圈量子引力和空间分立性

第30卷　第3期河南师范大学学报(自然科学版)V ol.30　N o.3　2002年8月J our nal of H enan N ormal U niv er sity(N atur al S cience)A ug.2002　　　文章编号:1000-2367(2002)03-0039-05

圈量子引力和空间分立性

薛晓舟

(河南师范大学物理与信息工程学院,河南新乡,453002)

摘　要:首先简述圈量子引力理论进展,继而讨论圈量子引力的主要成果.最后对所给出的面积和体积断续性的量子化表式作出本体诠释.

关键词:圈量子引力;面积量子化表式;体积量子化表式;本体诠释

中图分类号:O412.2　　　　　　　　　　　文献标识码:A

当代基础物理学中的根本性挑战,莫过于量子力学和广义相对论相互结合的问题[1].由于广义相对论实质上是经典的相对论性引力场理论,人们便把量子力学和广义相对论相谐和的单一理论,称为量子引力理论,简称量子引力.圈(Loo p)量子引力是近年来量子引力研究中相当活跃的一种,它和超弦/M理论构成了现今量子引力的两个主要理论.

本文分三个部分.首先简述圈量子引力研究进展,其次讨论圈量子引力的主要物理成果.最后对其所给出的面积和体积断续性的量子化表述,作些本体性思考.

1　圈量子引力研究进展[2]

1987年12月在印度举行的《引力及宇宙学国际会议》(International Conference On Gravitation and Cosm olog y)上,C.Rovelli和L.Sm olin提出了题为“基于圈变量上量子引力的一种新探讨”(A new approach to quautum gravity based on loo p variable)的论文[3],标志着圈量子引力的诞生.至今十数年来,圈量子引力或量子几何已发展成为具有稳固数学基础、很好定义、背景无关、和物质有常规耦合的理论[4],其中包括给出了Planck标度的量子几何绘景、计算技术和研究黑洞热力学经典问题的一种方法.当然还存在一些问题有待解决,例如与经典广义相对论的一致性、量子自旋动力学等.

1)二十世纪80年代

1982年,印度物理学家A.Sen在Phys.Rev.和Phys.Lett.上相继发表两篇文章,把广义相对论引力场方程表述成简单而精致的形式,这在理论物理学家中曾引起不小的轰动.他们把这样简单得多的表述,应用到量子引力研究中,但在当时并没有取得有价值的成果.

1986年,A.Ashtekar研究了Sen提出的方程,认为该方程已经表述Einstein广义相对论的核心内容.一年后,他给出了广义相对论新的流行形式,从而使理论的数学表述,接近于量子色动力学的数学语言.对于在Planck标度的空间时间几何量,可以进行具体计算,并作出精确的数量预言.后来人们把Ashtekar给出的这种表述,称为Sen-Ashtekar表述,这种表述已是此后正则量子引力进一步发展的关键.同年,T. Jacobson和L.Smo lin求出Wilso n圈解.在引进经典Ashtekar变量后,他们在圈为光滑且非自相交情形下,求出了正则量子引力的WDW方程解.此后,他们又找到了即使在圈相交情况下的更多解.

1987年,由于Hamiltonian约束的Wilson圈解的发现,Rev olli和Sm olin引进观测量的经典Possion代

收稿日期:2002-03-15.

作者简介:薛晓舟(1929～),男,河南修武人,河南师范大学教授.

40河南师范大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　　　2002年

数的圈表示,并使微分同胚约束用纽结态完全解出.

1988年,V.Husain等人用纽结理论(Knot theory),研究了量子约束方程的精确解及诸解间的关系,从而纽结理论支配了引力场的物理量子态.同年,E.Witten引进拓扑量子场论(T QFT)概念.

2)二十世纪90年代

1990年,Rovelli和Smolin在Nucl.Phys.上发表论文,题目为“用量子线编织经典几何”(Weaving a classical g eo metry w ith quantum thr eads)[5].其中指出,对于在大尺度几何近似变为平直时态的研究,可以预言Planck标度空间具有几何断续性.表示编织的这些态,在微观很小尺度上具有“聚合物”的类似结构,可以看作为W heeler时空泡沫的形式化.

