初二数学《因式分解》练习题

初二数学

因式分解

精读定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。理解因式分解的要点：

1是对多项式进行因式分解；2每个因式必须是整式；3结果是积的形式；4各因式要分解到不能再分解为止。因式分解和整式乘法的关系。

1．分解因式技巧掌握：

①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式 ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

例1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（5个式子均不是） 9??（1）x2?y2?1??x?y??x?y??1； （5） x2y?6xy?9y?xy?x?6??.

x???a2??x?（2）?x?2??x?1??x2?x?2； （6） （4）?x?y???y?x y?1?a2；

232（3）6xy?3xy?2xy； 分解因式的方法：

??1. 提公因式法——形如ma?mb?mc?m(a?b?c) 2. 运用公式法——平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)，

完全平方公式：a2?2ab?b2?(a?b)2

a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?3. 十字相乘法 x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

2

a2??p?q?ab?p?qb2??a?pb??a?qb?

4. 分组分解法 （适用于四次或四项以上，①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式）。 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式 ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

确定公因式的一般步骤

（1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-\提取。 （2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。

（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。 1.把下列各多项式的公因式填写在横线上。

22

(1)x-5xy _________ (2)-3m+12mn _________

32323

(3)12b-8b+4b _________ (4)-4ab-12ab __________

3322

(5)-xy+xy+2xy _________

2.在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( )

23

(2)8xy-12xy=4xy( )

32

(3)9m+27m=( )(m+3)

43

(4)-15p-25pq=( )(3p+5q)

1

初二数学

(5)2ab-4ab+2ab=2ab( )

2

(6)-x+xy-xz=-x( ) (7)

3223

121a-a=a( ) 22 (5) 4an?123、因式分解（本题只给出最后答案）

(1) 2x3?8x;

?2x(x?2)(x?2) (2) xy?6xy?9y.

42222b?16an?1

?y(x?3)

(3) 3a?6ab?3ac?6abc;

322222=4an?1(b?2a)(b?2a) (6) x2y2?y4?12xy2?36y2;

?3a(a?c)(a?2b)

(4) 4b2c2?b2?c2?a?y2(x?6?y)(x?6?y)

22??.

(7) x2?6xy?9y2?3x?9y?2.

??(b?c?a)(b?c?a)(b?c?a)(b?c?a)

?(x?3y?1)(x?3y?2)

例3、因式分解（本题只给出答案） 1、?x?2??x?4??7; 3、?x?1??x?2??x?3??x?6??56 =(x?3)(x?5) ?(x2?4x?4)(x2?4x?5) 2、x2?4x?12x2?4x?3?56; 4、(x2?7x?6)x2?x?6?56. ?(x2?4x?4)(x2?4x?5) ?(x2?4x?4)(x2?4x?5) 小结：

1、 因式分解的意义 2、 因式分解的一般步骤 第一步 提取公因式法 左边 = 右边 第二步 看项数 ↓ ↓ 1 两项式：平方差公式 多项式 整式×整式（单项式或多项式） 2 三项式：完全平方公式、十字相乘法 3 四项或四项以上式： 分组分解法

3、多项式有因式乘积项 → 展开 → 重新整理 → 分解因式 因式分解练习： 1、9m2?25n4; 6、3a2x2?15a2xy?42a2y2; ?(3m?5n2)(3m?5n2) ?3a2(x2?5xy?14y2) 2、8a?4a2?4; ?3a2(x?2y)(x?7y)

7、a3b?3a2b?6ab?18b; ?4(2a?a2?1)

??4(a2?2a?1) ?(a3b?6ab)?(3a2b?18b)

222 ??4(a?1)?ab(a?6)?3b(a?6) 4423、?x?y???x?y?; ?b(a?6)(a?3)

2222228、4a?1?b?4a. ?[(x?y)?(x?y)][(x?y)?(x?y)]

?(2x2?2y2)?4xy ??(?4a?1?4a2)?b2 ?8xy(x2?y2) ??(2a?1)2?b2

222?(b?2a?1)(b?2a?1) 4、2ab?ab?1?c;

222229、a?1a?8a?15?20. ??(a?2ab?b)?c

?(a?1)(a?1)(a?3)(a?5)?20 ??(a?b)2?c2

?(c?a?b)(c?a?b) ?[(a?1)(a?3)][(a?1)(a?5)]?20

22225、abc?d?cda?b; ?(a2?4a?3)(a2?4a?5)?20 ?abc2?abd2?cda2?cdb2 ?(a2?4a)2?2(a2?4a)?15?20 ?(abc2?cda2)?(abd2?cdb2) ?(a2?4a)2?2(a2?4a)?35 ?ac(bc?ad)?bd(ad?bc) ?(a2?4a?5)(a2?4a?7) ?(bc?ad)(ac?bd)

?????????????? 2

初二数学

因式分解 强化练习 答案

1. 填写下列各式的空缺项，使它能用完全平方公式分解因式。

x11??(x?)2 336692432x?xy?y2?(x?y)2 (2) 16943(1) x?2(3) a2?14a?49?(a?7)2 (4) 36?36b?9b2?(6?3b)2

(5) (x?y)?16(x?y)?64????x?y??8??

