概率试题库(优秀资料,免费下载)

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《概率论与数理统计》试题（1）

一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）

⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2

n S =n 121)(X X

n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）

二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来

（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；

（2）,,A B C 中至少有两个发生；

（3）,,A B C 中不多于两个发生；

（4）,,A B C 中恰有两个发生；

（5）,,A B C 中至多有一个发生。

三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.

四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为

10131

111115651530

X P -- 求2Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1

()2x f x e -=

，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差.

六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤.

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999

七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布

1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

《概率论与数理统计》试题（1）评分标准

一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。

二解（1）ABC

（2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；

（3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；

（4）ABC ABC ABC ；

（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC

每小题4分；

三解设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .------------------------------------5分

A 发生0,0,222a a a x y x y a ?<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ，----------------------------------------10分

所以

1()4A P A ==的面积S 的面积 -----------------------------------------15分

四解 Y 的分布列为

014

917111530530

Y P . Y 的取值正确得2分，分布列对一组得2分；

五解 ||102x EX x e dx +∞

--∞=?=?，

（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 22||2012x x D X EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===?? 2002x

x x e xe dx +∞+∞--=-+? 002[] 2.x x xe e dx +∞

+∞--=-+=?

----------------------------------------10分

六解 X ～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分

(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ---------------------------10分 (2.5)(1.5

=Φ-Φ- =0.994+0.933--1

0.927=.--------------------------------------------------15分

七解 1111(,,;)(1)(1)n

i i i n

x n x n n i L x x p p

p p p =--=∑=-=-∏ ----------5分

1l n l n ()l n (1),n

i L n p X n p ==+--∑

1ln 0,1n

i i X n d L n dp p

p =-=--∑ --------------------------------10分

解似然方程 11n i

i n X n

p p =-+=-∑，

得p 的极大似然估计

1p X

=。--------------------------------------------------------------------15分

《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.

3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2

X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2

)1(-=>e

X P ，则=λ_________，

}1),{min(≤Y X P =_________.

5．设总体X 的概率密度为

????

?<<+=其它

0,10,

)1()(x x x f θ

θ 1->θ.

n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.

解：1．3.0)(=+B A B A P

即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P

9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．λ

λ---=

=+==+==≤e

X P e

e X P X P X P 2

)2(,

)1()0()1(2

由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λ

λλ---=+e e e

即 0122

=--λλ 解得 1=λ，故

1)3(-==e

X P .

3．设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则

()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y

=≤

≤

=≤-

- 因为~(0,2)X U

，所以(0X F =

，即()Y X F y F = 故

04,

()()0,

Y Y X y f y F y f <<'==

=?其它

另解在(0,2)上函数2

y x =

严格单调，反函数为()h y =所以

04,

1()0,

Y X y f y f <<==?其它

4．2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ=

{m i n (,)1}1{m i n (,P X Y P

X Y ≤=->1(1)(1)

P X P Y =->> 41e -=-.

5．似然函数为 111(,,;)(1)(1)(,,)n n n i n i L x x x x x θθθθθ==

+=+∏ 1l n l n (1)l n

n i i L n x θθ==+

+∑ 1ln ln 01n i i d L

n x

d θθ==++∑

解似然方程得θ的极大似然估计为

111ln n i i x n θ==-∑.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是

（A ）若()1P C =，则A C 与B C 也独立.

（B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立.

（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.

（D ）若C B ?，则A 与C 也独立. （）

2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为

（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.

（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （）

3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是

（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.

（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （）

4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为

(,)(1,1)

(1,2

)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1

1116

9183X Y P αβ 若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21

,99αβ=

=. （A ）12,99αβ==. （C ） 11,66αβ== （D ）51

,1818αβ==. （）

5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ 为来自X 的样本，则下列结论中

正确的是

（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量.

（C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （）

解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）. 事实上由图可见A 与C 不独立.

2．~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤

1(2)(2)1[2(2)1]2[1=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.

