2003年高考数学试题及答案(江苏卷)

2003年全国各地高考数学试题与解答

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．如果函数y ax2 bx a的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区 域（不包含边界）为

A． B． C． D．

D．－8

247

（ ）

2．抛物线y ax2的准线方程是y=2，则a的值为

A．

18

（ ）

2

B．－

,0),cosx

45

18

C．8

3．已知x (

A．

724

,则tan2x 724

（ ）

247

B．－ C． D．－

4．设函数

2 x 1,x 0,

f(x) 1若f(x0) 1,则

2 x 0. x,

x0的取值范围是

（ ）

A．（－1，1）

C．（－∞，－2）∪ （0，+∞） B．（－1，+∞）

D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

（ ）

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 OP OA

A．外心

x 1x 1

[0, ),则P的轨迹一定通过△ABC的

B．内心 C．重心 D．垂心

（ ）

6．函数y ln,x (1, )的反函数为

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A．y

e 1e 1e 1e 1

xxx

x

,x (0, ) B．y

e 1e 1e 1e 1

xxx

x

,x (0, )

C．y ,x ( ,0) D．y ,x ( ,0)

7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）

A．

a

3

3

B．

a

3

4

C．

a

3

6

D．

a

3

12

8．设a 0,f(x) ax2 bx c,曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范 围为[0,

41a

]，则P到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围为

D．[0,|

1438

b 12a

（ ）

|]

A．[0,] B．[0,

12a

] C．[0,|

b2a

|]

9．已知方程(x2 2x m)(x2 2x n) 0的四个根组成一个首项为 |m－n|=

A．1

B．

34

的等差数列，则

（ ）

C．

12

D．

10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，

MN中点的横坐标为

x

2

23

，则此双曲线的方程是 x

2

y

2

（ ）

x

2

A．

3

y

2

4

1 B．

4

y

2

3

1 C．

x

2

5

2

1 D．

2

y

2

5

1

11．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中

点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tanθ的取

值范围是 （ ）

A．(,1)

31

B．(,)

33

12

C．(,)

52

21

D．(,)

53

22

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．3π

B．4π

C． 33π

D．6π

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.

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13．(x2

12x

)展开式中x的系数是 .

9

9

14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的

产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆.

15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答） 16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD.

②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x) sin( x )( 0,0 )上R上的偶函数，其图象关于点M

(

3 4,0)对

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称，且在区间[0,

2

]上是单调函数，求 和ω的值.

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，

D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

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（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.

20．（本小题满分12分）

已知常数a 0，向量c (0,a),i (1,0).经过原点O以c i为方向向量的直线与经

过定点A（0，a）以i 2 c为方向向量的直线相交于点P，其中 R.试问：是否存在

两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由

.

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21．（本小题满分12分） 已知a 0,n为正整数.

（Ⅰ）设y (x a)n,证明y n(x a)n 1；

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（Ⅱ）设fn(x) xn (x a)n,对任意n a,证明fn 1 (n 1) (n 1)fn (n).

22．（本小题满分14分）

设a 0,如图，已知直线l:y ax及曲线C：y x，C上的点Q1的横坐标为a1 （0 a1 a）.从C上的点Q（作直线平行于x轴，交直线l于点Pn 1，再从点Pn 1nn≥1）

2

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作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列 an . （Ⅰ）试求an 1与an的关系，并求 an 的通项公式； （Ⅱ）当a 1,a1

12

n

时，证明 (ak ak 1)ak 2

k 1

n

132

；

（Ⅲ）当a=1时，证明 (ak ak 1)ak 2

k 1

13

.

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学 试 题（江苏卷）答案

2003年全国各地高考数学试题与解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．

212

14．6,30,10 15．120 16．①④

三、解答题

17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.

（Ⅰ）P(A) 0.90,P(B) P(C) 0.95， P(A) 0.10,P(B) P(C) 0.50. 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 P(A B C) P(A B C) P(A B C)

P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) 2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95 0.176

答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为

P(A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C)

0.90 0.052 2 0.10 0.05 0.95 0.10 0.052 0.012 解法二：三件产品都合格的概率为

P(A B C) P(A) P(B) P(C) 0.90 0.95

2

0.812

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

1 [P(A B C) 0.176] 1 (0.812 0.176) 0.012. 答：至少有两件不合的概率为0.012.

（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

解：由f(x)是偶函数,得f( x) f(x),

即sin( x ) sin( x ),所以 cos sin x cos sin x

对任意x都成立,且 0,所以得cos 0.

