2.5 特征值与特征向量

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2.5 特征值与特征向量

1．特征值与特征向量的定义

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．

2．特征多项式的定义

a

设A＝

c

λ－a －b 2

是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝ ＝λ－(a＋d)λd －c λ－d

b

＋ad－bc称为A的特征多项式．

3．特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A＝

a

c

d

b

的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：

λ－a －b 2

第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝ ＝λ－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ

－c λ－d

的值．

第二步：将λ的值代入二元一次方程组

x0 x0 λ－a x－by＝0， 得到一组非零解 ，于是非零向量 即为矩阵A的属于特征

y0 y0 －cx＋ λ－d y＝0，

值λ的一个特征向量．

4．Anα(n∈N*)的简单表示 (1)设二阶矩阵A＝ λnα(n∈N*)．

(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2

a

c

，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝d

b

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的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t1α＋t2β(其中t1，t2为实数)，则Anγ＝

n*t1λ1α＋t2λn2β(n∈N)．

1．特征值与特征向量的几何意义如何？

【提示】 从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量．

2．特征值与特征向量有怎样的对应关系？

【提示】 如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．

3．如何求矩阵A幂的作用结果？

【提示】 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果

.

(1)求矩阵A＝

1

0

0 2

的特征值和特征向量；

1

(2)已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为 ，属于特征值3的一个特

－3

1 征向量为 ，求矩阵A. 1

【思路探究】 (1)f(λ)→f(λ)＝0→特征值→特征向量 (2)利用Aα＝λα构建方程组求解．

【自主解答】 (1)矩阵A的特征多项式为： f(λ)＝

λ－1 0

＝(λ－1)(λ－2)．

0 λ－2

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令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝2. 将λ1＝1代入二元一次方程组

y＝0， λ－1 x＋0· 0·x＋ λ－2 y＝0，

解得y＝0，x可以为任何非零实数， 不妨记x＝k，k∈R，且k≠0.

1 于是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为 .

0

y＝0， λ－1 x＋0· 将λ2＝2代入二元一次方程组 0·x＋ λ－2 y＝0，

解得x＝0，y可以为任何非零实数， 不妨记y＝m，m∈R，且m≠0.

0 于是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量为 .

1

因此，矩阵A＝ a (2)设A＝ c

b

1 0

0

1 ， 0 .

的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是

0 1 2

d

3

＝ ， d 1 3

b 1

a

由题意知

c －1 a

＝ ， d －3 3 c

a＝2， b＝1，解得 c＝3，

d＝0.

b 1

a－3b＝－1，

c－3d＝3，即 a＋b＝3， c＋d＝3.∴A＝

2

3

1 0

.

1．求矩阵A的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f(λ)，再由f(λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A所确定的二元一次方程组

λ－a x－by＝0， 即可求出特征向量． －cx＋ λ－d y＝0，

2．根据矩阵A的特征值与特征向量求矩阵A的一般思路：设A＝ 构建a，b，c，d的方程求解．

a

c

d

b

，根据Aα＝λα

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3 (1)若将本例(1)中A变为 5

6 2

，则其特征值与特征向量如何求？

1 (2)已知矩阵A有特征值λ1＝8及对应的特征向量α1＝ ，并有特征值λ2＝2及对应的 1 特征向量α2＝

1

，试确定矩阵A. －2

【解】 (1)矩阵A的特征多项式为

λ－3 －6 f(λ)＝ .

－5 λ－2

令f(λ)＝0，即λ2－5λ－24＝0.由此得到的两个根分别为λ1＝8，λ2＝－3，即λ1＝8，λ2

＝－3为矩阵A的两个不相等的特征值．

将λ1＝8代入二元一次方程组

λ－3 x＋ －6 y＝0， ① －5 x＋ λ－2 y＝0，

5x－6y＝0，即 得5x＝6y. －5x＋6y＝0，

x 6 它有无穷多个非零解5，其中x≠0，我们任取一个，如 ，它是属于特征值λ＝8

5 6

的一个特征向量．

－6x＋ －6 y＝0，

类似地，对于λ2＝－3，代入二元一次方程组①，则有

－5x－5y＝0， x＋y＝0，

即 x＋y＝0.

