非线性动力学-胡海岩

七、动态分叉1．平衡点的失稳

—40— （

2

对于单参数n 维自治系统),(p u f u

= ，设平衡点为0=u ，将其表示为 ),()(),(p u g u p A p u f u +== （1） 其中0)0(0)0()()()(>ω=β=αβ±α=λ，，p j p p ，其余2-n 个特征值具有负实部，并且已将其化到二维中心流形上，下面求中心流形上的PB 范式。为此，引入线性变换将方程（1）化为

???+α+β=+β-α=),,()()(),,()()(22121211p v v g u p u p u p v v g u p u p u （2）

令21ju u v +=则有

),,()(p v v h v p v +λ= （3） 取近恒等的非线性变换),(v v q v v +=简化二次项。

)]3()([)1(21O h q v v q

v +++λ??+=-

（4） 注意到)3(2

O h v v ++λ= ，以及对于足够小的位移)2(1)1(1O v q

v q

+??-=??+-，则上式成为 )3(2O h q v v q

v v q

v v ++λ+??λ-??λ-λ= （5）

可见，若0)(2=+??λ+??λ

-λh v v q v v q q 成立，则二次项可以约去。为此，定义同调算子 q v v q v v q q ad λ-λ??+λ??=λ)( （6） 它是一个线性映射。

（1）二次项的简化

记},,{222v v v v span H =，根据式（6）得到

—41— 2222)()(v v v v v v v v λ=λ-??

??????λ+??λ v v v v v v v v v v v v λ=λ-??

??????λ+??λ)()( 2222)2()()(v v v v v v v v λ-λ=λ-??

??????λ+??λ 因此，同调算子在该基下的矩阵为

???????

???λ-λλλ=)()(2000)(000)

()(p p p p p L （7）

对于充分小的参数p ，由于0)(≠λp 故)(p L 满秩，其零空间是空集，因此，对于足够小的p ，所有的二次项都可消去。下面简化三次方项。

（2）三次项的简化 记},,,{32233v v v v v v span H =，同样根据式（6）得到

33332)()(v v v v v v v v λ=λ-??

??????λ+??λ v v v v v v v v v v v v 2222)()()(λ+λ=λ-??

??????λ+??λ 22222)()(v v v v v v v v v v v v λ=λ-??

??????λ+??λ 3333)3()()(v v v v v v v v λ-λ=λ-??

??????λ+??λ 同调算子在该基下的矩阵为

?????

????

???λ-λλλ+λλ=)()(30000)(200

00)()(0000)

(2)(p p p p p p p L （8） 注意到0)0(Re 2)0()0(=λ=λ+λ，表明)0(L 不满秩，其秩为3。)0(*L 的基解向量为)0,0,1,0(，因此约化后的三次项为v v p h 23)(γ=。

—42— （3）高阶项的简化

考察第n m +次项的基函数n m v v ，计算 n m n m v v m n v v ad )(λ-λ+λ=λ （9）

因此)(p L 为对角矩阵。)0(L 具有零空间的条件是（0)0(Re 2)0()0(=λ=λ+λ）

01=++m n （10） 可见当m 和n 同为偶数时上式成立，因此所有偶数次项可经PB 变换逐步消去。

（4）简化结果

)5()()(2O v v p v p v +γ+λ= （11） 令21)()()(jz z v p jb p a p +=+=γ，可将上式化为实数形式

?????++++α+β=++-+β-α=)5()]([)()()5()]([)()(222121212222121211O z z az bz z p z p z O z z bz az z p z p z （12）

上式的极坐标形式为

++β=θ+α+α=23)()()(br p r p r p r

（13） 将上式在0=p 处Taylor 展开得

+++ω=θ++=23br dp ar cpr r （14） 式中00==β

=α=

p p dp d d dp d c ，，以及 ])()([161)(161

2221222111112222112121221111122222211211221111h h h h h h h h h h h h h h a +-+-+ω++++=。这里1h 和2h 分别为方程（3）实数形式的非线性项。

