2022年四川省泸州市合江县中考数学模拟考试试卷(4月)(解析版)

2019年四川省泸州市合江县中考数学模拟考试试卷（4月）（解析版）

1 / 20 2019年四川省泸州市合江县中考数学模拟试卷（4月）

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a ，﹣a ，b ，﹣b 按照从小到大的顺序排列（ ）

A ．﹣b ＜﹣a ＜a ＜b

B ．﹣a ＜﹣b ＜a ＜b

C ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜b

D ．﹣b ＜b ＜﹣a ＜a 2．下列运算正确的是（ ）

A

． B

．

C ．x 6÷x 3＝x 2

D ．（x 3）2＝x 5

3．将数据162000用科学记数法表示为（ ）

A ．0.162×105

B ．1.62×105

C ．16.2×104

D ．162×103

4．如图所示几何体的主视图是（ ）

A

． B

． C

． D

．

5．已知反比例函数的图象过点M （﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（ ）

A ．y

＝ B ．y

＝﹣ C ．y

＝ D ．y

＝﹣

6．如图，⊙O 的弦AB ＝8，半径ON 交AB 于点M ，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则MN 的长为（

）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

7．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（ ）

A ．5

B ．10

C ．20

D ．24

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2 / 20 8．在函数y

＝

中自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的为（ ） A

．

B

． C

． D

．

9．将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）

A ．50°

B ．110°

C ．130°

D ．150°

10．关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ） A ．0 B ．﹣1 C ．﹣2 D ．﹣3

11．如图，?ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥AB ，AB

＝

，且AC ：BD ＝2：3，那么AC 的长为（ ）

A ．

2 B

． C ．3 D ．4

12．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a +b +c ＞0；（2）﹣4a ＜b ＜﹣2a （3）abc ＞0；（4）5a ﹣b +2c ＜0； 其中正确的个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）

13．分解因式：3x 2﹣6x 2y +3xy 2＝ ．

14．已知圆锥的高为3cm ，底面圆的直径为8cm ，则它的侧面积为 cm 2．

15．如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2（x ≥0）和抛物线C 2：y ＝（x ≥0）交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C 、D ，过点B 作EF ∥x 轴分

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3 / 20 别与y 轴和抛物线C 1交于点E 、F

，则的值为 ．

16．△ABC 是等腰三角形，腰上的高为8cm ，面积为40cm 2，则该三角形的周长是 cm ．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

17．（6分）计算：|﹣

1+

|

﹣﹣（5﹣π）0+4cos45°． 18．（6分）计算：（1

﹣

）÷．

19．（6分）【操作发现】

（1）如图1，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF ＝CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE ＝45°，连接AF ，EF ．请探究结果：

①直接写出∠EAF 的度数＝ 度；若旋转角∠BCD ＝α°，则∠AEF ＝ 度（可以用含α的代数式表示）；

②DE 与EF 相等吗？请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板斜边上取一点F ，使CF ＝CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE ＝30°，连接AF ，EF ． ①直接写出∠EAF 的度数＝ 度；

②若AE ＝1，BD ＝2，求线段DE 的长度．

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四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）

20．（7分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：

（1）两次取出的小球标号相同；

（2）两次取出的小球标号的和等于4．

21．（7分）今年3月12日植树节期间，学校预购进A 、B 两种树苗，若购进A 种树苗3棵，B 种树苗5棵，需2100元，若购进A 种树苗4棵，B 种树苗10棵，需3800元．

（1）求购进A 、B 两种树苗的单价；

（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A 种树苗至少需购进多少棵？

五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

22．（8分）如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45°方向上，测得树B 在北偏东36°方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离

（结果精确到1米）．（参考数据：

≈1.414，

sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）

23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x +b 与双曲线y

＝相交于A ，B 两点， 已知A （2，5）．求：

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5 / 20 （1）b 和k 的值；

（2）△OAB 的面积．

六．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）

24．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC

，过

上一点E 作EG ∥

AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE ．

（1）求证：EG 是⊙O 的切线；

（2）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若AH ＝3，CH ＝4，求EM 的值．

25．（12分）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0），C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．

（1）求此二次函数解析式；

（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

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参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．【分析】利用有理数大小的比较方法可得﹣a ＜b ，﹣b ＜a ，b ＞0＞a 进而求解．

