2015-2016学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2

1．（5分）集合A={x|lnx≥0}，B={x|x＜16}，则A∩B=（ ） A．（1，4） B．[1，4） C．[1，+∞） D．[e，4）

0.9

2．（5分）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系是C（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b 3．（5分）已知a＞1，A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0

，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（ ） C．﹣2＜x＜0

D．﹣2＜x＜1

4．（5分）已知函数

2

2

，则f（f（f（﹣1）））的值等于（ ）

A．π﹣1 B．π+1 C．π D．0

与x轴所围图形的面积为（ ）

5．（5分）曲线A．4

B．2

C．1

D．3

6．（5分）函数y=sin（2x﹣）的图象与函数y=cos（x﹣）的图象（ ）

A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 7．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）

A．f（x）=

﹣x

3

B．f（x）=+x C．f（x）=

3

﹣x D．f（x）=

3

+x

3

8．（5分）设f （x）是奇函数，对任意的实数x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f （x）＜0，则f （x）在区间[a，b]上（ ）

A．有最大值f（a） B．有最小值f（a） C．有最大值

D．有最小值

9．（5分）已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（ ） A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈Z C．[6k，6k+3]，k∈Z D．[6kπ﹣3，6kπ]，k∈Z

1页

10．（5分）若不等式lg≥（x﹣1）lg3对任意x∈（﹣∞，1）恒成立，则a的取值范围

是（ ） A．（﹣∞，0] B．[1，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，1] 11．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则

xx

不等式ef（x）＞e+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．（2014，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（0，+∞） 12．（5分）设函数f（x）=

sin

，若存在f（x）的极值点x0满足x0+[f（x0）]＜m，则m的取值

2

2

2

范围是（ ） A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）若非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量与+的夹角为 ． 14．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数

2

，

则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是： ． ①fp[f（0）]=f[fp（0）]； ②fp[f（1）]=f[fp（1）]； ③fp[fp（2）]=f[f（2）]； ④fp[fp（3）]=f[f（3）]．

15．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是 ． 16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

22

17．（10分）已知a∈R，命题p：“?x∈[1，2]，x﹣a≥0”，命题q：“?x∈R，x+2ax+2﹣a=0”． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+sin（B﹣A）=sin2A，A≠

．

2

（Ⅰ）求角A的取值范围； （Ⅱ）若a=1，△ABC的面积S=

x

，C为钝角，求角A的大小．

19．（12分）已知函数f（x）=e+ax﹣1（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

2

（Ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．

20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）的最大值为﹣4． （Ⅰ）求实数a的值；

2页

，

（Ⅱ）设b≠0，函数

，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），

使f（x1）﹣g（x2）=0，求实数b的取值范围． 21．（12分）已知函数f（x）=x+

3

+ax+b，g（x）=x+

3

+lnx+b，（a，b为常数）．

（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；

（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．

22．（12分）已知函数

，

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；

（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围； （Ⅲ）证明：

（n∈N+，n≥2）．

3页

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2

1．（5分）（2014?重庆三模）集合A={x|lnx≥0}，B={x|x＜16}，则A∩B=（ ） A．（1，4） B．[1，4） C．[1，+∞） D．[e，4）

【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由A中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即A=[1，+∞）； 由B中的不等式解得：﹣4＜x＜4，即B=（﹣4，4）， 则A∩B=[1，4）． 故选：B．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2015?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系是C（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．