3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若,

X Y独立则有

(2,2)(2)(2

P X Y P X P Y

α======

1121

()()()

3939

αβαα

=+++=+

∴

α=，

β=

故应选（A）.

5．

EXμ

=，所以

X是μ的无偏估计，应选（A）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是

合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设A=‘任取一产品，经检验认为是合格品’

B=‘任取一产品确是合格品’

则（1）()()(|)()(|)

P A P B P A B P B P A B

0.90.950.10.020

=?+?=

（2）

()0.90.95

(|)0.9977

()0.857

P AB

P B A

P A

===.

四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率

都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.

解：X的概率分布为

()()()0,1,2,3.

k k k

P X k C k

===

即

0123

2754368

125125125125

X的分布函数为

0,0,

,01,

125

(),12,

125

117

,23,

125

1, 3.

F x x

?≤<

=≤<

≤<

≥

E X=?=

2318

5525

D X=??=.

五、（10分）设二维随机变量(,)

X Y在区域{(,)|0,0,1}

D x y x y x y

=≥≥+≤上服从均匀分布. 求（1）(,)

X Y关X（2）Z X Y

=+的分布函数与概率密度.

（1）(,)

X Y的概率密度为

2,(,)(,)0,.

y D f x y ∈?=??其它

22,0

1()(,)0

,X x x f x f x y dy +∞-∞

-≤≤?==?

其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞

=-?

其中2,

01,01(,)0,

x z x x f x z x ≤≤≤-≤-?-=?

?其它

2,01,

0,x x z ≤≤≤≤?=?

?其它.

当 0z <或1z >时()0Z f z =

01z ≤≤时 0

()222z z Z f z dx x

z ===?

故Z 的概率密度为

2,01,()0,Z z z f z ?≤≤?=???其它.

Z 的分布函数为

200,

00,0,

()()2

,01,01,

1,1.1,

z z Z Z

z z f z f y dy ydy z z z z z -∞

=≤≤=≤≤????>?

>???

? 或利用分布函数法

10,0,

()()()2,01,

Z D z F z P Z z P X Y z d x d y z z ?

=+≤=≤≤???>??? 2

,0,

,01,1,

z z z z

=≤≤??>?

2,01,

()()0,

Z Z z z f z F z

≤≤?'==??其它.

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2

(0,2)N 分

布. 求（1）命中环形区域22

{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数

学期望.

1）{,)}(,)D

P X Y D f x y dxdy ∈=

228

1248x y r D

dxdy e

rdrd πθππ

????

112

()8

d e

=-=-?

；

（2

）22

18x y EZ E e

dxdy π

+∞+∞-∞

-∞

rdrd e

r dr πθπ

+∞+∞=

dr dr +∞

+∞+∞-∞

=-+

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，

样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2

0:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）.

（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t === 22

0.050

.05

0.025

(16)

26.296,(15)

24.996,(15)27.488.

χχχ=== 解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为

/2/

((,()

X t n X t n αα

--+- 0.025

10,0.4,16,0.05,(15)

2.132

X s n

t α====

= 所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）2

0:0.1H σ≤的拒绝域为2

(1)n αχ

χ≥-.

1515 1.6240.1

χ=

=?=，2

0.05(15)24.996χ=

因为 22

0.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H .

《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1）设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，

则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.

（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜

色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3）设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,

x x f x <

?其它

现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于

0.5的次数，则2EY =___________.

（4）设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为

(,)

(1,0)(1,1)(2,0)0.40.2X Y P a b

若0.8E X Y =，则Cov(,)X Y =____________.

（5）设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.

（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）

解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+

因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ??，故ABC C = 同理 A B C A B

=. ()()()0.20.50.50.45

P A B C A B C P C P A B +=+=+?=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’，

1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’

则 12A B B =+.

所求概率为 22212()()

(|)()()()

P A B P B P B A P A P B P B ==+ 2222

22122

222555533(),()100100C C C C P B P B C C C C =?==?=

所以 21

(|)2P B A =.