它有无穷多个非零解 －3的一个特征向量．

(2)不妨设矩阵A＝ 由题意则有

x 1

，其中x≠0，我们任取一个，如 ，它是属于特征值λ＝ －x －1

b

a c

d

，a，b，c，d均为实数．

8－a －b 1 0

＝

－c 8－d 1 0

8－a－b＝0， －c＋8－d＝0， 2－a －b 1 0

及 ＝ ，从而 2－a＋2b＝0， －c 2－d －2 0

－c＋2d－4＝0.

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解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，即矩阵A＝

6 4

2 4

.

3 1 2 给定的矩阵A＝ ，B＝ . 2 －1 4

(1)求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A4B.

【思路探究】 用特征多项式求出λ，然后求出与λ对应的特征向量，再利用性质A4B

44

＝sλ1α1＋tλ42α2求AB.

【自主解答】 (1)设A的一个特征值为λ，由题意知：

λ－1 －2

＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3. 1 λ－4

1 2 x x 2 当λ1＝2时，由 ＝2 ，得A属于特征值2的特征向量α1＝ ；

1 －1 4 y y

1 1 2 x x 当λ2＝3时，由 ＝3 ，得A属于特征值3的特征向量α2＝ . 1 －1 4 y y

3 2 1 (2)由于B＝ ＝ ＋ ＝α1＋α2，

2 1 1

故A4B＝A4(α1＋α2) ＝24α1＋34α2 ＝16α1＋81α2

32 81 ＝ ＋ 16 81

＝

已知矩阵A和向量α，求Anα(n∈N*)；其步骤为： (1)求出矩阵A的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α

＝sα1＋tα2.

nn

(3)应用Anα＝sλn1α1＋tλ2α2表示Aα.

113 .

97

已知M＝

1 2

2

1

，β＝ ，计算M5β.

7 1

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λ－1 －2 2

【解】 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝ ＝λ－2λ－3.

－2 λ－1

令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为 1 1 α1＝ ，α2＝ . 1 －1 令β＝mα1＋nα2， 所以求得m＝4，n＝－3.

5M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λ51α1)－3(λ2α2)

1 975 1 ＝4·35 －3(－1)5 ＝ .

1 －1 969

(教材第73页习题2.5第1题)求出下列矩阵的特征值和特征向

量：

1 (1)A＝

－1

(2)B＝

2 4 0 1

； ；

－1 0

0 2

1 (3)C＝ 0

.

2 (2013·徐州模拟)已知矩阵M＝ 3

1 4

.

(1)求矩阵M的逆矩阵；

(2)求矩阵M的特征值及特征向量．

【命题意图】 本题主要考查特征值与特征向量的计算． 【解】 (1)∵2×4－1×3＝5≠0， ∴M存在逆矩阵M1，

－

∴M

－1

5 5 ＝ .

32 －5 5

41

(2)矩阵M的特征多项式为

λ－2 －1 f(λ)＝ ＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，

－3 λ－4

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令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，

－x－y＝0，

当λ＝1时，由二元一次方程 得x＋y＝0，令x＝1，则y＝－1，

－3x－3y＝0，

1

所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝ .

－1

当λ＝5时，

3x－y＝0，

由二元一次方程

－3x＋y＝0，

得3x－y＝0， 令x＝1，则y＝3，

1 所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝ .

3

1．矩阵A＝

1 2

2 1

的一个特征值是________，相应的一个特征向量为________．

2 1 3 1 ＝ ＝3 ， 1 1 3 1

【解析】 因为

1 2

1 ∴它的一个特征值为3，特征向量为 . 1 1 【答案】 3 1

2．已知A＝

2 1

1 2

，则矩阵A的特征多项式为________．

λ－2 －1

＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋4－1＝λ2－4λ＋3.

－1 λ－2

【解析】 特征多项式为f(λ)＝ 【答案】 λ2－4λ＋3 3．矩阵A＝

2 0

0 1

的属于特征值λ1＝1的特征向量是________，属于特征值λ2＝2的特

征向量是________，它们________(填“共线”“不共线”)．

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【解析】 ∵

2 0

0 0

0 ， ＝ 1 1 1

0 1 2 1 ，

＝＝2

0 1 0 0

0 2

∴α1＝ .又

1 0

1 ∴α2＝ ， 0

∴α1与α2不共线．

0 1 【答案】 不共线 1 0

1 0 1 20

4．已知A＝1，α＝ ，则Aα＝________.

0 3 2

1 0 1 【解析】 矩阵A＝ ，属于特征值λ2 0 1 的属于特征值λ1＝1的特征向量为α1＝ 0 2

1 0 1 1 0 s＝1， 1 1 ＝α2＝ .由α＝sα1＋tα2，得 ＝s ＋t ，t＝3，∴A20 ＝1×120× 2 1 3 0 1 3 0 0 1

1 0 1

＋3× ＝ ＋ 3 ＝ 3 .