【解答】解：观察数轴可知：b ＞0＞a ，且b 的绝对值大于a 的绝对值．

在b 和﹣a 两个正数中，﹣a ＜b ；在a 和﹣b 两个负数中，绝对值大的反而小，则﹣b ＜a ． 因此，﹣b ＜a ＜﹣a ＜b ．

故选：C ．

【点评】有理数大小的比较方法：正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．

2．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．

【解答】解：A 、原式＝|﹣5|＝5，错误；

B 、原式＝16，正确；

C 、原式＝x 3，错误；

D 、原式＝x 6，错误，

故选：B ．

【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，以及负指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于162000有6位，所以可以确定n ＝6﹣1＝5．

【解答】解：162 000＝1.62×105．

故选：B ．

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．

4．【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．

【解答】

解：几何体的主视图为，

故选：B ．

【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．

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7 / 20 5．【分析】

函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式

（k ≠0），即可求得k 的值．

【解答】

解：设反比例函数的解析式为

（k ≠0）． ∵该函数的图象过点M （﹣1，2），

∴2＝， 得k ＝﹣2．

∴反比例函数解析式为y

＝﹣．

故选：B ．

【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 6．【分析】连接OA ，由M 为圆O 中弦AB 的中点，利用垂径定理的逆定理得到OM 垂直于AB ，由AB 的长求出AM 的长，在直角三角形OAM 中，由AM 与OM 的长，利用勾股定理求出OA 的长，即为圆O 的半径．

【解答】解：连接OA

，

∵在圆O 中，M 为AB 的中点，AB ＝8，

∴OM ⊥AB ，AM ＝AB ＝4，

在Rt △OAM 中，OM ＝3，AM ＝4，

根据勾股定理得：OA

＝

＝5．

∴MN ＝5﹣3＝2

故选：A ．

【点评】此题考查了垂径定理的逆定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 7．【分析】根据菱形的性质即可求出答案．

【解答】解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，

∴菱形的边长为：＝5， ∴菱形的周长为：4×5＝20，

故选：C ．

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8 / 20 【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型． 8．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．

【解答】解：函数y

＝

中自变量x 的取值范围x ＞1，

故选：C ．

【点评】本题考查了函数值变量的取值范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 9．【分析】根据矩形性质得出EF ∥GH ，推出∠FCD ＝∠2，代入∠FCD ＝∠1+∠A 求出即可．

【解答】解：∵EF ∥GH ，

∴∠FCD ＝∠2，

∵∠FCD ＝∠1+∠A ，∠1＝40°，∠A ＝90°，

∴∠2＝∠FCD ＝130°，

故选：C ．

【点评】本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，解题的关键是求出∠2＝∠FCD 和∠FCD ＝∠1+∠A ．

10．【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a 的不等式，可求得a 的取值范围，则可求得答案．

【解答】解：

∵关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，

∴△＞0且a ≠0，即32﹣4a ×（﹣2）＞0且a ≠0，

解得a ＞﹣1且a ≠0，

故选：B ．

【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 11．【分析】根据平行四边形的性质可知，OA ＝OC ，OB ＝OD ，由AC ：BD ＝2：3，推出OA ：OB ＝2：3，设OA ＝2m ，OB ＝3m ，在Rt △AOB 中利用勾股定理即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，

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9 / 20 ∵AC ：BD ＝2：3，

∴OA ：OB ＝2：3，设OA ＝2m ，BO ＝3m ，

∵AC ⊥BD ，

∴∠BAO ＝90°，

∴OB 2＝AB 2+OA 2，

∴9m 2＝5+4m 2，

∴m ＝±1，

∵m ＞0，

∴m ＝1，

∴AC ＝2OA ＝4．

故选：D ．

【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质解决问题，学会设未知数，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型．

12．【分析】由抛物线开口向上得到a 大于0，再由对称轴在y 轴右侧得到a 与b 异号，即b 小于0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可得出abc 的符合，对于（3）作出判断；由x ＝1时对应的函数值小于0，将x ＝1代入二次函数解析式得到a +b +c 小于0，（1）错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公式列出不等式，由a 大于0，得到﹣2a 小于0，在不等式两边同时乘以﹣2a ，不等号方向改变，可得出不等式，对（2）作出判断；由x ＝﹣1时对应的函数值大