3．讨论

考虑0>c 和0≠a 时的非退化情况，此时特征值实部具有横截性（当0=p 时横穿虚轴）。根据方程（14）第一式得到相应的二维系统平衡点和极限环为a cp r r /0-==，，其稳定性由23ar cp h +='决定。 a. 若0

p ，则0=r 不稳定。 b. 对于a cp r /-=

，cp h 2-='。若00>

—43—

定理（1（2）)(p A 具有共轭复特征值0)0(0)0()()()(>ω=β=αβ±α=λ，，p j p p

（3）00≠α

==a dp d c p ，

则该系统的平衡点在0=p 时失稳，出现如图5所示的Hopf 分叉。

说明：条件0≠a 表示通有Hopf 分叉（对小扰动持久），否则发生退化Hopf 分叉，平衡点产生多个极限环。

八、周期运动的分叉

考虑单参数n 维自治系统),(p u f u

= ，该系统闭轨为Γ，周期T 。设Poincare 映射),(p u P 的不动点是p u ，下面用Poincare 映射方法来研究闭轨Γ的分叉。将),(p u P Taylor 展开

)2())(()2())(,(),(),(O u u p A u O u u p u P D p u P p u P p p p p u p +-+=+-+= （15）

式中)1)(1(),()(--∈=n n p u R p u P D p A ，)(p A 的特征值为

????

?????

?

??????-=λλ-=λ=λ=λ>λ<λ=λ-=)

(ker 1)()(1)(1)(1)(1)(1)()(00000

1,,1分叉映射的分叉倍周期分叉静态分叉不稳定

渐近稳定

——————，，Hopf Sac Naimark p p p p p u p u p p r r r r r p r p r n r r 1． 静态分叉（1)(0=λp r ）：对应有一个零特征值，而其余特征值均有负实部。

—44— 取0)0(00==p u p ，，否则作平移即可。引入代数方程

u p u P p u Q -=),(),( （15） 显然Poincare 映射)0,(u P 不动点正是该方程的解。根据)1)(1()0(),()(--∈-==n n p u R I A p u Q D p B ，存

在如下等价关系：

(a) )0(A 某一1)0(=λr ，其它r s s ≠<λ，1)0(；

(b) 矩阵)0(B 有零特征值，其余均有负实部（正实部导致发散，不存在）；

(c) 非线性方程0),(=-u p u P 具有奇异点。

静态分叉：对应有一个零特征值，而其余特征值均有负实部，分叉类型取决于Poincare 映射导算子在奇异点处的值。

例1：分析映射2),(u p u p u P u ++=→的分叉。

解：在)0,0(),(=p u 处特征值为1，不动点由0),(2=+=-u p u p u P 得到。若0≤p ，p u -±=为不动点。由??

????

?

>??

P u P ，知?????---=不稳定稳定，，p p u ，出现鞍结分叉。 例2：分析2),(u pu u p u P u -+=→的分叉。该映射在)0,0(),(=p u 处出现跨临界分叉。

—45— 解：（1）1)0(-=λ，不动点：)2(200)2(22-≥+==?=--=-p p u u p u u u P ，，在)2,0(-处出现叉形分叉。

次可能产生m 倍周期分叉（1)0(=λm r

）。 3. Naimark-Sacker 分叉（1)0()0(=λλr r ）

此时存在一对模为1的共轭复根，其Poincare 映射在不动点具有二维中心流形，将Poincare 映射投影到二维中心流形上，得到二维Poincare 映射

12),(R p R v p v g v ∈∈→，， （16） 这里0)0,0(=g ，其Jacobi 矩阵满足N-S 分叉的条件

1)0()0(4,3,2,11)0(=λλ=≠λr r m r m ；， （17）

将二维映射（16）在原点附近Taylor 展开

+++λ=→+),(),()(),(321n n n n n v v h v v h v p p v g v （18） 下面将式（18）化为范式形式。

(a) 简化二阶项

取变换),(2v v q v v +→并代入到式（18）中得到

+++λ=++++),()],()[(),(221121n n n n n n n n v v h v v q v p v v q v （19）

—46—

导致

++-λ+λ=+++),(),(),()()(211221n n n n n n n n v v h v v q v v q p v p v

（20）

由于)2()()2()(11O v p v O v p v n n n n +λ=+λ=++，，因此将)3(),(),(2112O v v q v v q n n n n +λλ=++代入式（20）得到