2 1 0 2 2 1

【答案】 3

2

1 1．设矩阵M＝ 4

2 3

.

－

(1)求矩阵M的逆矩阵M1； (2)求矩阵M的特征值．

【解】 (1)矩阵A＝

a c

(ad－bc≠0)的逆矩阵为A－1d

b

－bd ad－bcad－bc

＝

－ca ad－bcad－bc所以矩阵M的逆矩阵M

－1

－5 5 ＝ .

41 55

32

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λ－1 －2 2

(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝ ＝λ－4λ－5.

－4 λ－3

令f(λ)＝0，得到M的特征值为－1或5.

1

3

2．(2012·江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A

－1

－4 4＝ ，求矩阵A的特征值．

11 2 －2【解】 因为A1A＝E，

－

所以A＝(A1)1.

－

－

因为A

－1

＝ ，所以A＝(A

11 22

13－ 44

－1－1

)＝

2

2

3 1

，

于是矩阵A的特征多项式为

λ－2 －3 2

f(λ)＝ ＝λ－3λ－4.

－2 λ－1

令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.

1

3．已知二阶矩阵A的属于特征值－2的一个特征向量为 ，属于特征值2的一个特

－3

1 征向量为 ，求矩阵A. 1

【解】 设A＝

a c

d

b

，

a－3b＝－2， c－3d＝6，a b 1 －2 a b 1 2 由题意知 ＝ ， ＝ ，即 c d －3 6 c d 1 2 a＋b＝2， c＋d＝2，a＝1，

b＝1， c＝3， d＝－1，

解得

1 1

∴A＝ .

3 －1

1 4．已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝ ，并且矩阵M对应 1

的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M.

【解】 设M＝

a c

d

b

，则

a c

a＋b＝3， 1 ＝ 3 ，故 ＝3

d 1 1 3 c＋d＝3.

b 1

a

c

d 2

b －1

＝错误!)，故错误!

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－1

联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，故M＝

－3

5．已知α是矩阵M的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M＝ 且a＋b＋m＝3，求a，b，m的值．

4 6

.

a m ，α＝ －1 ，

2 b 5

a m 【解】 因为α是矩阵M的属于特征值λ＝3的一个特征向量，所以Mα＝λα，即

2 b

－a＋5m＝－3， 11717 －1 －1 ＝3，所以由a＋b＋m＝3，解得abm＝－. 6530 5 5 －2＋5b＝15，

2 0

6．已知矩阵A＝ .

0 －1

(1)求矩阵A1；

－

(2)求逆矩阵A

－1

的特征值及特征向量；

x －

(3)对任意向量α＝ ，求(A1)20α.

y 【解】 (1)det(A)＝2×(－1)－0×0＝－2，

10 － . ∴A1＝ 2

0 －1

λ10

＝ λ－1(λ＋1)， (2)f(λ)＝ 2

2 0 λ＋1

令f(λ)＝0，得A

－1

1

的特征值λ1＝，λ2＝－1，

2

1 1 属于特征值λ1的一个特征向量α1＝ ，

2 0 0 属于特征值λ2＝－1的一个特征向量α2＝ .

1 x 1 0 (3)设 ＝x ＋y ， y 0 1 ∴(A1)20α＝x·(λ1)20α1＋y(λ2)20α2

－

120x x 2＝ 2 ＝ . y y

7．对任意实数x，矩阵

x 2＋m

总存在特征向量，求m的取值范围．

3－m 3

【解】 由题意知对任意实数x，矩阵

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x 2＋m x 2＋m 总存在特征向量，设λ为矩阵 的一个特征值，则 3－m 3 3－m 3

f(λ)＝

λ－x －2－m

(λ ＝(λ－x)(λ－3)－(－2－m)(m－3)．令f(λ)＝0，由题意知(λ－x)·

m－3 λ－3

－3)－(－2－m)(m－3)＝0对任意实数x恒成立，

∴Δ＝(3＋x)2－12x＋4(m＋2)·(3－m)≥0恒成立，即(x－3)2＋4(m＋2)(3－m)≥0恒成立，由x的任意性可知4(m＋2)(3－m)≥0恒成立，

∴－2≤m≤

3. 教师备选

2 8．已知矩阵M有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量α1＝ ，并有特征值λ2＝－1

3 1

及对应的一个特征向量α2＝ .