于0，将x ＝﹣1代入二次函数解析式得到a ﹣b +c 大于0，又4a 大于0，c 大于0，可得出a ﹣b +c +4a +c

大于0，合并后得到（4）正确，综上，即可得到正确的个数．

【解答】解：由图形可知：抛物线开口向上，与y 轴交点在正半轴，

∴a ＞0，b ＜0，c ＞0，即abc ＜0，故（3）错误；

又x ＝1时，对应的函数值小于0，故将x ＝1代入得：a +b +c ＜0，故（1）错误；

∵对称轴在1和2之间，

∴1

＜﹣＜2，又a ＞0，

∴在不等式左右两边都乘以﹣2a 得：﹣2a ＞b ＞﹣4a ，故（2）正确；

又x ＝﹣1时，对应的函数值大于0，故将x ＝﹣1代入得：a ﹣b +c ＞0，

又a ＞0，即4a ＞0，c ＞0，

∴5a ﹣b +2c ＝（a ﹣b +c ）+4a +c ＞0，故（4）错误，

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10 / 20 综上，正确的有1个，为选项（2）．

故选：A ．

【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），a 的符号由抛物线的开口决定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，﹣1及2对应函数值的正负来解决问题．

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）

13．【分析】原式提取公因式分解即可．

【解答】解：原式＝3x （x ﹣2xy +y 2），

故答案为：3x （x ﹣2xy +y 2）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，找出原式的公因式是解本题的关键． 14．【分析】利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．

【解答】解：底面直径为8cm ，底面半径＝4，底面周长＝8π．

由勾股定理得，母线长＝5，

故圆锥的侧面积＝×8π×5＝20πcm 2，

故答案为：20π．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及圆锥的计算，利用圆的周长公式和扇形面积公式求解是解题关键．

15．【分析】可以设A 、B 横坐标为a ，易求得点E 、F 、D 的坐标，即可求得OE 、CE 、AD 、BF 的长度，即可解题．

【解答】解：设点A 、B 横坐标为a ，则点A 纵坐标为a 2，点B

的纵坐标为

，

∵BE ∥x 轴，

∴点F

纵坐标为， ∵点F 是抛物线y ＝x 2上的点，

∴点F 横坐标为x

＝

＝a ， ∵CD ∥x 轴，

∴点D 纵坐标为a 2，

∵点D 是抛物线y

＝

上的点， ∴点D 横坐标为x

＝＝2a ，

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11 / 20 ∴AD ＝a ，BF

＝a ，CE

＝a 2，OE

＝a 2，

∴则

＝

＝

×

＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点E 、F 、D 的坐标是解题的关键．

16．【分析】先根据三角形面积公式求出腰长，设AE ＝xcm ，则BC

＝cm ，BE

＝cm ，在Rt △ACE 中，根据勾股定理求出x ，进一步得到BC ，从而得到该三角形的周长，即可求解．

【解答】解：腰长为40×2÷8＝10（cm ），

如图1，等腰三角形顶角是锐角，如图2，等腰三角形顶角是钝角，

设AE ＝x ，则BC ＝

，BE

＝， 在Rt △ACE 中，x 2+

（

）2＝102， 解得x ＝±

4

（负值舍去）或x ＝±

2（负值舍去）， ∴BC ＝

4或

8，

∴该三角形的周长是（

20+4

）或（

20+8）cm ． 故答案为：（

20+4）或（

20+8

）．

【点评】考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积，难点是根据勾股定理得到底边的长．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

17．【分析】原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，零指数幂，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】

解：原式＝﹣1

﹣×

2﹣1+4

×

＝

2﹣2．

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12 / 20 【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．【分析】先计算1

﹣

，再做除法，结果化为整式或最简分式． 【解答】

解：原式＝（

﹣

）×

＝

× ＝2．

【点评】本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和．

19．【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝45°，证出∠ACF ＝∠BCD ，由SAS 证明△ACF ≌△BCD ，得出∠CAF ＝∠B ＝45°，AF ＝DB ，求出∠EAF ＝∠BAC +∠CAF ＝90°；