)3(),(),(),()()(2221O v v h v v q v v q p v p v n n n n n n n n ++λλ-λ+λ=+

（21）

若0),(),(),()(222=+λλ-λn n n n n n v v h v v q v v q p ，则可所有二阶项。因此定义线性映射算子

),(),(v v q v v q q λλ-λ→

（22）

选取一组基函数},,{222v v v v span H =，计算该映射在这组基下的矩阵。

2

22

22

2

2

2

222

)()1())(()1(v

v

v

v

v v v v v v v v v

v

v v

λ-λ=λ-λ→λ-λ=λλ-λ→λ-λ=λ-λ→ 映射（22）的矩阵表示为

???

?

?

?

?λ-λλ-λλ-λ)()(0

00))

(1)((00

))(1)((2

p p p p p p 由于1001

)0(1)0()

0(1)0(1)0(3

2

≠λ?λ≠

λ≠λ?λ=λ=λ）（）

（，，，

在0=p 处该矩阵满秩，因此所有二阶项都可消去。

(b) 简化三阶项

),(),(333v v q v v q q λλ-λ→

（23）

取一组基函数},,,{3

2233v v v v v v span H =，经计算

3

3

3

33

32

22

22

2

2

2

2

3

23

333)()1()

)(()1()()()1(v

v

v v

v

v v v v v v v v v v v v v v v v

v

v v λ-λ=λ-λ→λ-λ=λλ-λ→λλ-λ=λλ-λ→λ-λ=λ-λ→

映射的矩阵表示为

????

?

?

?

?

?λ-λλ-λλλ-λλ-λ)()(0

00

))

(1)((00

00

))

()(1)((00

00

))(1)((3

2

2p p p p p p p p p

当0=p 时，1)0(1)0(42≠λ≠λ，，只有?=λλ1)0()0(第二列为零，因此映射的Normal Form 是

)4()()(),(2O v v p c v p p v h v ++λ=→ （24）

通过极坐标变换θπ=i re v 2可将上式化为实数形式，将该实数形式的范式在0=p 处作Taylor 展开则有

???+?+?+θ=θ→θ+++=→)3(),,()4(),(10231O p p r h O ar dpr r p r h r （25）

a ．0=r 为1h 的不动点，对应原系统闭轨???Γ==>Γ<Γ不稳定且渐近稳定

，，)00(00a p dp dp 。

b ．不动点a dp r /-=

是不变集，为Poincare 截面上的闭曲线，是原系统相轨线穿越Poincare 截面时的

痕迹。 c ．该闭曲线在n R 形成1-n 维环面，系统相轨线在该环面上缠绕——形成沿环面的运动，当m 等于无理数时，产生沿环面的概周期运动，这个概周期运动在该环面上是处处稠密的。0a ——环面运动不稳定。

d ．当参数p 逐渐增加，闭轨失稳而产生渐近稳定的环面运动，这种现象称为Naimark-Sacker （或周期运动的Hopf 分叉）。若系统的闭轨来源于Hopf 分叉，则又可称为二次Hopf 分叉。

定理2：设环面上的方程为2211ω=θω=θ ，。如果1ω和2

ω是有理相关的，则环面上该方程的每一条相曲线都是闭合的。但是，如果1ω和2ω是有理无关的，则该方程的每一条相曲线在环面2T 上是处处稠密。

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