－1

(1)求矩阵M； (2)求M2 012α2. 【解】 (1)令M＝ 即有

a c

d

b

，则由特征值与特征向量的定义，得Mα1＝λ1α1，Mα2＝λ2α2，

a c a c

2 ＝4 且 d 3 3 1

＝－ ， d －1 －1

b 1

b 2

2a＋3b＝8， 2c＋3d＝12，即 a－b＝－1， c－d＝1.所以M＝

a＝1，

b＝2，解得 c＝3，

d＝2.

1

3

2 2

.

2 012

(2)由条件，得M2 012α2＝λ2α2

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＝(－1)

2 012

1 －1

＝.

1 －1

矩阵的特征值与特征向量特征多项式矩阵的特征值与特征向量的定义求特征值与特征

向量的步骤Mnα的表示

一、矩阵的特征值与特征向量的求解与应用 设A＝

a c

d

b

λ是矩阵A的一个特征值，α是属于λ的一个特征向量．欲 是一个二阶矩阵，

求λ及α，可令A的特征多项式等于0，即可求出λ的值，将λ的值代入方程组

λ－a x－by＝0，

得 －cx＋ λ－d y＝0，

x0 x0 到一组非零解 ， 即为矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．

y0 y0

求矩阵M＝

【解】 矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝

1 2

2 1

的特征值及其对应的特征向量．

λ－1 －2

＝(λ－1)(λ－1)－4＝λ2－2λ－3.

－2 λ－1

令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1和3.

－2x－2y＝0

当λ＝－1时，联立 ，解得x＋y＝0

－2x－2y＝0

所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为

1

. －1

2x－2y＝0

当λ＝3时，联立 ，解得x＝y

－2x＋2y＝0

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1 所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为 . 1

二、Anα的表示(计算)

设λ1，λ2是二阶矩阵M的两个不同特征值，矩阵M的属于特征值λ1，λ2的特征向量分别为α1，α2，则平面上任一非零向量β可表示为β＝s α1＋t α2(其中s，t为实数)，则Mnβ＝

n*

Mn(s α1＋t α2)＝sλ1α1＋tλn2α2(n∈N)．

若矩阵A有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们所对应的特征向量分别为α1

1 0 ＝ ，α2＝ . 0 1

(1)求矩阵A和其逆矩阵A1；

－

1 (2)已知α＝ ，试求A100α.

16 a 【解】 (1)设矩阵A＝ c

λ－a －b

，其特征多项式为f(λ)＝ . d －c λ－d

b

1 ∵当λ1＝2时，其特征向量为α1＝ ，

0

2－a ×1－b×0＝0， a＝2， ∴ ∴ －c ×1＋ 2－d ×0＝0，c＝0.

0 同理当λ2＝－1时，其特征向量为α2＝ ，

1

－1－a ×0－b×1＝0， b＝0，∴ ∴ －c ×0＋ －1－d ×1＝0， d＝－1.

2 0 ∴A＝ ，det(A)＝－2，

0 －1 1 0 －1 01 － . ∴A1＝－＝ 2 2 0 2 0 －1

(2)设α＝s α1＋t α2， 则

1 ＝s 1 ＋t 0 ，

16 0 1

∴s＝1，t＝16.

1 0 ∴A100α＝1×2100× ＋16×(－1)100× 0 1 2 0 2 ＝ ＋ ＝ .

0 16 16

三、函数方程思想的应用

100

100

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本章不论是由矩阵求特征值，还是已知矩阵的特征值与特征向量求该矩阵，都需要解方程(组)或构建方程(组)求解．

1

已知二阶矩阵A的属于特征值－3的一个特征向量为 ，属于特征

－1

6 值8的一个特征向量为 ，求矩阵A. 5

a 【解】 设A＝ c 由题意知

d b

，

6 ＝8 ，

5 d 5

b 6

a

c 1 a

＝－3 ， d －1 －1 c

b 1

a－b＝－3，

c－d＝3，即 6a＋5b＝48， 6c＋5d＝40.3 ∴A＝ 5

6 2

a＝3， b＝6，解得 c＝5，

d＝2.

.