（3）~(4,),Y B p

其中 1

0.5

22001(0.5)24p P X x d x x =≤===?，

341,44444E Y D Y =?==??=，

221

()144E Y D Y E Y =+=+=.

（4）(,)X Y 的分布为

这是因为 0.4a b +=，由0.8E X Y = 得 0.220.8b += 0.1,0.3

a b ∴== 0.620.41E X =+?=，0.5E Y =

故 c o v (,)0.80.7X Y E X Y E X E Y =-=-=.

（5）2

216(){4}0.014S P S a P a >=>=

即 2

0.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有

（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤

（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ （）

（2）设随机变量X的概率密度为

(2)

(),

f x x

=-∞<<∞

且~(0,1)

Y aX b N

=+，则在下列各组数中应取

（A）1/2, 1.

a b

==（B

）2,

a b

（C）1/2,1

a b

==-. （D

）2,

a b

==（）

（3）设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

0.40.6

则有

（A）()0.

P X Y

==（B）()0.5.

P X Y

（C）()0.52.

P X Y

==（D）() 1.

P X Y

==（）

（4）对任意随机变量X，若E X存在，则[()]

E E EX等于

（A）0.（B）.X（C）.

E X（D）3

().

E X（）

（5）设

,,,

x x x

为正态总体(,4)

Nμ的一个样本，x表示样本均值，则μ的

置信度为1α

-的置信区间为

（A）

/2/2

(x u x u

αα

（B）

1/2/2

(x u x u

αα

（C）(x u x u

αα

（D）

/2/2

(x u x u

αα

-+（）

解（1）由(|)1

P C AB=知()()

P ABC P AB

=，故()()

P C P AB

≥

()()()()()()(

P C P A B P A P B P A B P A P B

≥=+-≥+-

应选C.

（2）

(2)

()

f x

即~(2)

X N-

故当a b

==-=时~(0,1)

Y aX b N

应选B.

（3）()(0,0)(1,1)

P X Y P X Y P X Y

====+==

0.40.40.60.60

=?+?=

应选C.

（4）[()]

E E EX EX

应选C.

（5）因为方差已知，所以μ的置信区间为

(,)

X u X u

αα

应选D.

三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的

箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都

是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设A =‘从箱中任取2件都是一等品’ i B =‘丢失i 等号’ 1,2,3i =. 则 1122

3()()(|)

()(|)()(|)

P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 2

554222999131221059

C C C C C C =?+?+?=；

所求概率为111()(|)

3(|)()

P B P A B P B A P A ==

四、（10分）设随机变量X 的概率密度为

02,()0,

ax x f x +≤≤?=?

?其它

求（1）常数a ；（2）X 的分布函数()F x ；（3）(13).P X << 解：（1）222

1()(1)(

)222

a f x dx ax dx x x a +∞-∞

+=+=+?

∴ 12

a =-

（2）X 的分布函数为

()()(1),02,

x x x u

F x f u du du x x -∞

=-≤≤??>???

0,0,,02,41,2.

x x x x x

=-≤≤??

>??

（3）321

1(13)()(1)2

x P x f x dx dx <<=

五、（12分）设(,)X Y 的概率密度为

0,,

(,).

x y x e f x y -<

?其它

求（1）边缘概率密度(),()X Y f x f y ；（2）(1)P X Y +<；（3）Z X Y =+的概率密度()Z f z .

,0.x x

x e dy x +∞-≤??

=?>???0,

0,,

0.x

x xe x -≤?=?>?

0,0

)(,),0.

y f x y d x e d x y +∞+∞--∞

≤??

=?>???

0,0,

,0.y y e y -≤?=?>?

（2）1

120

(1)(,)y x

x y P X Y f x y dxdy e dx dy --+

?+<=

???

11220()12y y e e e dy e e ----=

-?=-+?. （3）()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-?

