2.8 函数模型及其应用

§2.8 函数模型及其应用 基础知识要点梳理1.三种增长型函数模型的图象与性质 性 函 数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) _______ 增函数 y=xn (n>0) ________ 增函数

自主学习

质 在(0,+∞)上 ________ 增函数 的增减性

增长速度

越来越快 越来越慢 相对平稳 ________ ________

随x增大逐渐 随x增大逐 随n值变 表现为与 渐表现为与 化而不同 图象的变化 x轴 ______平行 ______平行 y轴2.三种增长型函数之间增长速度的比较

(1)指数函数y=ax (a>1)与幂函数y=xn (n>0)在区间(0,+∞),无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn,但由于y=ax的增长速度_____y=xn 快于 的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有_______. ax>xn

(2)对数函数y=logax (a>1)与幂函数y=xn (n>0)

对数函数y=logax (a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会______y=xn的增长速度,因而在定义域 慢于 logax<xn 内总存在一个实数x0,使x>x0时有____________. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函 数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,

因此在(0,+∞)上，总会存在一个x0,使x>x0时有_____________. ax>xn>logax

3.常用的几类函数模型

(1)一次函数模型 f(x)=kx+b (k、b为常数，k≠0);

k (2)反比例函数模型 y b (k、b为常数,k≠0); xa≠0);

(3)二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数， (4)指数函数模型 f(x)=a·bx+c (a、b、c为常数，

a≠0,b>0,b≠1);(5)对数函数模型 f(x)=mlogax+n(m、n、a为常 数，m ≠0, a>0,a≠1); (6)幂函数模型 f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a≠0, n≠1).

4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为

5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果 要回到实际问题中写答案.

基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元， 不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100 元国家要征附加税为x元(税率x%),则每年销售量 减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附

加税额不少于112万元，则x的最小值为A.2 解析 B.6 C.8 D.10x 112 , 依题意 (100 10 x) 70 100

(A)

解得2≤x≤8,则x的最小值为2.

2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利

息税的税率为20%,由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%, 到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元, 则该存款人的本金介于 A.3万~4万元 B.4万~5万元 ( A)

C.5万~6万元解析 则x·2%·20%=138.64,

D.2万~3万元

设存入的本金为x,

1 386 400 x 34 660 . 40

3.在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x元之 间满足一次函数关系,如果购买1 000 吨,每吨为800

元；购买2 000 吨,每吨为700元;一客户购买400 吨,单价应该是 A.820元 B.840元 C.860元 (C ) D.880元

解析

依题意，可设y与x的函数关系式为

y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000, 可得k=-10,b=9 000,即y=-10x+9 000, 将y=400代入得x=860.

4.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h)

的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00,其后t取正值,则下午3时温度为 A.8℃ 解析 B.78℃ C.112℃ ( B ) D.18℃

由题意，下午3时，t=3,∴T(3)=78℃.

5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一

种方式其加密、解密原理如下：解密 明文 加密 密文 发送 密文

明文

已知加密为y=ax-2 (x为明文,y为密文),如果明文 “3”通过加密后得到密文为“6”,再发送，接受 方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为

“14”,则原发的明文是______. 4解析 依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2, 解得a=2.所以加密为y=2x-2,因此，当y=14时，由 14=2x-2,解得x=4.

题型分类题型一 【例1】如图所示，在矩形

深度剖析

一次、二次函数模型

ABCD中，已知AB=a,BC=b (b<a),在AB,AD,CD,

CB上分别截取AE,AH,CG,CF都等于x,当x为何值时，四边形EFGH的面积最 大？并求出最大面积.

思维启迪 依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值 问题求出S的最大值.

设四边形EFGH的面积为S, 1 则S△AEH=S△CFG= x2, 2 1 S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x), 2 1 1 S ab 2 [ x 2 (a x)(b x)] 2 2 a b 2 ( a b) 2 2 x 2 (a b) x 2( x ) , 4 8 由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}. a b 又0<b<a,∴0<b< , 2

解

a b 若 ≤b,即a≤3b时， 4 ( a b) 2 a b ; 则当 x 时，S有最大值 8 4 a b b, 即a>3b时,S(x)在(0,b]上是增函数， 若 4 此时当x=b时，S有最大值为 a b 2 ( a b) 2 2(b ) ab b 2 , 4 8 a b 综上可知，当a≤3b时，x 时， 4 2 ( a b) , 四边形面积Smax= 8

当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.

探究提高

二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建

立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取 值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的 区间之间的位置关系讨论求解.

知能迁移1

某人要做一批地砖，每块地砖(如图1所

示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由 单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若 将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色

阴影部分成四边形EFGH.

图1

图2

(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、

F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用 最省？ (1)证明 图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次

逆时针旋转90°,180°,270°后得到，

∴EF=FG=GH=HE,∴△CFE为等腰直角三角形， ∴四边形EFGH是正方形.

(2)解

设CE=x,则BE=0.4-x,

每块地砖的费用为W,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平 方米价格依次为3a、2a、a(元),

=a(x2-0.2x+0.24)

1 2 1 W x 3a 0.4 (0.4 x) 2a 2 2 1 2 1 [0.16 x 0.4 (0.4 x)]a 2 2

=a[(x-0.1)2+0.23] (0<x<0.4),

由a>0,当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省.答 当CE=CF=0.1米时，总费用最省.

题型二

分段函数模型

【例2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售

情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中 图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图 ③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.

(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关 系； (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等

于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/umfq.html