综合检测(五)

－1 0

1．求矩阵M＝ 的特征值和特征向量．

5 6

【解】 矩阵M的特征多项式 f(λ)＝

λ＋1 0

＝(λ＋1)(λ－6)．

－5 λ－6

令f(λ)＝0，解得矩阵M的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组

y＝0， λ＋1 x＋0·

－5x＋ λ－6 y＝0，

易求得

7

为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组 －5

y＝0， λ＋1 x＋0· －1 0 0 易求得 为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M＝ 的

1 5 6 －5x＋ λ－6 y＝0，

7

特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为 ，属于λ2＝6的一个特征向

－5

0 量为 . 1

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2．已知矩阵M＝

1 2

2 x

的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

【解】 矩阵M的特征多项式为

λ－1 －2

f(λ)＝ ＝(λ－1)(λ－x)－4

－2 λ－x

因为λ1＝3为方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1， x 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝ ， y

－2x－2y＝0，则由 得x＝－y

－2x－2y＝0

令x＝1，则y＝－1.

所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝ 3．已知矩阵M＝

1

. －1

1 －2 3 2

，向量α＝ ，β＝ .

4 －5 －1 －3

(1)求向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象； 1 (2)向量γ＝ 是矩阵M的特征向量吗？为什么？

2

1 －2 12 3 2 12

【解】 (1)因为2α＋3β＝2 ＋3 ＝ ，所以M(2α＋3β)＝ ＝

－5 4 2 －1 －3 2 8 8

，所以向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象为 . －18 －18

1 －2 1 －3 1 (2)向量γ＝ 不是矩阵M的特征向量．理由如下：Mγ＝ ＝ ，向量

2 －1 －3 2 －7

1 1 －3

与向量γ＝ 不共线，所以向量γ＝ 不是矩阵M的特征向量．

2 2 －7

4．已知矩阵A＝

1

－1

2

7 ，试计算A5β的值．

，设向量β＝

4 4

λ－1 －2 2

【解】 矩阵A的特征多项式为f(λ)＝ ＝λ－5λ＋6＝0，

1 λ－4

解得λ1＝2，λ2＝3. 2 当λ1＝2时，得α1＝ ； 1 当λ2＝3时， 1 得α2＝ ， 1

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由β＝mα1＋nα2，

2m＋n＝7得 ， m＋n＝4

得m＝3，n＝1， ∴A5β＝A5(3α1＋α2) ＝3(A5α1)＋A5α2

5＝3(λ51α1)＋λ2α2

2 1 435 ＝3×25 ＋35 ＝ .

1 1 339

1 －1 5．已知矩阵A＝ ，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，

a 1

－3)

(1)求实数a的值；

(2)求矩阵A的特征值及特征向量． 【解】 (1)∵

1 －1 1 0

＝ ，

a 1 1 －3

0 0 ∴ ＝ ， a＋1 －3

∴a＝－4.

1 －1

(2)∵A＝ ，

－4 1

λ－1 1 2

∴f(λ)＝ ＝λ－2λ－3.

4 λ－1

令f(λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，

－2x＋y＝0 x＝1

对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组 得一个非零解 ，

4x－2y＝0y＝2

1 因此α1＝ 是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．

2

2x＋y＝0 x＝1 对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组得一个非零解 ， 4x＋2y＝0 y＝－2

因此α2＝

1

是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A的特征值为λ1 －2

＝－1，λ2＝3，

1 1 属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为 ， . 2 －2

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6．已知矩阵A＝

3 c 1 ，属于特征值

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量α＝ 1 1 d

3

3

1的一个特征向量α2＝ ，求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

－2

1 3

【解】 由矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝ ，可知

1 c

c＋d＝6，①

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝

1

＝6 ，所以

1 d 1

3 1

3

， －2

3 可知

c 3

＝ ，所以3c－2d＝－2.② d －2 －2

3 3

c＋d＝6，

联立①②可得

3c－2d＝－2， c＝2，

解得

d＝4，

即A＝

3 2

3

，A的逆矩阵A－14

3－2 ＝ .

11 －32

21

7．已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.

(1)求矩阵A及A的逆矩阵B； (2)已知矩阵M＝

3

2

3 4

，求M的特征值和特征向量；

8 (3)若α＝ 在矩阵B的作用下变换为β，求M50β.(结果用指数式表示) 1 0

【解】 (1)A＝

－1 0 －1 － . B＝A1＝ 1

0 2

(2)设M的特征值为λ， 则由条件得

1 1 0 0

＝ 0 0 2 －1

2 ； 0

λ－3 －3

＝0，

－2 λ－4

即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0. 解得λ1＝1，λ2＝6. 当λ1＝1时，

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由

3 2 3 x x ＝ ， 4 y y

3

得M属于1的特征向量为α1＝ ；

－2

当λ2＝6时，由

3 2

3 x

x ＝6 ， 4 y y

1 得M属于6的特征向量为α2＝ . 1

(3)由Bα＝β，

0 －1 8

－1 得β＝1 ＝ ，

0 1 4 2 －1 3 1 设 ＝mα1＋nα2＝m ＋n 4 －2 1

＝

3m＋n

，

－2m＋n

3m＋n＝－1，则由

－2m＋n＝4. m＝－1， 解得

n＝2.

