007(01):

26-29.

[6] 雷发社.概率统计重点难点40讲[M].陕西科学技术出版社,2004.

[7] 杨元启.对全概率公式及其应用的讨论[J].武汉水利电力大学(宜昌)学报,2000(04):350-352. [8] 夏桂梅.条件概率相关公式的内在联系与应用技巧[J].太原城市职业技术学院学报,2004(05):

152-154. [9] 魏玲,郭鹏江.条件概率系列公式的学习技巧与应用[J].高等理科教育,2004(02):83-86. [10] 白兰.条件概率及其应用[J].南昌高专学报,2012(01):169-170.

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