0.9

【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1， ∴b＜a＜c． 故选：C．

【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．

3．（5分）（2015?南昌校级二模）已知a＞1，

，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是

0.9

（ ）

A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣2＜x＜0 D．﹣2＜x＜1

【分析】求出不等式的解集即不等式成立的充要条件；据当集合A?集合B且B?A时，A是B的充分不必要条件．

【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是

∵a＞1

2

∴x+2x＜0 ∴﹣2＜x＜0

∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是﹣1＜x＜0 故选项为B

【点评】本题考查不等式的解集是不等式的充要条件；据集合之间的关系判断条件关系．

4．（5分）（2015春?玉溪校级期末）已知函数

2

2

，则f（f（f（﹣1）））的值等于（ ）

A．π﹣1 B．π+1 C．π D．0

【分析】根据分段函数的定义域，求出f（﹣1）的值，再根据分段函数的定义域进行代入求解；

4页

【解答】解：函数

2

，

f（﹣1）=π+1＞0， ∴f（f（﹣1））=0， 可得f（0）=π， ∴f（f（f（﹣1）））=π， 故选C；

【点评】此题主要考查函数值的求解，是一道基础题；

5．（5分）（2016春?进贤县校级月考）曲线A．4

B．2

C．1

D．3

上的积分可求出答案． 上的积分，

与x轴所围图形的面积为（ ）

【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤

即S==3=3=3，

故选：D．

【点评】本题主要考查余弦函数的图象和用定积分求面积的问题．属基础题

6．（5分）（2015?开封模拟）函数y=sin（2x﹣

）的图象与函数y=cos（x﹣

）的图象（ ）

A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴

【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解． 【解答】解：由2x﹣Z． 由x﹣

=kπ，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣

）的对称轴为：x=kπ

，k∈Z．

=k

，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣

）的对称轴为：x=

+

，k∈

k=0时，二者有相同的对称轴． 由2x﹣由x﹣

=kπ，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣=k

）的对称中心为：（

）的对称中心为：（kπ+

，0），k∈Z． ，0），k∈Z．

，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣

故2函数没有相同的对称中心．

故选：A．

【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 7．（5分）（2015?厦门模拟）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）

5页

（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．

22

【解答】解：（1）∵命题p：“?x∈[1，2]，x﹣a≥0”，令f（x）=x﹣a， 根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可， 也就是1﹣a≥0，解得a≤1，

∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；

（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，

2

命题q为真命题时，△=4a﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1． ∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题， ∴命题p与命题q必然一真一假， 当命题p为真，命题q为假时，

，

2

当命题p为假，命题q为真时，，

综上：a＞1或﹣2＜a＜1．

【点评】本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 18．（12分）（2015?余姚市三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+sin（B﹣A）=

sin2A，A≠

．

（Ⅰ）求角A的取值范围； （Ⅱ）若a=1，△ABC的面积S=

，C为钝角，求角A的大小．

sinAcosA，由cosA≠0，根据正弦定理，得b=

，

【分析】（Ⅰ）化简已知等式可得：2sinBcosA=2又0＜sinB≤1，可得0＜sinA（Ⅱ）由（Ⅰ）及a=1得b，又S=理可求sinA=

，从而得解．

从而得解．

，结合C为钝角，可求C，由余弦定理可求得c的值，由正弦定

【解答】解：（Ⅰ）由sinC+sin（B﹣A）=sin2A，得sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinAcosA， 即：2sinBcosA=2sinAcosA，因为cosA≠0，sinB=sinA． …（3分） 由正弦定理，得b=，故A必为锐角． …（4分） 又0＜sinB≤1，0＜sinA因此角A的取值范围为（0，（Ⅱ）由（Ⅰ）及a=1得b=从而sinC=

2

． …（6分） ]…（8分） ．又因为S=

，所以

．

．因为C为钝角，故C=． …（11分） =1+2﹣2×

11页

由余弦定理，得c=1+2﹣2×

=2+．

故有：c=． …（13分）

由正弦定理，得sinA===．

因此A=． …（15分）

【点评】本题主要考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式等知识的应用，属于基本知识的考查．

19．（12分）（2015?呼伦贝尔一模）已知函数f（x）=e+ax﹣1（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（Ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．

x

【分析】（I）当a=1时，f（x）=e+x﹣1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得；

（II）将f（x）≥x在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为

22

x

在（0，1 ）上恒成立，

再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．

xx

【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=e+x﹣1，f（1）=e，f'（x）=e+1，f'（1）=e+1， 函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x﹣1， 设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B， ∴A∴

，B（0，﹣1），

，

．

∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为

（II）由f（x）≥x得

2

，

令h（x）=

x

，

x

，

令k（x）=x+1﹣e…（6分）k'（x）=1﹣e，

∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，

∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0． 因为x﹣1＜0，x＞0，所以

2

，

∴h（x）在（0，1）上是增函数．

所以h（x）＜h（1）=2﹣e，所以a≥2﹣e…（12分）

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，解决函数恒成立问题常常利用参变量分离法求出参数范围，属于中档题．

12页

20．（12分）（2015?淮安模拟）已知函数（fx）满足2f（x+2）﹣（fx）=0，当x∈（0，2）时，（fx）=lnx+ax当x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）的最大值为﹣4． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）设b≠0，函数