,0,2,(,)0,.

x e x x z x f x z x -?><≤?-=???其它

0z ≤ 时 ()0Z f z =

0z > 时 22()z z x z z Z f z e dx e e ---=

=-?

20,0,(),0.

z Z z z f z e e z --≤??=??->?

六、（10分）（1）设~[0,1]X U ，~[0,1]Y U 且X 与Y 独立，求||E X Y -；

（2）设~(0,1),~(0,1)X N Y N 且X 与Y 独立，求||E X Y -. |(,)||Y f x y x y dxdy +∞+∞-∞-∞=-?? 111000()()x

x x y d x d y y x d x d y

=-+-???? 13

=；（2）因,X Y 相互独立，所以~(0,2)Z X Y N =- ~(0,1)N = E =||E X Y -=.

七、（10分）设总体的概率密度为

101,,(;).0,x x f x θθθ-<

其它 (0)θ> 试用来自总体的样本12,,,n x x x ，求未知参数θ的矩估计和极大似然估计.

解：先求矩估计

1101E X x d x θθμθθ==

=+? 1

11μθμ∴=- 故θ的矩估计为 1X X θ=-

再求极大似然估计

11111

(,,;)()n

n n i n i L x x x

x x θθθθθ--===∏ 1l n l n (1)l n n

i i L n x θθ==+-

∑

1ln ln 0n i i d L

n x

d θθ==+∑

所以θ的极大似然估计为

11ln n

i i x n θ==-∑. 《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1）设()0.5P A =,()0.6P B =,(|)0.8P B A =，则,A B 至少发生一个的概率为_________. （2）设X 服从泊松分布，若2

6EX

=，则(1)P X >=___________.

（3）设随机变量X 的概率密度函数为1

(1),

02,()4

0,x x f x ?+<

其他.

今对X 进行8次独立观测，以Y 表示观测值

大于1的观测次数，则D Y =___________.

（4）元件的寿命服从参数为

1100

的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概

率为_____________.

（5）设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2

(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得16

8i i X ==∑，16

34i i X ==∑.

在置信度0.95下，μ的置信区间为___________.

.05

0.0

((15)

1.7531,(15)

2.1315)t t == 解：（1）()()()

0.8(|)1()

0.5

P BA P B P AB P B A P A -===

- 得 ()0.2P AB =

()()()()

1.1

0.2

P A B P A P B P A B =

-=-= . （2）2

~(),6()X P EX

D X EX λλλ==+=+ 故 2λ=.

(1)1(1)1(0)(P X P X P X P X >=-≤=-=

2221213e e e ---=--=-.

（3）~(8,)Y B p ，其中21

15(1)(1)4

p P X x dx =>=+=?

53158888

D Y =?

?=.

（4）设第i 件元件的寿命为i X ，则1~(

),1,2,3,4,5100

i X E i =. 系统的寿命为Y ，所求概率为

(100)(100,100,,100)

P Y P X X X >=>>>

1[(100)][1

1].

P X e e --

=>=-+=

（5）μ的置信度1α-下的置信区间为

/2/

((,()

X t n X t n αα

--+- 16

10.5,[16]2, 1.4142,1615

i i X S X X S n ===-===∑

.025

(15)2.1315.

t = 所以μ的置信区间为（0.2535, 1.2535-）.

二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中，每小题3分，共15分）

（1）,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是（A ）()A B B A B -= .

（B ）()A B A B -= .

（C ）()A B AB AB AB -= .