222. 选择

(1) 用分组分解法把a?a?2a?1分解因式，正确的分组方法是：（ D ）

A. (a4?a2)?(2a?1) B. (a4?2a)?(a2?1) C. (a4?1)?(a2?2a) D. a4?(a2?2a?1) (2) 多项式x?ax?bx?ab可分解因式为（ C ）

A. (x?a)(x?b) B. (x?a)(x?b) C. (x?a)(x?b) D. (x?a)(x?b) (3) 计算(1?2421111)(1?)?(1?)(1?)的值是（ D ） 223392102A.

11111 B. C. D.

2020210(4) 将3x2?xy2?3x?y2分解因式，结果是（ B ）

A. (x?1)(x?3y) B. (x?1)(3x?y2) C. (x?1)(3x?y2) D. (x?1)(3x2?y2)

3. 填空

(1) 若多项式x2?4x?3?(x?m)(x?n)，则m= -1，n= -3。 (2) x2?10x?24?(x?12)(x?2) (3) x2?9xy?52y2?(x?13)(x?4)

(4) x2?_x?21，给x添加系数，使该式可以十字相乘。答案：10，-10，22，-22 (5) 4x2?4xy?y2?a2分组后，先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解。 (6) (x?a)(x?b)?k中有因式x+b，则k=2b(a+b)。 4. 应用因式分解计算

(1) 998?9980?16

2(2) 123??9982?10?998?16 ?(998?2)(998?8) ?1006000

5. 因式分解

42(1) x?10x?9

22 =(x?1)(x?9)

987987987987?264??456??525? 1368136813681368987?(123?264?456?525)?

1368987?1368??987

1368 =(x?1)(x?1)(x?3)(x?3)

32(2) 7(x?y)?5(x?y)?2(x?y)

3

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=(x?y)??7(x?y)?5(x?y)?2?? =(x?y)?(x?y)?1??7(x?y)?2? =(x?y)(x?y?1)(7x?7y?2) (3) (a2?8a)2?22(a2?8a)?120 =(a2?8a?10)(a2?8a?22) (4) x2?y2?x2y2?4xy?1

=(x2?y2?2xy)?(x2y2?2xy?1) =(x?y)2?(xy?1)2

=(x?y?xy?1)(x?y?xy?1) (5) (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?48 =?(x?1)(x?4)??(x?2)(x?3)??48 =(x2?5x?4)(x2?5x?6)?48 =(x2?5x)2?10(x2?5x)?24?48 =(x2?5x)2?10(x2?5x)?24 =(x2?5x?12)(x2?5x?2)

222(6) a?b?2bc?c =a2?(b2?2bc?c2) =a2?(b?c)2

=(a?b?c)(a?b?c)

32(7) 2a?2ab?8b?8a ?2[a2(a?b)?4a(?b )]2 ?2( )a?b)(a?4 ?2(a?b)(a?2)a(? 2322(8) 3x?6xy?3xz?6xyz

2 ?3x(x )z?2xy?xz?2y ?3x?x(x?2y)?z(x?2? y) ?3x(x?2y)(x?z )222(9) a?4ab?3b?2bc?c

22 ?(a2?4ab?4b)?(?b?2bc?2 c) ?(a?2b)2?(b?c)2 ?(a?2b?b?c c)(a?2b?b?)

22

(10) x2?y2?z2?2yz?1?2x ?(x2?2x?1)?(y2?z2?2y z) ?(x?1)2?(y?z)2

?(x?1?y?z)(x?1?y? z)22(11) x?6xy?9y?10x?30y?25 ?(x2?6xy?9y2)?(10x?30y)?25 ?(x?3y2)?10x(?y3?) 252 ?[(x?3y?)5 ] ?(x?3y?52)

2222(12) a?ab?ab?a?b?b

2 ?(a2?a2b)?(ab?a)?(b?2 b) ?a2(1?b)?a(b?1)b b)(?1)?b(1?2 ?(1?b)a ][?a(b?1)?b ?(1?b)a(?1)a(?b

43(13) x?3x?6x?4

?(x4?3x3?2x2)?(2x2?6x? 4)222 ?x(x?3x?2)?2x(?3x? 2)22 ?(x?2)(x?3x?2) (14) (a2?b2?c2)2?4b2c2

222 ?(a2?b2?c2?2bc)(a?b?c?2 b)c222222 ?[a?(b?c?2bc c)][a?(b?c?2b)]2222 ?[a?(b?c)][a?(b?c )] ?(a?b?c ?c)(a?b?c)(a?b?)c(a?b2(15) (x?y)?4(x?y?1)

2 ?(x?y)?4(x?y)? 4 ?[(x?y)?2]2?(x?y?2)2 (16) x4?4y4

?x4?4x2y2?4y4?4x2 y ?(x2?2y2)2?4x2y 222 ?(x2?2y2?2xy)(x y)?2y?2xa2?b2?ab的值。 6. 已知a(a?1)?(a?b)??1，求

2解： a(a?1)?(a?b)?a?a?a?b??a?b??1 所以a?b?1

222a2?b2a2?b2?2ab(a?b)21?? ?ab?22227. 设n为整数，用因式分解说明(2n?1)2?25能被4整除。

解：(2n?1)2?25 ?(2n?1?5)(2n?1?5)?(2n?6)(2n?4) ?4(n?3)(n?2) 4是(2n?1)2?25的一个因式，所以能被4整除。

8. 在六位数abcdef中，a=d, b=e, c=f, 求证这个六位数必能被7、11、13整除。

解：abcdef=100000a+10000b+1000c+100d+10e+f 因为a=d, b=e, c=f,

所以abcdef=100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c =100100a + 10010b + 1001c = 1001(100a+10b+c) = 7×11×13(100a+10b+c) 所以这个六位数能被7、11、13整除。

2229. 已知a, b, c为三角形的三边，且满足a?b?c?ab?bc?ac?0，试说明该三角形是等边三角形。

222解：2(a?b?c?ab?bc?ac)?0

(a2?b2?2ab)?(a2?c2?2ac)?(b2?c2?2bc)?0 (a?b)2?(a?c)2?(b?c)2?0 a?b?0 a?c?0 b?c?0

所以a=b, a=c, b=c 即a=b=c 所以该三角形是等边三角形

4

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