1993年,J.Iwasaki和Ro velli探讨了量子引力中引力子的表示,引力子显示为时空编织纤维的拓扑修正.

1994年,Rovelli和Sm olin第一次具体计算了面积算子和体积算子的本征值,得出它们的本征值为断续的重大结论[6].此后不久,物理学者曾用多种不同方法证明和推广这个结论,指出在Planck标度,空间面积和体积的本征谱,确实具有分立性.

1995年,Rov elli和Smo lin利用自旋网络基,解决了关于用圈基所长期存在的不完备性困难[7].此后不久,自旋网络形式体系,便由J.Baez彻底阐明.

1996年,Rovelli应用K.Krasno r的概念,从圈量子引力基本上导出了黑洞熵的Bekenstein-Haw king公式.

1997年,M.Breisenberg er和Rovelli由正则理论导出“按历史求和”的量子引力的时空表述.

1998年,Smo lin研究圈和弦间的相似性,开始探讨圈量子引力和弦论的统一性问题.

1999年,K.Bousso提出量子引力中全息原理的新的不同表述,使得全息原理可能是统一圈子引力和超弦/M理论的一个共同假设.

2　圈量子引力主要物理成果

1)Ham ilto nian约束的精确解[8]

圈量子引力的惊人结果之一,是可以求出Hamiltonian约束的精确解.其关键在于Hamiltonian约束的作用量,只是在S纽结的结点处等于零.所以不具有结点的S纽结,才是量子Einstein动力学求出的物理态.但是这些解的物理诠释,至今还是模糊不清的.

其它的各种解也已求得,特别是联系网络表示的陈-Simons项和圈表示中的Jo nes多项式的解,J.Pullin 已经详细研究过.E.Witten用圈变换把这两种解联系起来.

2)时间演化问题

人们试图通过求解Ham ilto nian约束,获得在概念上是很好定义的,并排除冻结时间形式来描述量子引力场的时间演化.一种选择是研究和某些物质变量相耦合的引力自由度的随时间演化,这种探讨会导致物理Hamiltonian的试探性定义的建立,并在强耦合微扰展开中,对S纽结态间的跃迁振幅逐级进行考查.

3)杨-M ills理论的重正化问题

T.Thiemann把含有费米子的圈量子引力,探索性地推广到杨-Mills约束中,杨-M ills项可以严格形式给出定义.在这个探索中,紫外发散看来不再出现,从而强烈支持在量子引力中引进自然切割,即可摆脱传统量子场论的紫外发散困难.

4)面积和体积量度的断续性

圈量子引力最著名的物理成果,是给出了在Planck标度的空间几何量具有分立性的论断.这个结论表明对应于测量的几何量算子,特别是面积算子和体积算子具有分立的本征值谱.根据量子力学,这意味着理论所预言的面积和体积的物理测量,必定产生量子化的结果.由于它们最小的本征值数量级是Planck标度,这说明没有任何途径可以观测到比Planck标度更小的面积(～10-66cm2)和体积(～10-99cm3).由此可见,空间由类似于谐振子振动能量的量子所构成,其几何量本征谱具有复杂结构.

5)推导黑洞熵-面积公式

已知Schw arzchild黑洞的熵S和面积A的关系,是由Bekenstein和Haw king所给出,其公式为

S =k 4 G N A (1)

这里k 是Boltzman 常量, 是Planck 常量,G N 为牛顿引力常量,光速取为1.对这个关系式的深层理解和由物理本质上加以推导,则需要量子引力理论.

应用圈量子引力理论,通过统计力学加以计算,Kr asnov 和Rov elli [9]导出

S =c k 4 G N A (2)

此处 为任意常数,c 是实数(～14 ).显然,如果取 =c,则由式(2)即可得出式(1).这就是说,从圈量子引力

所得出的黑洞熵-面积关系式,在相差一个数值因子上和Bekenstein-Haw king 熵-面积公式是相容的.