②证出∠DCE ＝∠FCE ，由SAS 证明△DCE ≌△FCE ，得出DE ＝EF 即可；

（2）①由等边三角形的性质得出AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，求出∠ACF ＝∠BCD ，证明△ACF ≌△BCD ，得出∠CAF ＝∠B ＝60°，求出∠EAF ＝∠BAC +∠CAF ＝120°；

②证出∠DCE ＝∠FCE ，由SAS 证明△DCE ≌△FCE ，得出DE ＝EF ；作FH ⊥EA 交EA 的延长线于H ．解直角三角形即可解决问题；

【解答】解：（1）①∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，

∴AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝45°，

∵∠DCF ＝90°，

∴∠ACF ＝∠BCD ，

在△ACF 和△BCD 中，

，

∴△ACF ≌△BCD （SAS ），

∴∠CAF ＝∠B ＝45°，AF ＝DB ，

∴∠EAF ＝∠BAC +∠CAF ＝90；

②DE ＝EF ；理由如下：

∵∠DCF ＝60°，∠DCE ＝30°，

∴∠FCE ＝60°﹣30°＝30°，

2019年四川省泸州市合江县中考数学模拟考试试卷（4月）（解析版） 13 / 20 ∴∠DCE ＝∠FCE ，

在△DCE 和△FCE 中，

，

∴△DCE ≌△FCE （SAS ），

∴DE ＝EF ；

（2）①∵△ABC 是等边三角形，

∴AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，

∵∠DCF ＝60°，

∴∠ACF ＝∠BCD ，

在△ACF 和△BCD 中，

，

∴△ACF ≌△BCD （SAS ），

∴∠CAF ＝∠B ＝60°，

∴∠EAF ＝∠BAC +∠CAF ＝120°；

②AE 2+DB 2＝DE 2，理由如下：

∵∠DCF ＝90°，∠DCE ＝45°，

∴∠FCE ＝90°﹣45°＝45°，

∴∠DCE ＝∠FCE ，

在△DCE 和△FCE 中，

，

∴△DCE ≌△FCE （SAS ），

∴DE ＝EF ，作FH ⊥EA 交EA 的延长线于H ．

在Rt △AFH 中，AF ＝2，∠FAH ＝60°，可得AH ＝1，FH

＝

在Rt △EFH 中，EF

＝

＝ ∴DE ＝EF

＝． 故答案为：（1）90；2α；（2）120．

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【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．

四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）

20．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；

（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．

【解答】解：（1）如图，

随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，

所有两次摸出的小球标号相同的概率为

＝；

（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，

所以其概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

21．【分析】（1）设购进A 种树苗的单价为x 元/棵，购进B 种树苗的单价为y 元/棵，根据“若购进A 种树苗3棵，B 种树苗5棵，需2100元，若购进A 种树苗4棵，B 种树苗10棵，需3800

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15 / 20 元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设需购进A 种树苗a 棵，则购进B 种树苗（30﹣a ）棵，根据总价＝单价×购买数量结合购买两种树苗的总费用不多于8000元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设购进A 种树苗的单价为x 元/棵，购进B 种树苗的单价为y 元/棵，

根据题意得：

，

解得：． 答：购进A 种树苗的单价为200元/棵，购进B 种树苗的单价为300元/棵．

（2）设需购进A 种树苗a 棵，则购进B 种树苗（30﹣a ）棵，

根据题意得：200a +300（30﹣a ）≤8000，

解得：a ≥10．

∴A 种树苗至少需购进10棵．

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

22．【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C 作AB 的垂线交AB 于H ，要先求出CH 的值然后再求AH ，BH 的值，进而得出AB 的长．

【解答】解：过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，

由题意，得∠ACH ＝45°，∠BCH ＝36°，BC ＝200，

在Rt △BHC

中，

，

∴， ∵sin36°≈0.588，

∴BH ≈117.6，

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又

，

∴．

∵cos36°≈0.809，

∴HC ≈161.8，

在Rt △AHC

中，

， ∵∠ACH ＝45°，

∴AH ＝HC ，

∴AH ≈161.8，

又AB ＝AH +BH ，

∴AB ≈279.4，

∴AB ≈279（米），

答：A 、B 之间的距离为279米．

【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．

23．【分析】（1）由直线y ＝x +b 与双曲线y

＝相交于A ，B 两点，A （2，5），即可得到结论； （2）过A 作AD ⊥y 轴于D ，BE ⊥y 轴于E 根据y ＝x +3，y

＝，得到B （﹣5，﹣2），C （﹣3，0），求出OC ＝3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：（1）∵直线y ＝x +b 与双曲线y

