广东省增城市2013届高中毕业班调研测试理科数学试题

增城市2013届高中毕业班调研测试理科试题

数 学

试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．第I卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II卷（非选择题）答案写在答卷上。 参考公式：S球?4?R,V柱?Sh,V锥?114Sh,V台?(S??S?S?S)h,V球??R3 333如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B). 如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)?P(A)P(B).

2

第I卷（选择题，共40分）

一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 1.

设

集

合

U?{x是小于x的正整数9集合},?A集合{1,2B,3则},={CuA?CuB?

（A） {3} （B） {7,8} （C）{4,5,6,7,8} （D）{1,2,7,8} 2.复数

5的共轭复数是 -2+i （A） 2+i (B) ?2?i (C) ?2?i (D) 2?i

?23.已知函数f(x)?x，则

(A) f(x)为偶函数且在(0,??)上单调增 (B) f(x)为奇函数且在(0,??)上单调增 （C）f(x)为偶函数且在(0,??)上单调减 (D) f(x)为奇函数且在(0,??)上单调增

4.函数f(x)?log3x的定义域是

?1(A) (0,1] (B) [1,??) (C) (3,??) (D) [3,??) 5.已知实数x满足x?x?3,则x2?x?2?

（A） 35 （B）5 （C）?35 （D）?5 6.给出三个命题：

A．若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行. B．若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行. C．若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是

（A）0 （B） 1 （C） 2 （D）3

（3）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则下列判断正确的是

（A） 甲射击的平均成绩比乙好 （B） 乙射击的平均成绩比甲好 （C） 甲比乙的射击成绩稳定 （D） 乙比甲的射击成绩稳定

8.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA?OB?OC?OD? （A）OM （B）2OM （C）3OM （D）4OM

第II卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.

（一）必做题（9～13题）

29.已知非空集合A?{xx?a,x?R}，则实数a的取值范围是 .

10.有一问题的算法程序是 i?1 S?0

WHILE i??100 S?S?i i?i?1 WEND PRINT S END

则输出的结果是 .

11.二项式(x?)的展开式中x的系数是 .

12.曲线y?x与y?x所围成的图形的面积是 . 13.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元，那么如何安排生产，可产生的最大利润是 .

（二）选做题（14、15题）

14（几何证明选讲选做题）已知圆O割线PAB交圆O于A,B(PA?PB)两点，割线PCD221x931,PO?10;则圆O的半径是 . 3?x?t?x?cos?15（坐标系与参数方程选做题）曲线?（t为参数且t?0）与曲线?（?y?t?1y?cos2??1??经过圆心O(PC?PD)，已知PA?6,AB?7为参数）的交点坐标是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16（12分）已知函数f(x)?2sinx(sinx?cosx)

（1）求f(x)的最小正周期及最大值；

（2）用五点法画出f(x)在一个周期上的图像. 17（12分）某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品.

（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？； （2）质检人员从中随机抽出2听，设?为检测出不合格产品的听数，求?的分布列及数学期望. V

B A

18（14分）如图，在三棱锥V?ABC中，VA?平面ABC, ?ABC?90?,且AC?2BC?2VA?4.

（1)求证：平面VBA?平面VBC;

（2）求二面角A?VC?B的平面角的余弦值.

19（14分）在等比数列{an}中，已知a3?（1）求{an}的通项公式； （2）求和Sn?a1?2a2???nan.

20（14分）已知点P是圆(x?1)?y?16上的动点，圆心为B，A(1,0)是圆内的定点；

2239,S3?. 22PA的中垂线交BP于点Q.

（1）求点Q的轨迹C的方程；

（2）若直线l交轨迹C于M,N(MN与x轴、y轴都不平行）两点，G为MN的中点，

求kMN?kOG的值（O为坐标系原点）.

21（14分）圆x?y?1内接等腰梯形ABCD，其中AB为圆的直径（如图）. （1）设C(x,y)(x?0)，记梯形ABCD的周长为

D 22yC B O f(x)，求f(x)的解析式及最大值；

（2）求梯形ABCD面积的最大值.

A x

增城市2013届高中毕业班调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准

（4）选择题：BBCBC BDD

（5）填空题：9. [0,??) 10. 5050 11. -84 12. 13.30000元 14. 25 15. （1,2） 三、解答题：

16.）（1）f(x)?2sinx?2sinxcosx 1分 ?1?cos2x?sin2x 3分

213

=1?2(sin2xcos =1?2sin(2x??4?sin?4cos2x) 4分

?4) 5分

?f(x)的最小正周期是?，最小值是2?1 7分

7.列表 9分

画图 10分 特征点 11分 坐标系 三、（1）在6听中随机抽出1听有6种方法

在2听中随机抽出1听有2种方法 所以P?26?13 答： D．??0,1,2 当??0时，P(??0)?C242C2? 7分

65当??1时，P(??1)?C1?C124C2?8 615当??2时，P(??2)?C221C2?15 6分布列为： E(?)?0?25?1?815?2?115 =23 18.（1）?VA?平面ABC?VA?BC ??ABC?90??BC?AC ?BC?平面VBA ?平面VBA?平面VBC 四、 过点B作MB?VC于M，过点A作AN?VC于N，

过点M作MD?VC交CA于D，则MD//NA ??ABC?90?,AC?2BC?2VA?4?VA?VB?2 ?AB?23 8分

?VA?平面ABC?VA?AC,VA?AB,?VC?25,VB?4

12分 1分 2分

4分 5分 6分

8分 9分

10分

11分

12分

1分 2分 4分 5分 7分

9分

?BM?25?8,25NA?8,?BM?AN?45 10分 5 ?CM?VN?4?(452252585)?,?CN?25?? 11分 5555 ?MDNA?CMCN?CDCA?14,?MD?55,CD?1 12分 在?ABC中，?AC?2BC,??CAB?30?,??ACB?60? ?BD?4?1?2?2?1?cos60??3 161 在?BMD中，cos?BMD?5?5?312?455?4