，

，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），

使f（x1）﹣g（x2）=0，求实数b的取值范围．

【分析】（I）先求出函数在（﹣4，﹣2）上的解析式，利用函数的导数求出函数的最大值（用a表示），令其等于﹣4，从而求出a； （II）由任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）﹣g（x2）=0，函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，即转化为求两个函数的值域，用函数的导数法即可解决． 【解答】解：（I）由已知，得2f（x+2）=f（x）， ∴f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）（4分） ∵x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax， 设x∈（﹣4，﹣2），则x+4∈（0，2）， ∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），

∴x∈（﹣4，﹣2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）， 所以

∵x∈（﹣4，﹣2）， ∴﹣4ax＜4+16a， ∵∴又由∴f（x）在∴

，可得

，

上是增函数，在

．

上是减函数，

，

．

，

∴a=﹣1（7分）

（II）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B， 则由已知，对于任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）﹣g（x2）=0得，A?B．（9分） 由（I）a=﹣1，当x∈（1，2）时，f（x）=lnx﹣x，∵x∈（1，2），

∴f′（x）＜0，f（x）在x∈（1，2）上单调递减函数， ∴f（x）的值域为A=（ln2﹣2，﹣1）（10分）

2

∵g'（x）=bx﹣b=b（x﹣1）（x+1），

∴（1）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数， 此时，g（x）的值域为为满足A?B，又

．

，

，

13页

∴．即．（11分）

（2）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数， 此时，g（x）的值域为又，∴∴

综上可知b的取值范围是

，

，

（12分）

，为满足A?B，

【点评】本题考查函数的导数在研究函数的最值中的应用，考查子集概念的理解，解题的关键是分类讨论

思想与转化思想，化“生”为“熟”是解题之“良方”．

21．（12分）（2015?东城区二模）已知函数f（x）=x+

3

+ax+b，g（x）=x+

3

+lnx+b，（a，b为常数）．

（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值； （Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求b的值；

（Ⅱ）求出方程f（x）﹣x=xf′（x）的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；

（Ⅲ）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系进行求解即可， 【解答】解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx﹣5， 因为

所以k=11，故切线方程为y=11x﹣5． 当x=1时，y=6，将（1，6）代入得

． …（3分）

2

，

，

（Ⅱ）f'（x）=3x+5x+a， 由题意得方程即方程令

所以h（x）在区间又

故实数b的取值范围是

，

． …（8分）

有唯一解．

，则h'（x）=6x+5x+1=（2x+1）（3x+1），

上是增函数，在区间

上是减函数．

2

有唯一解，

14页

（Ⅲ）F（x）=ax﹣x﹣lnx， 所以

．

2

因为F（x）存在极值，所以

2

2

在（0，+∞）上有根，

即方程2x﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a﹣8≥0． 显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意； 所以方程必有两个不等正根．

2

记方程2x﹣ax+1=0的两根为x1，x2，则

=

解得a＞16，满足△＞0． 又

，即a＞0，

2

＞，

故所求a的取值范围是（4，+∞）． …（14分）

【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．

22．（12分）（2015?湖北二模）已知函数

，

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；

（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围； （Ⅲ）证明：

（n∈N+，n≥2）．

【分析】（Ⅰ），（x＞0），，分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单

调区间、极值；

（II）方法1：由ln（x﹣1）+k+1≤kx，分离参数可得：k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出．

方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，性即可得出； （Ⅲ）

*

，对k分类讨论研究其单调

，由（Ⅰ）知：（当且仅当x=1取等号）．令x=n（n∈

2

N，n≥2），即，再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出．

【解答】（Ⅰ）解：

，（x＞0），

15页

，

即x∈（0，1），f'（x）＞0，当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，

∴f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减， 在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=1，无极小值． （Ⅱ）解：方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx，

k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）max=f（1）=1， 则有f（x﹣1）max=1，∴k≥1．

方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，

，

当k≤0时，g'（x）≥0； 当k＞0时，由g'（x）＞0得

，

，

即当k≤0时，g（x）在（1，+∞）上为增函数； 当k＞0时，

上为增函数；在

上为减函数．

∵对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立， 即要求g（x）≤0恒成立， ∴k＞0符合，且（Ⅲ）证明：则

2

*

，得k≥1．

，由（Ⅰ）知

（当且仅当x=1取等号）．

，

令x=n（n∈N，n≥2），即，则有

∴，

∴．

【点评】本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法、分离参

数方法、分类讨论方法，考查了利用研究证明的结论证明不等式，考查了“累加求和”、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

16页

2016年11月5日

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ule3.html