Bekenstein-Haw king 熵公式的推导,是圈量子引力理论的一个重大成功,尽管这个事实的精确含义目前还在讨论,而且 的意义也还不够清楚.

6)经典极限问题

S 纽结态并不表示在平直空间量子引力场的激发态,它勿宁是

g !=0(3)

情形下的解.自然引起的问题就是平直空间如何从理论中产生出来?

注意到在广义相对论内容中,从M inkow ski 解不具有传统场理论真空态的所有性质.在引力物理学中,没有和传统真空态实际上是等价的东西,特别是空间为紧致情形.因此人们期待平直空间可表示为某种更高的激发态.

Ashtekar 、Ro velli 和Sm olin 等人曾研究过,当探查低能量(大距离)时描述平直空间的态.在Planck 标度,空间具有断续的小尺度结构.

3　空间断续性的本体论思考

本节中我们将对圈量子引力所得出的空间断续性这个重大成果,进行本体意义的反思.为此,首先简要给出在Planck 标度圈量子引力定量研究空间量子化的一些具体结果.

1)面积和体积量子化[10]

首先讨论面积断续性.考虑表面∑的面积A ,物理面积A 依赖于引力场度规,在量子引力场中,观测量A 用算子A 　^表示.对于非微扰量子引力的算子A 　^可以如下步骤得到:写出表面面积的标准形式,用圈变量的适当函数去代换度规,把这些圈变量作为算子,就得到面积算子A 　^的具体形式.把这样的算子A 　^作用在自旋网络态 S >上,为简单起见,这里S 是在∑上没有结点的自旋网络.于是可得:

A 　^[∑]S 〉=l 202∑i ∈(S ∩∑)p i (p i +2) S 〉(4)

这里i 标志自旋网络S 和表面∑的相交指标,p i 是横穿第i 个相交的自旋网络S 的连接(link )的颜色.这个结果指出:和面积相交有限个点,且面积上没有结点的自旋网络态是面积算子的本征态.对应的面积本征谱由n 重数p →=(p 1,p 2,…,p n )所标志.于是有

A p →[∑]=l 202∑i p i (p i +2)(

5)

从颜色变换到自旋符号,引进p i =2j i ,则得

A j →[∑]=l 20∑i j i (j i +1)(

6)

这就是面积断续性的量子化表示式.此中l 0是基本长度,它被定义为l 20=16 l 2p ,l p 是Planck 长度.

其次讨论体积断续性,我们可类比得出体积的量子化结果.为简单起见,限于讨论自旋网络S 具有非退化四价结点,用指标i 标志,并令a i ,b i ,c i ,d i 是个结点相邻连接的颜色.体积算子V 　^作用于 S 〉的方程为41

第3期　　　　　　　　　　　　　　　薛晓舟:圈量子引力和空间分立性

V　^ S〉=l30

2

∑

i

iW(i)(a i,b i,c i,d i) S〉(7)

这里W(i)是算子,它作用在有限维缠结空间的第i个结点上.把W(i)矩阵元对角化,即可得到体积的本征值V i,例如在简单情形a=b,c=d=1,具体计算可得

V a=l30

2

a(a+2)(8)

如取d=a+b+c,则有

V a,b,c=l30

2abc(a+b+c)(

9)

2)圈量子引力理论中空间分立性的本体诠释

引力场的量子理论称为量子引力.当代量子引力研究的两个主要理论是超弦/M理论和圈量子引力.当然还有在其它方向进行探索的,例如欧几里得量子引力、非对易几何、零表面理论、自旋泡模型等.

在超弦/M理论中,引力是brane(1维弦、2维膜、基它维广延体)的一种激发,弦的长度认为是Planck 长度.超弦/M理论的主要功绩是它为人们提供了已知四种基本作用(包含引力)的统一绘景.其物理具体成果是计算了某些高能散射振幅和应用D-branes推导出Bekenstein-Haw king黑洞熵公式.超弦/M理论中关于在Planck尺度的空间量子化的结果及其意义分析,作者已有专文涉及[11].在这个意义上说,本文是该文的一个继续.