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依题设0 ,所以解得 由f(x)的图象关于点取x 0,得f( f(

3 4

3 4

2

.3 4

x) f(3 4

,

3 4 x),

M对称,得f(3 42

) sin(

2

) cos

,

) sin(

3 4

) cos3 4

3 4

cos

3 423

0,又 0,得

2

k ,k 1,2,3, ,

(2k 1),k 0,1,2, .

23

,f(x) sin(

23x

当k 0时,

2

)在[0,

2

]上是减函数;

当k 1时, 2,f(x) sin(2x 当k 0时,

103

2

)在[0,

2

]上是减函数;

,f(x) sin( x 23

或 2.

2

)在[0,

2

]上不是单调函数;

所以,综合得

19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空

间想象能力和推理运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC，

D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC 平面ABC, CDEF为矩形连结DE,G是 ADB的重心, G DF.在直角三角形EF

2

EFD中

FG FD

13

FD, EF 1, FD 1

32

63.

2

.

于是ED 2,EG

FC CD sin EBG

2, AB 22,A1B 2,EB EGEB

63 13

23.23

.

.

A1B与平面ABD所成的角是

arcsin

（Ⅱ）连结A1D，有VA1 AED VD AA1E

ED AB,ED EF,又EF AB F,

ED 平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h，

则S AED h S A1AB ED

又S A1AE

12

S A1AB

14

A1A AB

2,S AED

12

AE ED

62.

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h

2 62

2

263

.即A1到平面AED的距离为

263

.

解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)

A1(2a,0,2),E(a,a,1),G( CE (

2a2a1

,,).333

GE BD

23a

2

aa2

,,),BD (0, 2a,1).333

23, 41,).33

14/323

1373.

23

0.解得a 1.

BA1 (2, 2,2),BG ( cos A1BG

1 21

73

.

A1B与平面ABD所成角是arccos

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)

AE ED ( 1,1,1) ( 1, 1,0) 0,AA1 ED (0,0,2) ( 1, 1,0) 0, ED 平面AA1E,又ED 平面AED.

（Ⅰ）当a

2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； 2

（Ⅱ）当0 a

22

22

时，方程①表示椭圆，焦点E(

12

12

a,

2

a2

)和F(

12

12

2

a,

2

a2

)

（Ⅲ）当a 定点.

时,方程①也表示椭圆，焦点E(0,(a

2

1

a

2

12

))和F(0,

12

(a a

12

))为合乎题意的两个

（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.

n

证明：（Ⅰ）因为(x a)

n

C

k 0

k

n

( a)

n k

x，

k

n

n

kn

所以y

kC

k 0

( a)

n k

x

k 1

nC

k 0

k 1n 1

( a)

n k

x

k 1

n(x a)

n 1

.

（Ⅱ）对函数fn(x) x

n

(x a)求导数:

n

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fn(x) nx

n 1

n(x a)

n 1

,

n 1n 1

所以fn(n) n[n (n a)].

当x a 0时,fn(x) 0.

当x a时,fn(x) x (x a)是关于x的增函数.因此,当n a时,(n 1) (n 1 a)

n

n

n

n

n

n

n (n a)

nnnn

∴fn 1(n 1) (n 1)[(n 1) (n 1 a)] (n 1)(n (n a))

(n 1)(n n(n a)

n

n 1

) (n 1)fn(n).

即对任意n a,fn 1(n 1) (n 1)fn(n).

22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，

满分14分.

（Ⅰ）解：∵Qn(an 1,an),Pn 1(

∴an 1

2

1a

an,an),Qn 1(

2

22

1a

an,

2

1a1

2

an).

4

1a

an, ∴an

2

1a

an 1

211221 22

( an 2) ()an 2 aaa

211 2111 2 2223

22

()( an 3) ()an 2

aaa

n 2n 1n 1an 1an 111n 1

()1 2 2a12 ()2 1a12 a(1)2， ∴an a(1)2.

aaaa

（Ⅱ）证明：由a=1知an 1 an, ∵a1

∵当k 1时,ak 2 a3

n

1

∴ (a a)a kk 1k 2

16k 1

2

12

, ∴a2 1,a3 1.

4

16

116

n

.

ak 1)

116

(a1 an 1)

2

n 1

(a

k 1

132

k

.

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，an a1

n

n

k 1

k

,

2 1

n

因此 (ak ak 1)ak 2

k 1

(a

k 1

2

1

a

21

)a

21

k 1

i 1

(a1 a1)a1

ii 12i 2

2 1

n

(1 a1)a

21

a

i 1

3i1

(1 a1)a

21

a1

331

=

a1

5

21

1 a

1 a1 a

1 .3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ulu1.html