【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习练习：4.6 二倍角的三角函数]

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4.6 二倍角的三角函数

一、填空题

5 π

1．已知α∈ ，π ，sin α＝，则tan 2α＝____.

5 2

5251 π

解析 由α∈ ，π ，sin α＝，得cos α＝－，tan α＝－，

552 2 所以tan 2α＝4

答案 －3

2．计算1－2sin222.5°的值为________． 2

解析 原式＝cos 45°＝2答案

22

2tan α4

2

1－tanα3

π

sin α＋4 5

3． 已知α是第一象限的角，且cos α＝，则________．

13cos(2α＋4π)解析 ∵α是第一象限的角，cos α＝

512，∴sin α＝. 1313

π 22

α＋cos α)(sin α＋cos α)sin α＋4 22

∴ cos(2α＋4π)cos 2αcos2α－sin2α22

2213 2

＝cos α－sin α51214

1313答案 －

13 2

14

4．函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的最大值与最小值的和为________．

1 231

解析 f(x)＝1－2sinx＋2sin x＝－2 sin x－＋，所以当sin x＝时，f(x)max

2 22

2

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33＝sin x＝－1时，f(x)min＝－3.所以f(x)max＋f(x)min＝－223答案 －25．已知sin α＝

5

，则sin4α－cos4α的值为________． 5

23

解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.

553

答案 －5

6．若函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是偶函数，则cos 2α＝________. 解析 ∵f(x)＝(cos α－2sin α)sin x＋(sin α－2cos α)cos x， 故cos α－2sin α＝0，cos α＝2sin α，

13

∴cos2α＋sin2α＝5sin2α＝1，即sin2α＝，cos 2α＝1－2sin2α＝553

答案 5

7．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos 2α＝________. 解析 由sin2α＝4sin2β，tan2α＝9tan2β相除，得9cos2α＝4cos2β， 所以sin2 α＋9cos2α＝4sin2β＋4cos2β＝4， 31

所以cos2α＝cos 2α＝2cos2－1＝－.

841

答案 －4

8． 若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝______. 解析 ∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， ∴1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， 即tan α＋tan β3(1－tan αtan β)． ∴tan(α＋β)＝

tan α＋tan β3(1－tan αtan β)

3.

1－tan αtan β1－tan αtan β

π

又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝3

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答案

π3

π

9．函数y＝sin x3cos x，x∈ ，π 的值域是________．

6 π π

解析 ∵y＝sin x＋3cos x＝2sin x＋.又∵x≤π，

3 6

π ππ4π3

∴x＋结合正弦函数的图象与性质得：－ x＋≤1.

3 2332 π

∴－3≤2sin x＋≤2.

3 答案 [－3，2]

10．函数y3sin xcos x－sin2x的最小正周期为________，最大值为________． π 131－cos 2x311

解析 y＝x－sin 2x＋cos 2x－＝sin 2x＋ －.

6 222222 11

所以T＝π，f(x)max＝1－221

答案 π 2

11．函数f(x)＝1－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的值域为________． 解析 f(x)＝1－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x) ＝1－2sin 2x＋4cos2xsin2x＝1－2sin 2x＋sin22x

＝(1－sin 2x)2因为sin 2x∈[－1,1]，所以f(x)∈[0,4]． 答案 [0,4]

1－cos 2α1

12．已知1，tan(β－α)＝－tan(β－2α)等于________．

sin αcos α31－cos 2α2sin2α

解析 由1得＝1，

sin αcos αsin αcos α1

∴tan α＝tan(β－2α)＝tan(β－α－α)

2

11－－32β－α－tan α

1.

β－αα 1 1

1＋ －× 3 2

＝

1＋

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答案 －1

13．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠

AOB的平分线上，且|→OC|10，则点C的坐标是________． 解析 如图，α＋2β＝90°， 43sin α＝cos α＝

554

所以sin(90°－2β)＝.

5

442

即cos 2β＝，从而2cosβ－1＝，

55cos β＝

31sin β＝. 1010

α＋β

α＋β

＝

cos β

＝3. sin β

所以tan(α＋β)＝

所以直线OC的方程为y＝3x，于是由＝－1，y＝－3，C(－1，－3)． 答案 (－1，－3) 二、解答题

x

2

＋x2＝10x2＝10，且x＜0，得x

14. 利用三角公式化简：sin50 (1 3tan10 )．

12(cos10 sin10 )

3sin10) sin50 解析 原式 sin50 (1 cos10cos10

sin30 cos10 cos30 sin10 2sin50 sin40

2sin50

cos10cos10

2cos40 sin40 sin80

1．

cos10cos10

12sin x

15． 已知sin x＋cos x＝－x<180°)．求

5cos x－sin x－cos 3x＋sin 3x

的值．

111

解析 ∵sin x＋cos x＝－2sin xcos x＝即1＋sin 2x＝，

52525∴sin 2x

＝－

24

25

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又∵270°<2x<360°，∴cos 2x＝

725

2sin x

∴原式＝cos(2x－x)－sin(2x－x)－cos(2x＋x)＋sin(2x＋x)＝

2sin x125

2sin 2x·sin x＋2cos 2x·sin xsin 2x＋cos 2x17

π π

16．设a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2 －x 满足f －＝f(0)，求

2 3 π11π

上的最大值和最小值． 函数f(x)在 ，

24 4

a π

解析 f(x)＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x，由f －＝f(0)，

2 3 得－

3a1

1，解得a＝23. 222

π

因此f(x)3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－ .

6 π ππ ππ

当x∈ ，时，2x－∈ ，，f(x)为增函数．

3 2 6 3 4π π3π π11π

时，2x－∈ ，，f(x)为减函数． 当x∈ ，

24 4 6 2 3 π π 11π

2， 故f(x)max＝f ＝2，又因为f ＝3，f

3 4 24 11π

＝2. 所以f(x)min＝f

24

17．已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(2sin B,2－cos 2B)， πB

n＝ 2sin2 ＋ ，－1 ，且m⊥n.

4

2

(1)求角B的大小；

(2)求sin A＋cos C的取值范围．

πB

解析 (1)因为m⊥n，所以m·n＝2sin B·2sin －2＋cos 2B＝0，

42

2

1 πB

＋ 即2sinB·1－cos 2－2＋cos 2B＝0，所以sin B＝，又0＜B＜π，

2 42

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所以B＝

π5π或. 66

π 5π

－A ＝sin A 时，sin A＋cos C＝sin A＋cos

6 6

(2)当B＝－

π 3133

A＋A＝A－cos A3sin A－ .

6 2222

5π3

由于0＜A＜，所以sin A＋cos C∈ －3 .

6 2 当B＝

33 5π

时，同理可得sin A＋cos C∈ . 6 22

18．已知向量a＝(1－tan x,1)，b＝(1＋sin 2x＋cos 2x,0)，记函数f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的解析式，并指出它的定义域； π π 2 α＋0， ＝，且α∈ ，求f(α)． (2)若f

8 52 解析 (1)f(x)＝a·b＝(1－tan x)(1＋sin 2x＋cos 2x) ＝

cos x－sin x

2x＋2sin xcos x)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.

cos x

π

＋，k∈Z . 2

定义域为 x|x≠kπ

π π 2

(2)因为f α＋ ＝2cos 2α＋＝，

8 4 5 π 2π π5π

所以cos 2α＋ ＝，且2α＋ ，

4 104 4 4 π 2

所以sin 2α＋ ＝.

4 10

π π

所以f(α)＝2cos 2α＝2cos 2α＋ －

4 4 π π ππ8

＝2cos 2α＋cos2sin 2α＋sin ＝.

4 4 445

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