《数学建模与数学实验》（第三版）6.5习题作业

《数学建模与数学实验》（第三版）6.5习题作业

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1.电路问题

一电路由三个电阻R1、R2、R3并联，再与电阻R4串联而成，记Rk上电流为Ik，电压为Vk，在下列情况下确定Rk使电路总功率最小(k?1,2,3,4)： 1）I1?4,I2?6,I3?8,2≤Vk≤10; 2）V1?4,V2?6,V3?8,2≤Ik≤6;

1）解：根据建立P?IR;U?IR数学模型为：

2??I?4?14?I2?62IkRk s.t.?I?8W=min

?3k?1?I?I?I?I123?4?210?I≤Rk≤I(k?1,...,4)k?k?用Lingo求解：

min=I1^2*R1+I1^2*R1+I2^2*R2 结果：

+I3^2*R3+I4^2*R4;

?R1?0.5000I1=4;

?R?0.3333I2=6;

?2I3=8; , ?R?0.2500I4=18; ?3R1>1/2; ??R4?0.1111R2>1/3; R3>1/4; P?80 R4>1/9; end

?I1?4.0000?I?6.0000?2 ?I?8.0000?3??I4?18.0000

2）解：根据建立P?IR;U?IR数学模型为：

2?I4?I1?I2?I3?R1=4/I1;?4?2t?R2=6/I2;W=min?IkRk s..

k?1?R=8/I;3?3??2≤Ik≤6(k=1,...,4);用Lingo求解：

min=I1^2*R1+I2^2*R2+I3^2*R3 结果：

+I4^2*R4;

?R1?0.5835976E+08 ?I1?0.6854038E-07 I4=I1+I2+I3;

?R?0.1586609E+08 ?I?0.3781429E-06 I1<6; ?2?2??I2<6;

R?1.33333??I3?6.000000 I3<6;

?I4<6; ?R4?0.4752196E+27 ??I4?6.000000

P?0.1710790E+29

R1=4/I1; R2=6/I2; R3=8/I3; end

3.（设计最优化问题）

要设计和发射一个带有X射线望远镜和其他科学仪器的气球。对于性能的粗糙的度量方法是以气球所能到达的高度和所携仪器的重量来表达，很清楚，高度本身是气球体积的一个函数。根据过去的经验做结论，是求极大满意性能函数P?f(V,W)?100V?0.3V?80W?0.2W,此处V是体积，W是仪器重量。承包项目的预算限额为1040美元，与体积V有关的费用是2V，和设备有关的费用是4W，为了保证在高度方面的性能与科学设备方面的性能之间合理平衡，设计者要满足约束条件100V≤80W，找出由体积和设备重量来表达的最优设计，并求解。 解：根据已知条件建立数学模型为：

22maxf(V,W)?100V?0.3V2?80W?0.2W2?2V?4W≤1040;?V+2W≤520;s..t?即?80W-100V>0. ??5V-4W<0.maxf(x1,x2)?100x1?0.3x12?80x2?0.2x22?x+2x2≤520;s..t?1?5x1-4x2<0.根据约束条件取

TTX1=（148，184），步长限制??=（2，1）,??0.5又由X-X1≤??，得设用x1表示V，x2表示W，则

x1-148≤2,得146≤x1≤150;x1-184≤1,得183≤x2≤185;由f(X)?f(X)??f(X)(X?X)得f(X)?11.2x1?6.4x2?13342.4得线性近似规划

11T1

?x1?2x2≤520,?5x?4x?0,?12 s.. t?maxf(X)?11.2x1?6.4x2?13542.4，146≤x≤150,1???183≤x2≤185,用Lingo求解 结果： max=11.2+6.4*x2+13342.4;

?x1?148.5714x1+2*x2<520;

, maxf= 16194.97 ?5*x1-4*x2<0; x?185.7143?2x1>146;

x2>183;

end

T第二次迭代：取步长限制??=（1，1.5）,??0.5又由X-X1≤??得x1-148≤1,得147≤x1≤149;x1-184≤0.5,得182.5≤x2≤185.5; 由f(X)?f(X1)??f(X1)T(X?X1)得f(X)?11.2x1?6.4x2?13342.4得线性近似规划

?x1?2x2≤520,?5x?4x?0,?12 maxf(X)?11.2x1?6.4x2?13342.4，s..t?147≤x≤149,1???182.5≤x2≤185.5,用Lingo求解： 结果： max=11.2*x1+6.4*x2+13342.4;

?x1?148.5714x1+2*x2<520; , maxf= 16194.97 ?5*x1-4*x2<0; x?185.7143?2x1>146;

x2>183;

end

综上所述：

最优解: X?(148.5714,185.7143) 最优值：maxf = 16194.97

5.（钢管最优化问题） 钢管下料问题……………

解：设使用第i种方法切割的钢管次数为Xi（i=1……6）根

根据分析可知所有符合要求的切割方案如下表：（单位：mm） 客户所需的长度单位：mm 290 315 350 用第i 种方案的次数 单位：个 X1 X2 X3 X4 X5 X6 2 1 1 1 0 0 1 0 2 1 0 1 0 3 0 2 0 3 1T455 余料 单位：mm 2 1 2 1 4 1 45 55 20 90 30 30 根据已知条件建立数学模型为： minf(X)?x3(1?0.1)?(x5?x6)(1?0.2)?x（（（11+0.3）+x21+0.4）+x41+0.5）?2x1?x2+x3+x4=15,?x?2x?x?x=28,?1346s..t??2x1?x2?2x3?x4?x5?x6=28,??xi≥0(i=1...6),用Lingo求解：

min=0.1*x3+0.2*(x5+x6)+0.3*x1+0.4*x2+0.5*x4+x1+x2+x3+x4+x5+x6; 2*x1+x2+x3+x4=15; x1+2*x3+x4+x6=28; 3*x2+2*x4+3*x6=21;

2*x4+x2+2*x3+x4+x5+x6=30; x1>=0; x2>=0; x3>=0; x4>=0; x5>=0; x6>=0; end 结果：

最优解:X?(1,3,12,0,0,5); 最优解: minf= 22.2

1T

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