＝相交于A ，B 两点，已知A （2，5）， ∴5＝2+b ，5＝．

解得：b ＝3，k ＝10．

（2）如图，过A 作AD ⊥y 轴于D ，过B 作BE ⊥y 轴于E ，

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∴AD ＝2．

∵b ＝3，k ＝10，

∴y ＝x +3，y

＝．

由

得：

或，

∴B 点坐标为（﹣5，﹣2）．

∴BE ＝5．

设直线y ＝x +3与y 轴交于点C ．

∴C 点坐标为（0，3）．

∴OC ＝3．

∴S △AOC

＝OC ?AD

＝×3×2＝3，

S △BOC

＝OC ?BE

＝×3×5

＝

．

∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC

＝． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．

六．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）

24．【分析】（1）连接OE ，由FG ＝EG 得∠GEF ＝∠GFE ＝∠AFH ，由OA ＝OE 知∠OAE ＝∠OEA ，根据CD ⊥AB 得∠AFH +∠FAH ＝90°，从而得出∠GEF +∠AEO ＝90°，即可得证；

（2）连接OC ，设OA ＝OC ＝r ，再Rt △OHC 中利用勾股定理求得r

＝

，再证△AHC ∽△MEO

得

＝，据此求解可得． 【解答】解：（1）如图，连接OE ，

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∵FG ＝EG ，

∴∠GEF ＝∠GFE ＝∠AFH ，

∵OA ＝OE ，

∴∠OAE ＝∠OEA ，

∵CD ⊥AB ，

∴∠AFH +∠FAH ＝90°，

∴∠GEF +∠AEO ＝90°，

∴∠GEO ＝90°，

∴GE ⊥OE ，

∴EG 是⊙O 的切线；

（2）连接OC ，设⊙O 的半径为r ，

∵AH ＝3、CH ＝4，

∴OH ＝r ﹣3，OC ＝r ，

则（r ﹣3）2+42＝r 2，

解得：r ＝，

∵GM ∥AC ，

∴∠CAH ＝∠M ，

∵∠OEM ＝∠AHC ，

∴△AHC ∽△MEO ，

∴

＝

，即

＝，

解得：EM

＝．

【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、切线的判定与

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19 / 20 性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．

25．【分析】（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3a 求得a 、b 的值即可确定二次函数的解析式；

（2）分别求得线段BC 、CD 、BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；

（3）分以CD 为底和以CD 为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P 点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．

【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），

∴根据题意，得

， 解得， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3．

（2）由y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4得，D 点坐标为（1，4），

∴CD

＝

＝，

BC ＝

＝

3， BD

＝

＝

2， ∵CD 2+BC 2

＝（）2+（

3）2＝20，BD 2＝（

2）2＝20， ∴CD 2+BC 2＝BD 2，

∴△BCD 是直角三角形；

（3）存在．

y ＝﹣x 2+2x +3对称轴为直线x ＝1．

①若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ，

设P 1点坐标为（x ，y ），根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2+（3﹣y ）2，P 1D 2＝（x ﹣1）2+（4﹣y ）2，

因此x 2+（3﹣y ）2＝（x ﹣1）2+（4﹣y ）2，

即y ＝4﹣x ．

又P 1点（x ，y ）在抛物线上，

∴4﹣x ＝﹣x 2+2x +3，

即x 2﹣3x +1＝0，

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20 / 20 解得x 1

＝

，x 2

＝＜1，应舍去，

∴x ＝， ∴y ＝4﹣x

＝

， 即点P 1

坐标为（

，）．

②若以CD 为一腰，

∵点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 2与点C 关于直线x ＝1对称， 此时点P 2坐标为（2，3）．

∴符合条件的点P

坐标为（

，）或（2，3）．

【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．

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