（D ）()()()A B C A C B C =-- . （）

（2）设

,X X 是随机变量，其分布函数分别为

12(),()

F x F x ，为使

12()()()F x aF x bF x =+是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值

中应取（A ）32,55a b =

=-. （B ）22,33a b ==. （C ）13,22

a b =-

. （D ）13,2

a b =

（）

（3）设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y = （A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -. （C ）3(

X y F +. （D ）31(

X y F --. （）

（4）设随机变量12,X X 的概率分布为

101

1424

X P

- 1,2

i =. 且满足12

(0)1P X X ==，则12,X X 的相关系数为1

X ρ=

（A ）0. （B ）14

. （C ）

. （D ）1-. （）

（5）设随机变量1~[0,6],~(12,)

4X U Y B 且,X Y 相互独立，根据切比

雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+ （A ）0.25≤. （B ）512

≤

. （C ）0.75≥. （D ）512

≥

. （）

解：（1）（A ）：成立，（B ）：()A B A B A B -=-≠ 应选（B ）（2）()1F a b +∞==+. 应选（C ）（3）()()(35)((3)/5)Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=>- 331(

)1(

X y y P X F --=-≥=- 应选（D ）

（4）12(,)X X 的分布为

1212

0,0,0E X E X E X X ===，所以12cov(,)0X X =，于是 1

X ρ=. 应选（A ）

（5）(33)(||3)P X Y X P Y X -<<+=-< ()0

E Y X E Y E X -=-= 921()344

D Y X D Y D X -=+=+=

由切比雪夫不等式

54(||3)1912

P Y X -<≥-= 应选（D ）

三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入

超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的，

求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。

解：设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ 0,1,k =

n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’ ,

1,n k k =+

则 ()()()(|n n n n k n k P B P C B P C P B C ∞∞===

=∑∑ (1)!n k k n k n n k e C p p n λλ∞--==

-∑ ()(1)!()!k n k n k n k p e p k n k λλλ-∞--==

--∑ ()!k p p e k λλ-=

0,1,k = .

四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参

数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生

的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2）

E Y 和D Y .

((2)0.977,(1)0.8

Φ=Φ= 解：（1）~(100,)Y B p ，其中8472(6084)(

)p P X σ-=<≤=Φ 607212()2()1

σσ--Φ=Φ- 由 9672240.023(96)1

()1()P X σσ-=>=-Φ=-Φ 得 24

()0.977σΦ=，即242σ=，故12

1σ=

所以 2(1)10.6826p =Φ-=.

故Y 的分布列为100100()(0.6826)(0.3174)k k k P Y k C -==

（2）1000.682668.26E Y =?=，68.260.317421.6657D Y =?=.

五、（10分）设(,)X Y 在由直线21,,0x x e y ===及曲线1

y x =所围成的区域

上服从均匀分布，

（1）求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y 是否独立.

（2）求(2)P X Y +≥.

解：区域D 的面积 22

111ln 2e e D S dx x x =

==?

(,)X Y 的概率密度为

(,),

(,)2

0,x y D f x y ?∈?=???

其它.

（1）12

1,()(,)2

0,.

x X dy x e f x f x y dy +∞-∞

?≤≤?=

=???

其它

,1,

20,.

x e x

?≤≤?

=???

其它

11,1,

21,

1,()(,)20,

e y Y dx y e dx e

y f y f x y dx -+∞--∞

?≤≤???

<≤=

=????

????

其它

1(1),1211,

122

,e y e e

y y --?-≤≤??

<≤=?

????其它

（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠?，所以,X Y 不独立. （3）2

(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy +<+≥=-+<=-

1113

110.75

=-?=-==.

六、（8分）二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Z X Y =+的概率密度。

1,(,),(,)0,

x y D f x y ∈?=?

?其它

设Z 的概率密度为()Z f z ，则

()(,)Z f z f z y y d y

+∞-∞

1,01,21(,)0,

y y z f z y y ?≤≤-<<

?-=?

??其它

当 1z <-或1z >时()0Z f z = 当 11z -<≤时1

1()2z Z z f z dy ++==? 所以Z 的密度为

,||1,

()2

0,.

Z z z f z +?

=???

其它

解2：分布函数法，设Z 的分布函数为()Z F z ，则 ()()

()(,)Z x y z

F z P Z z P X Y z f x y d x d y

+≤

=≤

=+≤=??