圈量子引力理论的主要功绩,是它对引力提供了一个很好定义、数学严格、背景无关、非微扰的一般量子场理论.圈量子引力为我们世界在Planck标度给出了一个物理绘景和定量预言.最突出的物理成果则是导出了在Planck标度面积和体积这些几何量的断续本征值谱.此外还推导了Bekenstein-Haw king黑洞熵公式(但只精确到数值因子)、为解决紫外发散困难提供了一个自然切割等.

圈量子引力所给出的在Planck标度领域空间量子化,即面积和体积观测量的本征值谱具有分立性的论断,是人们在20世纪末期对我们世界空间基本结构认识的重大突破及变革,同时也是在相对论和量子力学之后基础物理学中空间时间观念革命的继续,而这个时空观念革命继续的核心内容,就是空间时间量度的断续性(分立性或量子性).

根据圈量子引力给出的在Planck标度,空间的分立性及理论的背景无关性(时空背景就是引力场本身)的结论,我们自然得到在微观尺度上空间实质上就是真实具有断续性的命题,而且这种断续性的量子结构是原始的,第一性的,而传统的空间连续性观念只是这种断续性的粗粒近似,从而是派生的、第二性的观念.由于在Planck标度时空背景就是引力场自身的,引力场是物质的一种形态,从而物质在微观结构上也应具有断续性,这种断续性同样是原始的、第一性的,也就是说物质存在着不可再分的基本组分.从而传统的物质结构的点性和连续性观念,同样是一种粗粒近似,是派生的、第二性的观念.这些论断恰是说明辩证唯物论哲学关于空间时间是物质存在的客观形式,没有无物质的空间和时间,也没有无空间和时间的物质学说的正确性.

参　考　文　献

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3　C R ovelli,L.Smolin.A new appr oach to quantum qrav ity based on loo p var iables[A].Inter.connfer.o n g r avit atio n and co sm olog y[C].G eo,Dec.14～19,I ndia.1987

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ed.T.I.Cao,Combridg e U niv ersit y Pr ess.Dec.1998

5　A Ashtekar,C R ov elli,L Smolin.W eaving a classica l g eomet ry with quantum thr eads[J].P hys.R ev.L ett.1992,69:237～240

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8　K Ezawa.N onpertur bativ e so lutions for cano nical quantum gr avity[EB/OL].g r-qc/9601050,29.Sept.1997

42河南师范大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　　　2002年

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9703090,31M ar ch 1997

11　薛晓舟.论21世纪空间时间观念的量子革命[J ].河南师范大学学报(自),2001,(1):37～40

Loop Quantum Gravity and Discreteness of Space

XU E Xiao -zho u

(College of Phys ics &Information En gineering,Henan Norm al Un ivers ity,Henan Xinxiang,453002,Chin a)

Abstract :T hro ug h the br ief histo ry and pr incipa l achiev ements of loo p quantum gr av ity ,especially the discr ete for mula s o f ar ea and v olume,this paper comes t o the co nclusion that the space is quantized,ther efor e matt er has elementar y unit at P lanck scale.

Key words :lo op quantum gr av ity ;quantized for mula o f ar ea;quantized for mula of vo lume ;onto lo gica l inter preta tio n 上接第17页

参　考　文　献

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The Generalization of the Theory About the Stability Theory of Difference Equation System

XU R un 1,REN A n -zho ng 2

(1.Department of M ath ematics ,Qufu Normal University,Shandong Qufu,273165,Chin a;

2.S anm enxia Vocational and T echnica College,Henan Sanmenxia,472000,C hina)

Abstract :T his paper has impr oved some conditions a bo ut Liapuno v function V (?,x ),g eneralized so me theor ies about the stability of the solutio n x =0of equat ion g ro up:

x (?+1)=f (?,x (?)),f (?,0)=0

Key words :stable;unifor mly stable;globally asympto tically stable 43

第3期　　　　　　　　　　　　　　　薛晓舟:圈量子引力和空间分立性

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