5?5所以所求二面角的平面角的余弦值是14 或解：过点B作BB??平面ABC，建立直角坐标系如图 则B(0,0,0),A(0,23,0),C(2,0,0),V(0,23,2) ?AV?(0,0,2),AC?(2,?23,0),BC?(2,0,0),BV?(0,23,2) 设m?(2,x,y),m?AC,m?AV 则??4?23x?0????2y?0?x?23?m?(2,23,0)?3 10分 ?y?03同理设n?(t,2,s),n?BC,n?BV 则??2t?0?43?2s?0???t?0?s??23?n?(0,2,?23) 设m与n的夹角为?，则

43cos??m?n31mn??4?44 3?4?12所以所求二面角的平面角的余弦值是

14

13分

14分

6分

7分

8分

9分

11分

12分 13分 14分

3 1分 292 a1?a1q?a1q? 2分

219.（1）解：由条件得：a1q?2 ?1?q?2 3分 q2 ?q?1或q??1 4分 2当q?1时，a31?2,a3n?2 当q??12时，a?12)n?11?6,an?6( 所以 或解：当q?1时由条件得：

?aq23 ??1??2 ?a(1?q3)9 1??1?q?2 1?q3 q2(1?q)?3，即2q3?3q2?1?0 ?(2q?1)(1?q)2?0 ?q??12 ?a1?6 当q?1时，a1?32符合条件 所以 （2）当q?1时，S3n?2(1?2???n) ?3n(n?1)4 当q??12时,S101121n?1n?6[(?2)?2?(?2)?3?(?2)???n(?2)] ??12S1111n?6[(?2)?2?(?2)2?3?(?2)3???n(?2)n] ?32S[1?(?12)?(?111n?62)2???(?2)n?1?n(?2)n]

5分 6分

7分 2分 3分

4分 5分 6分 7分

8分 9分

10分

11分

12分

11?(?)n32?n(?1)n] 13分 ?Sn?6[1221?2841?Sn??(3n?2)(?)n 14分

332一、

（1）解：由条件知：QA?QP 1分

?QB?QP?4 2分 ?QB?QA?4 3分 ?AB?2?4 4分 所以点Q的轨迹是以B,A为焦点的椭圆 5分

?2a?4,2c?2?b2?3 6分

x2y2??1 7分 所以点Q的轨迹C的方程是43（2）解：设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1?x2,y1?y2)，则G(x1?x2y1?y2,) 8分 2222x12y12x2y2??1,??1 9分 ?4343 ?(x1?x2)?1422122(y1?y2)?0 10分 32y12?y23?? ?2 11分 2x1?x24 ?kMN?y1?y2y?y2,kOG?1 13分

x1?x2x1?x22y12?y23?2?? 14分 2x1?x24 ?kMN?kOG或解：设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1?x2,y1?y2)，直线MN的方程为y?kx?b(k?0) 则G(x1?x2y1?y2,) 8分 22?y1?kx1?b,y2?kx2?b,?y1?y2?k(x1?x2)?2b 9分

?kOG?y1?y22b 10分 ?k?x1?x2x1?x2222将y?kx?b代入椭圆方程得：(4k?3)x?8kbx?4b?12?0 11分

?x1?x2??8kb 12分

4k2?3?kOG2b4k2?33 13分 ?k??k????8kb4k4k4k2?3所以kMN?kOG?k?(?34k)??34 14分

21.解：（1）过点C作CE?AB于E 则OE?x(0?x?1) ?EB?1?x ?x2?y2?1,?CB?y2?(1?x)2 ?2?2x ?f(x)?2?2x?22?2x(0?x?1) 令2?2x?t，则2x?2?t2(0?t?2) ?f(x)?4?t2?2t??(t?1)2?5?5 当t?1，即x?12时f(x)有最大值5 14.设C(x,y)(x?0)，则S(x)?12(AB?DC)y ?12(2?2x)y?(x?1)1?x2(0?x?1) ?S?(x)?1?x2?(x?1)?12??2x1?x2 ??2x2?x?11?x2=0 ?2x2?x?1?0,(2x?1)(x?1)?0,?x?12 且当0?x?12时，S?(x)?0，当12?x?1时，S?(x)?0

1分

2分

3分

4分

5分

6分

7分 8分

9分

10分

11分

12分 13分

所以当x?331时，S(x)有最大值，即 14分

42或解：设?BAC??(0???90?)，过点C作CE?AB于E

?AB是直径，??ACB?90?

?AC?2cos? 8分 ?AE?AC?co?s?2cos?,CE?AC?sin??2sin?co?s 9分 ?OE?2sin?co?s?1 10分 S(?)?213(2?4sin?co?s?2)2sin?co?s?4sin?co?s 11分 223sco?s?4sin?(?sin?) ?S?(?)?4?3sin?co? ?4sin?(3cos??sin?)?4sin?cos?(3?tan?)?0 12分 ?tan??3,???60? 13分 当0???60?时，S?(?)?0，当60????90?时，S?(?)?0

222222 所以当??60?时S(?)有最大值或解：设C(x,y)(x?0)，则S(x)?33 14分 41(AB?DC)y 8分 212 ?(2?2x)y?(x?1)1?x(0?x?1) 9分

2 ? ?(x?1)3(1?x) 10分

1(x?1)(x?1)(x?1)(3?3x) 11分 316433()? 12分 324 ?当且仅当x?1?3x?3，即x?1时等号成立 13分 2所以 14分

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