,1,0,1(1),11,11,41

1D z z z

d x d y z z z z ?≤-?≤-??

+??=-<<

=-<

1,||1,

()()2

0,.

Z Z z z f z F z +?

'==???

其它

七、（9分）已知分子运动的速度X 具有概率密度

(),0,0,

()0,0.

x x f x x αα-?>>=?

≤?

12,,,n x x x 为X 的简单随

机样本

（1）求未知参数α的矩估计和极大似然估计；（2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。解：（1）先求矩估计

(

)

EX dx α

μ-+∞==

()

(

)

dx α

+∞

--+∞=-

X α

∴=

再求极大似然估计

(

)

(,,;)i

x n

n i L X X α

α-==

∏

322

14()n n

n n x x απ

-= 2

i x e

∑?

ln 3ln ln(4)ln()n n

n i

i L n x x x

απ

-==-++-

∑

l n 32

i L n

d αα

==-

∑

得α的极大似然估计

（2）对矩估计

22E EX αα==?=

所以矩估计

2X α=是α的无偏估计.

八、（5分）一工人负责n 台同样机床的维修，这n 台机床自左到右排在一条直

线上，相邻两台机床的距离为a （米）。假设每台机床发生故障的概率均为 1

n ，且相互独立，若Z 表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求E Z .

解：设从左到右的顺序将机床编号为1,2,,n X 为已经修完的机器编号，Y 表示将要去修的机床号码，则 1

(),(),,1,2,,P X i P Y j i j n n n =====

21(,)()()P X i Y j P X i P Y j n ====== ||Z i j a =-

于是

1||(,)n n

i j EZ i j aP X i Y j ===-

==∑∑ 2111

||n n i j i j a n ===-

?∑∑

11()()n i n

i j j i a

i j j i n ===+??=-+-????∑

∑∑ 2(1).3n a n

《概率论与数理统计》试题（5）

一、判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“√”，错误打“×”）

⑴ 设A 、B 是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则A ∪B=A ∪AB ∪B ( ) ⑶ 若X 服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( ) ⑷ 样本均值X = n 1

∑

i i X 1是母体均值EX 的一致估计（）

⑸ X ～N(μ,21σ) , Y ～N(μ,22σ) ，则 X －Y ～N(0, 21σ－22σ) （）

二、计算（10分）

（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；

（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

三、（10分）设()0,()0P A P B >>，证明A 、B 互不相容与A 、B 相互独立不能同时成立.

四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩X （百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下

x 0 1 1.5 2 2.5 3

Ф(x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999

五、（15分）设(,)X Y 的概率密度为

(),0,0,(,)0,.x y e x Y f x y -+?≥≥?=???其他

问,X Y 是否独立？

六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为

1()(1)k P X k p p -==-，01,1,2,p k <<=

求E X 与D X

七、（15分）设总体X 服从指数分布

(),,(;)0,.x e x f x θθθ--?≥?=???其他

试利用样本12,,,n X X X ，求参数θ的极大似然估计.

八

《概率论与数理统计》试题（5）评分标准

一 ⑴ ×；⑵ √；⑶ ×；⑷ √；⑸ ×。

二解（1）设A =‘他们的生日都不相同’，则

365

()365

r r P P A =----------------------------------------------------------5分（2）设B =‘至少有两个人的生日在同一个月’，则

212223214121141241212441()1296C C P C C C P C P B +++=

=；或

124

41()1()112

P P B P B =-=-

-------------------------------------------10分

三证若A 、B 互不相容，则AB φ=，于是()0()()0P AB P A P B =≠> 所以 A 、B 不相互独立.-----------------------------------------------------------5分

若A 、B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，于是AB φ≠，

即A 、B 不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分

四解 967224

0.023(96)1

()1()

P X σσ

-=>=-Φ=-Φ-------------------------3分 24

()0.977,2,1.