所以β＝－α1＋2α2. 所以M50β＝M50(－α1＋2α2) ＝－M50α1＋2M50α2 1 3 50 ＝－ ＋2×6×

1 －2

2×6－3

＝ . 2×650＋2

1 8．已知二阶矩阵M的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝ ，并且矩阵 1

M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．

(1)求矩阵M；

(2)求矩阵M的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程． 【解】 (1)设矩阵M＝ a 则 c

b 1

50

a c

d

b

，

1 8 a＋b＝8， ＝8 ＝ ，故

d 1 1 8 c＋d＝8.

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a 由题意得 c －2

＝ ， d 2 4

b －1

－a＋2b＝－2，故 －c＋2d＝4.

a＝6，

b＝2，

联立以上两方程组可解得 c＝4，

d＝4，6 故M＝

4

2 4

.

λ－6 －2

＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令

－4 λ－4

(2)由(1)知矩阵M的特征多项式f(λ)＝

x f(λ)＝0，解得矩阵M的另一个特征值λ＝2.设矩阵M的属于特征值2的一个特征向量α2＝ ， y 6x＋2y x

则Mα2＝ ＝2 ，解得2x＋y＝0.

4x＋4y y

(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的作用下对应的点的坐标为(x′，y′)，x′－y′， 48x′6 2x 则 即 ＝ ，

4 4 y y′ 13

y＝－x′ 48′，即直线l′的方程为x－y＋2＝0.

1

1

代入直线l的方程并化简得x′－y′＋2＝0，

2 1 1 1 9．给定矩阵M＝ ，N＝ 及向量α＝ ，α＝ .

1 2 1 12 －1

33

1

2

21 －33

(1)求证M和N互为逆矩阵；

(2)求证α1和α2都是矩阵M的特征向量．

－ 3－3 2 1 1 0 332 1 MN＝ ＝ ＝ ，NM＝

1 2 112 1 2 0 1 2

－3 3 －3 3

2

1

2

1

【证明】 (1)因为

1

0

0 1

，所以M和N互为逆矩阵．

1 (2)向量α1＝ 在矩阵M的作用下，其象与其共线， 1

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3 －3 1 311

1

即 ＝，向量α＝ 在矩阵M的作用下，其象与其共线，

12 1 1 3 1 －1 － 33 32

211

3－3 1 1

即 ＝ ，所以α和α都是M的特征向量．

12 －1 －1 －3 3

1

2

21

2 10．给定矩阵M＝ 6

5

－2

及向量α＝ . 1 9

(1)求矩阵M的特征值及与其对应的特征向量α1，α2； (2)确定实数a，b，使向量α可以表示为α＝aα1＋bα2； (3)利用(2)中的表达式计算M3α，Mnα； (4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？ 【解】 (1)矩阵M的特征多项式f(λ)＝

λ－2 －5

＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋

－6 λ－1

4)．令f(λ)＝0，解得矩阵M的特征值λ1＝－4，λ2＝7.易求得属于特征值λ1＝－4的一个特

－5 1 征向量α1＝ ，属于特征值λ2＝7的一个特征向量α2＝ .

1 6

－2 －5 1

(2)由(1)可知 ＝a ＋b ，解得a＝1，b＝3，所以α＝α1＋3α2.

9 6 1

(3)M3α＝M3(α1＋3α2)＝M3α1＋3M3α2＝ (－4)3×

3

－5 1

＋3×73×

1 6

3

4×5＋3×7

＝ . －43×6＋3×73

Mnα＝Mn(α1＋3α2) ＝Mnα1＋3Mnα2 ＝(－4)n×

n＋1

－5 1

＋3×7n×

1 6

n

n

－1 ×4×5＋3×7

＝ . －4 n×6＋3×7n

(4)在Mnα的结果中，随着n的增加，特征向量α1对结果的影响越来越小．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uml1.html