∴

Φ==

=-------------------------------------7分所求概率为

8472

721212

(6084)()

(

)

()

P X σσσσ

--<<

=Φ

-Φ=Φ-Φ-----------12分 =2Ф（1）-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分

五解边际密度为 0

0,0,

()(,),0.

,0;

X x

x y

x x f x f x y dy e x e e dy x +∞+∞----∞

==??≥>????

?---5分 0,

(),

Y y

y f y e y -?---------------------------------------------------------10分因为 (,)()(X Y f x y f x f y =?，所以,X Y 独立.-----------------------------------15分

六解1 1

1(1)

()k k k

k k k k k x q

x q

EX k p p p kq

p x p x ∞

∞

∞--======'

??'

=== ?

∑∑∑∑--8分

其中 1q p =-

由函数的幂级数展开有

11k

k x

∞

-∑，

所以

111

1.1(1)x q

x q

EX p p x x p

=='??

=-==

??--?? --------------------------------12分因为

1()(1)k k

x q

k k x

EX k

p x x p x ∞

∞

-===='

????'=

==??

-??

∑∑2

2p p

-----16分

所以

21().p q D X EX EX p

-=-=

------------------------------------20分

七解 1

()

(,,;),

,1,2,,.n

i i i n

x n x n i i L X X e

x i n θ

θθθ=-

+--=∑=

=≥=∏

ln n

i i L n X θ==-∑-----------------------------------------------------------8分

ln 0d L n d θ

=≠

由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为 (1)

x θ=---------------------------15分

《概率论与数理统计》试题（6）

一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）

⑴ 设A 、B 是Ω中的随机事件，则Ａ－Ｂ?A （） ⑵ 对任意事件A 与B ，则有P(A ∪B)=P(A)+P(B) （） ⑶ 若X 服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq ( )

⑷ X~ N （μ，σ

），X 1 ，X 2 ，……X n 是X 的样本，则X ~ N （μ，σ

）（）

⑸X 为随机变量，则DX=Cov （X ，X ）----------------------------------------------（）

二、（10分）一袋中装有m 枚正品硬币，n 枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投

掷r 次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.

三、（15分）在平面上画出等距离(0)a a >的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()l l a <的针，求针与任一平行

线相交的概率.

四、（15分）从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

，

设X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.

五、（15分）设二维随机变量（X ，Y ）在圆域x 2+y 2≤a 2上服从均匀分布，（1）求X 和Y 的相关系数ρ；（2）问,X Y

是否独立？

六、（10分）若随机变量序列12,,,,n X X X 满足条件 21

l i m ()0

i n i D X n →∞==∑

试证明{}n X 服从大数定律.

七、（10分）设12,,,n X X X 是来自总体(,)F x θ的一个样本， 1(,,)n n

X X θ 是θ的一个估计量，若 2,n n n n E k D θθθσ=+=且2lim lim 0n n n n k σ→∞→∞

== 试证 n θ

是θ的相合（一致）估计量。

八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：x =26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（0.05α=）.正态分布表如下

x 0 1.56 1.96 2.33 3.1

Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999

《概率论与数理统计》试题（6）评分标准

一 ⑴ √；⑵ ×；⑶ ×；⑷ ×；⑸ √。

二解设A =‘任取一枚硬币掷r 次得r 个国徽’，

B =‘任取一枚硬币是正品’，

则

A B A B A =+，----------------------------------------------------------5分所求概率为

()(|)

(|)()(|)

()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+ 12212r r r m m m n m n m n m n m n

?? ?+??

==+???+ ?++??.------------------10分

三解设A =‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，

设x 为针的中点到最近的一条平行线的距离。 ?为针与平行线的夹角，则

0,02a

x ?π<<<<，不等式确定了平面上

的一个区域S .------------------------------------6分

A 发生sin 2L x ??≤，不等式确定S 的子域A ------------------------10分故 01

2()sin 22L L

P A d a

a π??ππ==?

-----------------------------------------------------15分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/um8q.html

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